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专题13.23 课程学习（最短路径问题）（培优练）
一、单选题
1．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点N，交 于点M， ， 的
周长是 ，若点P在直线 上，则 的最大值为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm
2．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD
长的最大值是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．21
3．如图，在等边 中， 为 中点，点 ， 分别为 ， 上的点， ， ，在
上有一动点 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，已知 ，点 是 内部的一点，且 ，点 分别是射线 和射线 上
的一动点，则 的周长的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，四边形 中， ，点M、N分别是 边上的动点， ，当
的周长最小值时，则 的度数是（ ）
A．124° B．68° C．60° D．56°
6．如图，在 中， ， ， ， 平分 ，点 分别是 ， 边
上的动点，则 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，等腰 中， 是等边三角形，点P是 的角平分线上一动
点，连按 ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
8．如图，在 中， ，若D是 边上的动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在等腰 中， ， 平分 ， 平分 ，M、N分别为射线 、
上的动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．10
10．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在 中， 为 上一动点， 垂直平分 分别交
于E、交 于F，则 的最大值为 ．12．如图，在等腰 中， ， ，作 于点D， ，点E为 边上的中
点，点P为 上一动点，则 的最小值为 ．
13．如图，在长方形 中， ， ， ，动点M在线段 上运动（不与
端点重合），点M关于边 ， 的对称点分别为 ， ，连接 ，点D在 上，则在点M
的运动过程中，线段 长度的最小值是 ．
14．如图，在 中， ， ， ， 是边 上的中线．
（1）若 ，则 的度数是 （用含 的式子表示）；
（2）若点 是线段 上的一个动点，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值是 ．
15．如图，点 ， 分别是角 两边 、 上的定点， ， ．点 ， 分
别是边 ， 上的动点，则 的最小值是 ．16．如图 ABC为等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC为底边作 ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，
再以AD为△底边作 ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°， ADE两底角的角平分△线交于点O，点P为直线AC上
的动点，已知｜BP△−DP|最大值为8．则DP+OP的最△小值为 ．
17．如图，边长为a的等边 中，BF是AC上的中线且 ，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边 ，连接EF，则 周长的最小值是 ，此时 ．
18．如图， ，点M、N分别为角的两边 、 上的点， 平分 ，点P为射线
上一点，且 ， ，若射线 上有一点Q，则 的最小值为 ．
三、解答题
19．已知 是 的三边长， ，设三角形的周长是 ．
尝试：分别写出 及 的取值范围．
发现：当 为奇数时，求 的最大值和最小值．
联想：若 是小于18的偶数，判断 的形状．
20．如图，在 ABC和 ADE中，AB＝AD＝8， BC＝DE， ∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I是 APC内角∠PAC与∠PCA平分线的交点
（1）求证：∠ACB＝∠AED；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当∠BAC＝100°时，∠AIC的取值范围是m°<∠AIC
