北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
专题八 平面解析几何
8.1 直线和圆
五年高考
高考新风向
(创新知识交汇)(2024全国甲理,12,5分,难)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆
x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( C )
A.1 B.2 C.4 D.2√5
考点1 直线和圆的方程
1.(2022北京,3,4分,易)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ( A )
1 1
A. B.- C.1 D.-1
2 2
2.(2020课标Ⅲ文,8,5分,中)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( B )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
3.(2023全国乙文,11,5分,中)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (
C )
3√2
A.1+ B.4 C.1+3√2 D.7
2
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分,中)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(
ACD )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
5.(2022全国甲文,14,5分,易)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M
的方程为 ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 5 .
6.(2022全国乙,文15,理14,5分,中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
( 4) 2 ( 7) 2 65 ( 8) 2 169
( x -2 ) 2 + ( y -3 ) 2 =13 或 ( x -2 ) 2 + ( y -1 ) 2 =5 或 x− + y− = 或 x− + ( y -1 ) 2 = ( 写出
3 3 9 5 25
一个即可 ) .
考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2023新课标Ⅰ,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则
sinα = ( B )北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
√15
A.1 B.
4
√10 √6
C. D.
4 4
2.(2020课标Ⅰ文,6,5分,中)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度
的最小值为 ( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
x2 y2
3.(2023全国甲,文9,理8,5分,中)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为√5,C的一条
a2 b2
渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= ( D )
√5 2√5 3√5 4√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
4.(2020课标Ⅲ理,10,5分,中)若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2= 都相切,则l的方程为 (
5
D )
1
A.y=2x+1 B.y=2x+
2
1 1 1
C.y= x+1 D.y= x+
2 2 2
5.(2020课标Ⅰ理,11,5分,中)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过
点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为 ( D )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
6.(2023全国乙理,12,5分,难)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与
☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=√2,则⃗PA·⃗PD的最大值为 ( A )
1 √2 1
A. + B. +√2
2 2 2
C.1+√2 D.2+√2
7.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分,中)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列
说法正确的是 ( ABD )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
8.(2022天津,12,5分,易)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m
的值为 2 .
9.(2023新课标Ⅱ,15,5分,易)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满
8 1 1
足“△ABC的面积为 ”的m的一个值 2 或 - 2 或 或 - ( 写出一个即可 ) .
5 2 2
10.(2022新高考Ⅱ,15,5分,中)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆
[1 3]
(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 , .
3 2
11.(2022新高考Ⅰ,14,5分,中)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方
程 x =- 1 ( 或 3 x + 4 y -5= 0 或 7 x -2 4 y -25= 0 ) .
12.(2021全国甲,文21,理20,12分,难)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线
l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.
(1)求C,☉M的方程;
(2)设A ,A ,A 是C上的三个点,直线A A ,A A 均与☉M相切.判断直线A A 与☉M的位置
1 2 3 1 2 1 3 2 3
关系,并说明理由.
解析 (1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为(1,±√2p
),∵OP⊥OQ,
1
∴⃗OP·⃗OQ=1-2p=0,∴p= ,
2
∴抛物线C的方程为y2=x.
∵☉M的圆心为(2,0),☉M与直线x=1相切,∴☉M的半径为1,∴☉M的方程为(x-2)2+y2=1.
(2)直线A A 与☉M相切.理由如下:
2 3
设A (y2 ,y ),A (y2 ,y ),A (y2 ,y ),∵直线A A ,A A 均与☉M相切,∴y ≠±1,y ≠±1,y ≠±1,
1 0 0 2 1 1 3 2 2 1 2 1 3 0 1 2
y −y
由A ,A 的坐标可得直线A A 的方程为y-y = 0 1 (x-y2 ),整理,得x-(y +y )y+y y =0,由于
1 2 1 2 0 y2−y2 0 0 1 0 1
0 1
|2+ y y |
直线A A 与☉M相切,∴M到直线A A 的距离d= 0 1 =1,整理得(y2-1)y2
1 2 1 2 √1+(y + y ) 2 0 1
0 1
+2y y +3-y2=0,①
0 1 0
同理可得,(y2-1)y2+2y y +3-y2=0.②
0 2 0 2 0
观察①②,得y ,y 是关于y的一元二次方程(y2-1)y2+2y y+3-y2=0的两根,
1 2 0 0 0北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
2y
{ y + y =− 0 ,
1 2 y2−1
0
∴ (*)
3−y2
y y = 0.
1 2 y2−1
0
同理,得直线A A 的方程为x-(y +y )y+y y =0,
2 3 1 2 1 2
| 3−y2|
2+ 0
|2+ y y | y2−1
1 2 0
则点M(2,0)到直线A A 的距离d'= ,把(*)代入,得d'= =
2 3 √1+(y + y ) 2 √ 2y 2
1 2 1+ ( − 0 )
y2−1
0
|2(y2−1)+3−y2| |y2+1| |y2+1|
0 0 = 0 = 0 =1.∴直线A A 与☉M相切.
