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专题13.23 课程学习（最短路径问题）（培优练）
一、单选题
1．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点N，交 于点M， ， 的
周长是 ，若点P在直线 上，则 的最大值为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm
2．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD
长的最大值是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．21
3．如图，在等边 中， 为 中点，点 ， 分别为 ， 上的点， ， ，在
上有一动点 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，已知 ，点 是 内部的一点，且 ，点 分别是射线 和射线 上
的一动点，则 的周长的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，四边形 中， ，点M、N分别是 边上的动点， ，当
的周长最小值时，则 的度数是（ ）
A．124° B．68° C．60° D．56°
6．如图，在 中， ， ， ， 平分 ，点 分别是 ， 边
上的动点，则 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，等腰 中， 是等边三角形，点P是 的角平分线上一动
点，连按 ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
8．如图，在 中， ，若D是 边上的动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，在等腰 中， ， 平分 ， 平分 ，M、N分别为射线 、
上的动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．10
10．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在 中， 为 上一动点， 垂直平分 分别交
于E、交 于F，则 的最大值为 ．12．如图，在等腰 中， ， ，作 于点D， ，点E为 边上的中
点，点P为 上一动点，则 的最小值为 ．
13．如图，在长方形 中， ， ， ，动点M在线段 上运动（不与
端点重合），点M关于边 ， 的对称点分别为 ， ，连接 ，点D在 上，则在点M
的运动过程中，线段 长度的最小值是 ．
14．如图，在 中， ， ， ， 是边 上的中线．
（1）若 ，则 的度数是 （用含 的式子表示）；
（2）若点 是线段 上的一个动点，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值是 ．
15．如图，点 ， 分别是角 两边 、 上的定点， ， ．点 ， 分
别是边 ， 上的动点，则 的最小值是 ．16．如图 ABC为等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC为底边作 ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，
再以AD为△底边作 ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°， ADE两底角的角平分△线交于点O，点P为直线AC上
的动点，已知｜BP△−DP|最大值为8．则DP+OP的最△小值为 ．
17．如图，边长为a的等边 中，BF是AC上的中线且 ，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边 ，连接EF，则 周长的最小值是 ，此时 ．
18．如图， ，点M、N分别为角的两边 、 上的点， 平分 ，点P为射线
上一点，且 ， ，若射线 上有一点Q，则 的最小值为 ．
三、解答题
19．已知 是 的三边长， ，设三角形的周长是 ．
尝试：分别写出 及 的取值范围．
发现：当 为奇数时，求 的最大值和最小值．
联想：若 是小于18的偶数，判断 的形状．
20．如图，在 ABC和 ADE中，AB＝AD＝8， BC＝DE， ∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I是 APC内角∠PAC与∠PCA平分线的交点
（1）求证：∠ACB＝∠AED；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当∠BAC＝100°时，∠AIC的取值范围是m°<∠AIC<n°，分别直接写出m，n的值
21．如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平分线，若 ，
分别是 和 上的动点，求 的最小值．
22．如图，四边形 的对角线 、 相交于点 ，若 为等边三角形， ，
．
（1）求证： 垂直平分 ；
（2）求 的长；
（3）若点 为 的中点，请在 上找出一点 ，使 取得最小值； 的最小值为______
（直接写出结果）．23．在 中， ，点D是直线 上一点（不与B、C重合），以 为一边在 的
右侧作 ，使 ，连接 ．
（1）求证：
（2）当四边形 的周长取最小值时，求 的长．
（3）若 ，当点D在射线 上移动，则 和 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
24．如图，已知 ≌ ，将 沿 所在的直线折叠至 的位置，点B的对应点为 ，
连结 ．（1）直接填空： 与 的位置关系是__________；
（2）点P、Q分别是线段 、 上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知 的面积为36，
，求 的最小值；
（3）试探索： 的内角满足什么条件时， 是直角三角形？
参考答案
1．B
【分析】根据垂直平分线的性质和三角形两边之差小于第三边即可解答．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
如图：在 上取点P，连接
∵ 垂直平分 ，
∴
∴
在 中，
当P、B、C共线时，即P运动到与 重合时， 有最大值，此时 ．
故选：B．【点拨】本题主要考查了线段之差的最大值、三角形的三边关系、垂直平分线的性质等知识点，熟练
运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键．
2．B
【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可
解决问题．
【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
3．A
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．最小
值 ．【详解】解： 是等边三角形，
，
， ， ，
，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，
此时 的值最小．最小值 ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为7．
故选：A．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称
解决最短问题，属于中考常考题型．
4．B
【分析】分别作点P关于 的对称点 ，连接 ，由对称的性质可
