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人教A版数学--高考解析几何复习专题八
知识点一 轨迹问题——椭圆,根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围,求椭圆中的弦
长
典例1、在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，点M的轨迹为
C.
（1）求C的方程：（2）设点P在直线 上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点
和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明： .
随堂练习：平面直角坐标系xOy中，点 ， ，点M满足 .记
M的轨迹为C.
（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；
（2）已知经过 的直线l与C交于A，B两点，若 ，求 .典例2、在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，过点 的动直线 与过
点 的动直线 的交点为P， ， 的斜率均存在且乘积为 ，设动点Р的轨迹为
曲线C.
（1）求曲线C的方程; （2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一
点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求 的最大值.
随堂练习：在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，点M满足
．记M的
轨迹为C．
（1）求C的方程；（2）设点P为x轴上的动点，经过 且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且 ，证明： 为定值．
典例3、在平面直角坐标系中， 为坐标原点，动点 到 ， 的两点的
距离之和为 ．
（1）试判断动点 的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程 ．
（2）已知直线 与圆 交于 、 两点，与曲线 交
于 、 两点，其中 、 在第一象限， 为原点 到直线 的距离，是否存在实数
，使得 取得最大值，若存在，求出 和最大值；若不存在，说
明理由．随堂练习：设 是圆 ： 上的一动点，已知点 ，线段 的垂直
平分线交线段
于点 ，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；（2）过点 且斜率为 的直线l与曲线 交于 两点，
若线段 的垂直平分线交 轴于点T，若 ，求实数 的取值范围．
知识点二 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦
方程、
斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且经过
点 ．（1）求双曲线 的方程； （2）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，
斜率为 ， 与双曲线 交于A， 两点，求 的值．
随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为 ，右焦点 到渐近线的距离为 .
（1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线 交双曲线于A、B两点，线段
AB的中垂线交x轴于D，求证： 为定值.
典例5、已知圆 ： ，圆 ： ，圆 与圆 、圆 外切，（1）求圆心 的轨迹方程 （2）若过点 且斜率 的直线与 交与 两点，线段
的垂直平分线交 轴与点 ，证明 的值是定值.
随堂练习：已知点 ， ，动点 满足直线 的斜率与直线 的斜率乘积为
．当
时，点 的轨迹为 ；当 时点 的轨迹为 ．
（1）求 ， 的方程；
（2）是否存在过 右焦点的直线 ，满足直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于
， 两点，且 ？若存在，求所有满足条件的直线 的斜率之积；若不存
在，请说明理由，典例6、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为
2，焦距为 ，且点P（0，-1）到渐近线的距离为 .
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐
近线于点D、E（D在y轴左侧）.记 和 的面积分别为 、 ，求 的取值范
围.
随堂练习：双曲线 的中心在原点 ，焦点在 轴上，且焦点到其渐近线 的距离
为2．
（1）求双曲线 的标准方程； （2）过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别
交于 ， 两点，与其渐近线分别交于 ， （从左至右）两点． ①证明： ；
②是否存在这样的直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，
请说明理由．人教A版数学--高考解析几何复习专题八答案
典例1、答案： （1） ； （2）证明见解析.
解：（1）根据椭圆的定义可得，点 的轨迹是以 为左右焦点，且长轴长为 的椭
圆，
设其方程为 ， 故可得 ，
故 的方程为： .
（2）设 ，设 ， ，则 ，
联立直线 与椭圆 的方程得： ，
则 ， ，
则故 ，
故
.
随堂练习：答案： （1）C是以点 ， 为左右焦点的椭圆， （2）
解：（1）因为 ， ， 所以C是以点 ， 为左右焦点的
椭圆.
于是 ， ，故 ，因此C的方程为 .
（2）当 垂直于 轴时， ， ，舍去.
当 不垂直于 轴时，可设 ， 代入 可得
.
因为 ，设 ， ， 则 ， .
因为 ， 所以 .
同理 .因此 .
由 可得 ， ，于是 . 根据椭圆定义可知 ，于
是 .