√(y2−1) 2+(−2y
)
2 √y4+2y2+1 |y2+1| 2 3
0 0 0 0 0北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
三年模拟
练速度
1.(2024辽宁大连三校一模,4)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为 ( D )
A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10
2.(2024山东泰安一轮检测,3)在平面内,M,N是两个定点,P是动点,若⃗MP·⃗NP=4,则点P的
轨迹为( D )
A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆
3.(2024广东一模,4)过A(-1,0),B(0,3),C(9,0)三点的圆与y轴交于M,N两点,则|MN|= (
D )
A.3 B.4 C.8 D.6
1
4.(2024广东广州天河二模,6)若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相切,则圆(x-a)2+(y-b)2= 与
4
圆O ( B )
A.外切 B.相交
C.内切 D.没有公共点
5.(2024云南昆明一中、宁夏银川一中联考,5)过点P(-2,0)作圆C:x2+y2-4x-4=0的两条切线,
切点分别为A,B,则四边形PACB的面积为 ( C )
A.4 B.4√2 C.8 D.8√2
6.(2024贵州六校联盟联考(三),7)过点A(-6,-8)的直线l与圆C:x2+y2=9相交于不同的两点
M,N,则线段MN的中点P的轨迹是 ( D )
A.一个半径为10的圆的一部分
B.一个焦距为10的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段
D.一个半径为5的圆的一部分
7.(2024山东济南一中等校阶段性检测,5)已知P是圆O:x2+y2=9上的动点,点Q满足⃗PQ
=(3,-4),点A(1,1),则|AQ|的最大值为 ( C )
A.8 B.9 C.√29+3 D.√30+3
8.(多选)(2024黑龙江齐齐哈尔一模,9)已知圆C :(x-3)2+y2=1,C :x2+(y-a)2=16,则下列结论正
1 2
确的有( BCD )
A.若圆C 和圆C 外离,则a>4
1 2
B.若圆C 和圆C 外切,则a=±4
1 2
C.当a=0时,圆C 和圆C 有且仅有一条公切线
1 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
D.当a=-2时,圆C 和圆C 相交
1 2
9.(多选)(2024湖南邵阳第一次联考,9)设点P(x,y)为圆C:x2+y2=1上一点,已知点
A(4,0),B(5,0),则下列结论正确的有 ( AD )
A.x+y的最大值为√2
B.x2+y2-4x-4y的最小值为8
C.存在点P,使得|PB|=√2|PA|
D.过A点作圆C的切线,则切线长为√15
10.(2024浙江杭州二模,12)写出与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1,√3)的一条直线的方程
y = √3 x +2 或 y = √3 x -2 ( 写出一个即可 ) .
11.(2024山东烟台、德州高考诊断性考试,12)若圆(x-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆
恰好过点(0,4),则实数m的值为 4 .
12.(2024东北三省四市质量检测,13)已知A(-1,0),B(-4,0),|PB|=2|PA|,若平面内满足到直线
l:3x+4y+m=0的距离为1的点P有且只有3个,则实数m= ± 5 .
练思维
1.(2024山东聊城一模,8)已知P是圆C:x2+y2=1外的动点,过点P作圆C的两条切线,设两
切点分别为A,B,当⃗PA·⃗PB的值最小时,点P到圆心C的距离为 ( A )
A.√4 2 B.√32 C.√2 D.2
2.(2024辽宁葫芦岛一模,8)已知Q为圆A:(x-1)2+y2=1上动点,直线l :mx-ny+3m+2n=0和直
1
线l :nx+my-6m+n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)的交点为P,则|PQ|的最大值是 ( A )
2
A.6+√5 B.4-√5 C.5+√5 D.1+√5
3.(多选)(2024广东汕头一模,11)如图,OA是连接河岸AB与OC的一座古桥,因保护古迹与
发展的需要,现规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
①新桥BC与河岸AB垂直;
②保护区的边界为一个圆,该圆与BC相切,且圆心M在线段OA上;
③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.
4
经测量,点A、C分别位于点O正北方向60 m、正东方向170 m处,tan∠BCO= .根据图
3
中所给的平面直角坐标系,下列结论中,正确的是 ( AC )北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
A.新桥BC的长为150 m
B.圆心M可以在点A处
C.圆心M到点O的距离至多为35 m
D.当OM长为20 m时,圆形保护区的面积最大
4.(2024大湾区二模,14)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点O(0,0)和点A(0,4),与x轴正
2√5
半轴相交于点B.若在第一象限内的圆弧AB上存在点P,使cos∠OPA= ,则圆C的标
5
准方程为 ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 =2 0 .
5.(2024湖北黄冈中学四模,13)已知圆C:x2+(y-2)2=1和圆D:x2+y2-6x-10y+30=0,M、N分别
是圆C、D上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是 √58 -3 .
6.(2024安徽师大附中二模,14)若实数x,y满足x2+y2=25,则√50+8x+6 y+√50+8x−6 y
的最大值为 6√10 .
练风向
1.(多想少算)(2024黑龙江双鸭山第三十一中学等校二模,6)已知点P是圆C:(x-2)2+(y-√3
)2=1上的动点,点A(1,0),B(0,√3),则当∠PAB最大时,sin∠PAB= ( B )
√3
A. B.1
2
√3 √6+√2
C. D.
4 4
2.(新定义理解)(2024江苏苏锡常镇一调,7)莱莫恩(Lemoine)定理指出:过△ABC的三个顶
点A,B,C作它的外接圆的切线,分别和BC,CA,AB所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在
同一条直线上,这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中,若三角形
的三个顶点坐标分别为A(0,1),B(2,0),C(0,-4),则该三角形的Lemoine线的方程为 (
B )
A.2x-3y-2=0 B.2x+3y-8=0
C.3x+2y-22=0 D.2x-3y-32=0
3.(概念深度理解)(2024浙江丽水、湖州、衢州教学质量检测,13)已知圆C:mx2+(2m-1)y2-
2ax-a-2=0,若对于任意的a∈R,存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n,则m+n=
√7 +1 .