得 ， ， ，当M、N在线段 上时，
的周长的最小，最小值为线段 的长，从而求得最小值．
【详解】解：分别作点P关于 的对称点 ，连接 ，如图，
由对称的性质可得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ；
∴ ，
当M、N在线段 时， 的周长的最小，最小值为线段 的长，即最小值为4，
故选：B．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，对称的性质，两点间线段最短等知识，利用对称性把
求三角形周长的最小值转化为折线段的最小值是解题的关键．
5．B
【分析】延长 到E使 ，延长 到F，使 ，连接 ，则当E、N、M、F
四点共线时 最小，即此时 的周长最小，根据等腰三角形的性质得到 ，
，设 ，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【详解】解：延长 到E使 ，延长 到F，使 ，连接
∵ ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
故当E、N、M、F四点共线时 最小，即此时 的周长最小，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
6．D
【分析】作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，证明 ，得 ，欲求
的最小值，只要求出 的最小值，即当 时， 的值最小，此时 与 重合，
与 重合，最小值为 的长．
【详解】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
，
欲求 的最小值，只要求出 的最小值，
当 时， 的值最小，此时 与 重合， 与 重合，最小值为 的长．
在 中， ， ， ，，
的最小值是7，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点 、 的位置
是解题的关键．
7．B
【分析】连接 ，根据 垂直平分 ，即可得到 ，再根据当 在同一直线上时，
的最小值为线段 长，即可得出 的最小值为20．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点P是 的角平分线上一动点， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 在同一直线上时， 的最小值为线段 长，
又∵ 是等边三角形， ，
∴ 的最小值为20，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结
合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．D
【分析】过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，在
中， 当A，D，F在同一直线上，
即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长．
【详解】解：过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，如图所示：
在 中， ，
∴ ，
∵
＝ ，
∴当A，D，F在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，
学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
9．C
【分析】过点C作 ，交 的延长线于点F，则 的最小值为 ．延长 两线交于点G，证明 ， ，根据全等三角形的性质，得到 ．
【详解】过点C作 ，交 的延长线于点F，则 的最小值为 ，
延长 两线交于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为5，
故选D．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短原理，熟练掌握三
角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键．
10．A
【分析】因为 ，所以当AE+EF最小时， 周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接CE并延长，作点A关于射线CE的对称点M，连接AM，CM，连接FM交CE延长
线于点N，连接AN，如下图：
∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB=AC=a，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠DAE=
即
(SAS)
∴∠ABD=∠ACE
∵
∴ ,且BF平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=
∴∠BCE=
即点E在射线CE上运动
∵点A和点M关于射线CE对称
∴ ，CE⊥AM
∴
又∵
∴ 是等边三角形
∴AM=AC
∵BF⊥AC
∴FM=BF=2b又∵
∴当AE+EF最小时， 周长取得最小值
即AE+EF=MN+FN时， 周长取得最小值
∴
故选：A
【点拨】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质判定，以及轴对称求最值，能够根据题意作
出相关的图形是解题的关键.
11． /
【分析】先求出 的长，过点F作 于H，连接 ，若要使 最大，则 需要最小，然
后根据垂线段最短列式求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 中， ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
过点F作 于H，若要使 最大，则 需要最小，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∴ 最小值为 ， 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、 角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，
将 的最大值转化为 最小是解决本题的关键，属于压轴题．
12．
【分析】作点 关于 的对称点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，此时
的值最小，就是 的长，证明 即可．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，此时
的值最小，就是 的长，
， ， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
点E为 边上的中点，
，
，即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．
13．
【分析】过D作 于 ，连接 ，根据题意可得 ，从而可以判定 最
小值为 ，即可求解．
【详解】解：过D作 于 ，连接 ，如图：
长方形 中， ， ， ，
∴
∴ ，
∵M关于边 ， 的对称点分别为M，M，
1 2
∴ ，
∴ ，
线段 长度最小即是 长度最小，此时 ，即M与 重合， 最小值为
．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将 的最小值转化为 的最小值是
解题的关键．
14．