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）设 点坐标为 ， 定点 ， ，直线 与直线
的斜率之积为 ，
，
（2）设 ， ， ，则 ， ，
所以
又 ，所以 ，又 即 ，
则直线 ： ，直线 ： ，
由 ，解得 ，即 ，
所以令 ，则 ，所以
因为 ，当且仅当 即 时取等号，
所以 的最大值为 ；
随堂练习：答案： （1） （2）证明过程见解析
解：（1）由椭圆的定义可知：M的轨迹为以 ， 为焦点的椭圆，
且 ， ，所以 ， 所以C的方程为
（2）设直线l为： ， 则联立 得：
，
设 ，则 ， ，
，
则 ， AB中点坐标为 ，
所以AB的垂直平分线为 ，
令 得： ， 所以 ， ，典例3、答案：（1）动点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
（2）2 时 取得最大值
解：（1）由题意知， ， 所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭
圆，
且 ， ， 又因为 ， 所以 ， 所以 的轨迹方程为
．
（2）当 时 ，解得 ， 又圆 的半径 ，
所以 在椭圆外， 在椭圆内，点 在 内， 在 外，
在直线 上的四点满足： ， ，
由 ，消去 整理得 ，
因为直线 经过椭圆 内的右焦点 ， 所以该方程的判别式 恒成立，
设 ， ， 所以 ， ，
，
又因为 的直径 ， 所以，
化为 ，
因为 为点 到直线 的距离 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 时 取得最
大值 ．
随堂练习：答案： （1） ； （2）
解：（1）因为点 在线段 的垂直平分线上，所以 ，
所以 ，
所以点 的轨迹是焦点为 的椭圆，故 ，可得 ，
所以曲线 的方程为
（2）由题意，得直线 的方程为： .联立方程组得
，所以 ，
，则 ， 的中点坐标为
，
所以直线 的垂直平分线的方程为 ，
则与 轴交点 ，所以 ，
因为 ， 所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
典例4、答案： （1） （2）6
解：（1）设所求双曲线 方程为 ， 代入点 得： ，即
，
双曲线 方程为 ，即 ；
（2）由（1）知： ， ， 即直线 的方程为 ，
设 ， ， 联立 ，得 ，
满足 ，且 ， ，由弦长公式得 .
随堂练习：答案： （1） ；（2）证明见解析.
解:（1）设双曲线方程为 由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为 代入
整理得 ，设 所以：
由弦长公式得：
设AB的中点 则 ， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得 ，即 ，所以： 为定值.
典例5、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为圆C与圆A、圆B外切， 设C点坐标 ，圆C半径为 ，
则 ， ， 所以 <4， 所以点C的轨迹是双曲线的一
支，
又 ， ， ， 所以其轨迹方程为
；
（2）设直线为 ，联立 ，消去y得： ， 所以
，
设MN中点坐标为G，则 ，
所以 ，
，
直线GP的方程为: ， ，
所以 ， 所以 =1.
随堂练习：答案： （1）C： ，C： （2）存在，
1 2
解：（1）设 ， ． 对于 ，由题可得 ， 整理得
，
故 的方程为 ． 对于 由题可得 ，
整理得 ． 故 的方程为 ．
（2）由（1）可得 ， ，
的右焦点为 ，设 ， ， ， ．
当直线 的斜率不存在时，直线 与 无交点，不满足题意，故直线 的斜率存在，
于是可设直线 的方程为 ，
联立直线方程与椭圆方程可得 ，
恒成立， 由韦达定理： ， ．①
于是 ， 将①代人整理得
．
同理 其中 ，故 ．
因为 ，所以 ．
设 ，则 即 ．
平方整理得 ， 因式分解得 ，
解得 ， ， （舍去）， 即 ，
．
于是所有满足条件的直线 的斜率之积为
．
典例6、答案： （1） ；（2） .
解:（1）由 ， 知 ， ， ，
故双曲线C的方程为 或 .
由点 到渐近线的距离为 ，知双曲线方程为 .
（2）设l： ， ， .由 可得 ；由 可得 .
由 得 ，∴ ， .
∴ .
由 和 的高相等，可 ， 由 得
，
所以 ， .
随堂练习：答案： （1） ；（2）①见详解；② .
详解:（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x， 由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲
线 ，
渐近线的方程为 ，焦点F（±c，0）， 所以 解得a＝1，b＝2，
所以双曲线的方程为 ；
（2）①由（1）知双曲线的方程为 ， 其渐近线的方程为y＝±2x，设直线
l：y＝kx+2，
因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2，
联立 ，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，设A（x，y），B（x，y）， 所以x+x＝ ，xx＝ ，
1 1 2 2 1 2 1 2
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，则M（ ， ），
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，则N（ ， ），
所以|AM|＝ ，|BM|＝ ，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x﹣ ）2﹣（x+ ）2]
1 2
＝（1+k2）[（ ﹣x﹣ ）2﹣（x+ ）2]＝（1+k2）[（﹣ ﹣x）2﹣
2 2 2
（x+ ）2]
2
＝（1+k2）[（ +x）2﹣（x+ ）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|．
2 2
②由 共线，可得 ，
由①可得 ，
解得 ，所以 符合题意， 所以直线 的方程为 .
