文档内容
模块六 立体几何（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在四面体 中， ，则四面体 外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在正方体 中，E为线段 上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定
值的直线为（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
3．若平面 截球 所得截面圆的面积为 ，且球心 到平面 的距离为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱柱 中， 平面 是等边三角形， 是棱 的中点， 在棱
上，且 . 若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）A． B．
C． D．
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直
角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿
交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则
该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，两圆锥的表面积分别为 和 ，内切
球半径分别为 和 ．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体 就是一个半
正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所
有棱长均为2，则平面 与平面 之间的距离为（ ）A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在正四棱柱 中， ， 为 的中点， 为 上的动点，下列结论正
确的是（ ）
A．若 平面 ，则 B．若 平面 ，则
C．若 平面 ，则 D．若 平面 ，则
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量 ，若 ，则
B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
C．设 是空间中的一组基底，则 也是空间的一组基底
D．若空间四个点 ，则 三点共线11．在等腰梯形 中， ，点 分别为 的中点，以 所
在直线为旋转轴，将梯形旋转 得到一旋转体，则（ ）
A．该旋转体的侧面积为
B．该旋转体的体积为
C．直线 与旋转体的上底面所成角的正切值为
D．该旋转体的外接球的表面积为
12．如图1，矩形 由正方形 与 拼接而成．现将图形沿 对折成直二面角，如图2．
点 （不与 重合）是线段 上的一个动点，点 在线段 上，点 在线段 上，且满足
， ，则（ ）
图1 图2
A． B．
C． 的最大值为 D．多面体 的体积为定值
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为 ，则该正四棱台的高为
.14．如图，四边形 是平行四边形， 是平面 外一点， 为 上一点，若 平面 ，
则 ．
15．在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 .若四棱锥 的体积为9，且
其顶点均在球 上，则当球 的体积取得最小值时， .
16．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲
率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面
体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点
有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 .根据曲率
的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．（12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 分别为 上的点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 为 的中点， ，求二面角 的正切值.
19．（12分）
如图，在五面体 中，面 面 ， ， 面 ， ，
， ，二面角 的平面角为 .
(1)求证： 面 ；(2)点 在线段 上，且 ，求二面角 的平面角的余弦值.
20．（12分）
如图， 是半球 的直径， 是底面半圆弧 上的两个三等分点， 是半球面上一点，且
．
(1)证明： 平面 ：
(2)若点 在底面圆内的射影恰在 上，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（12分）
如图，四棱锥 的底面 是正方形，且平面 平面 ． ， 分别是 ， 的中
点，经过 ， ， 三点的平面与棱 交于点 ，平面 平面 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求多面体 的体积．22．（12分）
无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，
“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严 金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，
而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团
的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其
造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱
交 的延长线于点 ，经测量 ，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，
估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式： ）(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的
数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下 的最大值吧.