【分析】（1）因为 为等腰三角形，且 是边 上的中线，所以 ， ，
所以 ．又因为 ，所以 ．
（2）如图，连接 ，由对称性可知 ．由垂线段最短及三点共线可知， 的最小值是边 上的高线长．又因为 ，所以 ．
【详解】解：（1）在等腰 ， ，
是边 上的中线，
由等腰三角形“三线合一”可知 ，
，
，
，
故答案为： ；
（2）连接 ，如图所示：
由等腰三角形的对称性可知 ，
，
根据动点最值问题-点线模型，当 三点共线，且由垂线段最短可知， 的最小值是边
上的高线长，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、动点最值问题-点线模型等知识，熟记
等腰三角形性质并灵活运用是解决问题的关键．
15．4
【分析】如图所示，作点D关于 的对称点H，作点C关于 的对称点G，连接
，由轴对称的性质可得 ，
，证明 是等边三角形， ；推出当H、F、E、G四点共线时，最小，即 最小，最小为 的长，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作点D关于 的对称点H，作点C关于 的对称点G，连接
，
由轴对称的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∵ ，
∴当H、F、E、G四点共线时， 最小，即 最小，最小为 的长，
∴ 的最小值为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定
有最小值的情形是解题的关键．
16．4
【分析】作点D关于直线AC的对称点D'，连接DD'交AC于点P，此时｜BP−DP｜最大，求得
AD=AD'=CD=CD'=BD'sin30°=4， 证明 D'AD是等边三角形，推出DD'=4，证明 ODD'≌△OAD' (SSS)，据此
即可求解． △ △
【详解】解：作点D关于直线AC的对称点D'，连接DD'交AC于点P， 连接 CD'，
由三角形两边之差小于第三边可知，此时｜BP−DP|最大，
∴BD'=|BP−DP|max=8，连接OD'，交AC于点H，当P在H时，DP+OP最小；
由题意可得：∠CBA=∠CAB=∠CDA=∠CAD=∠CD'A=∠CAD'=30°，
∴∠BCD'=120°-∠ACD'=90°，
∴AD=AD'=CD=CD'=BD'sin30°=4，
∵∠D'AD=60°，
∴△D'AD是等边三角形，
∴DD'=4，
∵OA是∠DAE的角平分线，DO是∠ADE的角平分线，
∴∠OAD=∠ODA=15°，
∴∠D'AO=75°，
∵ ，
∴△ODD'≌△OAD' (SSS)，
∴∠AOD'=∠DOD'=75°，
∴∠D'OA=∠D'AO=75°，
∴D'O=D'A=4，
∴(DP+OP) =4，
min
故答案为：4
【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等
三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17． /90度
【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线 上运动（ ），作点A关于直线 的
对称点M，连接 交 于点 ，此时 的值最小
【详解】解：∵ ， 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴
∴点E在射线 上运动（ ）
作点A关于直线 的对称点M，连接 交 于点 ，此时 的值最小，
∵
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 周长的最小值是 ，
故答案为： ，
【点拨】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
18．2
【分析】过点N作 于点Q，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出
，根据垂线段最短得出当 最小，且 时， 最小，然后分四种情况进行讨论，求
出 的最小值，即可得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
过点N作 于点Q，如图所示，∵ ，
∴ ，
∵垂线段最短，
∴当 最小，且 时， 最小，
过点P作 于点E，作 于点F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 为直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， 和 为直角三角形，
∴ ，
∴ ；
当点 在点E的下面，点N在点 的左侧时，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 ；
当点 在点E的上面，点N在点 的左侧时，如图所示：
∵ ， ，
∴此时 ，
∴在 中 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 ；
当点 在点E的下面，点N在点 的右侧时，如图所示：∵ ， ，
∴此时 ，
∴在 中 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的外角， ，
∴ ，
∴ ，
∴此种情况不符合题意；
当点M与点E重合，点N与点F重合时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴此种情况不符合题意；
∴ 的最小值为4，∴ ，
即 的最小值为2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外
角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是作出辅助线，分类讨论，找出 的最小值．
19．尝试： ， ；发现： 的最大值为 ， 的最小值为 ；联想： 是等腰
三角形．
【分析】尝试：根据三角形三边关系即可得出 及 的取值范围；
发现：由a、b为偶数，c是奇数可得x也为奇数，利用x的取值范围可知其最大值和最小值；
联想：由x是小于18的偶数和取值范围即可作出判断．
【详解】解：尝试：∵ ，
∴ ，
∴周长 的取值范围为 ；
发现：∵ ，且 为奇数，
∴ 也为奇数，
∵ 的范围为 ，
∴ 的最大值为19，最小值为13；
联想：∵周长 为小于18的偶数，且取值范围为 ，
∴ 或 ，
当 为16时， ，
当 为14时， ，
当 时， ， 为等腰三角形；
当 时， ， 为等腰三角形，
综上所述， 是等腰三角形．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系、不等式的整数解、等腰三角形的判定，利用三边关系得出第
三边的取值范围是解答的关键．
20．（1）见解析；（2）PD＝8－x；PD的最大值为4；（3）m＝105，n＝155．
【分析】（1）证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AED；
（2）根据PD＝AD－AP、垂线段最短解答；（3）先利用三角形内角和定理求出∠BCA，再根据角平分线的定义得到∠IAC＝50°－ α，∠ICA＝
25°，并由三角形内角和定理得到∠AIC＝105°＋ α，最后根据不等式的性质计算即可．
【详解】证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB＝∠AED；
（2）解：∵AD＝8，
∴PD＝AD－AP ＝8－x．
当AD⊥BC时，AP值最小，此时PD的值最大，
∵AD⊥BC，∠B＝30°，
∴AP＝ AB＝ ×8＝4，
∴PD＝8－4＝4，
∴PD的最大值为4；
（3）解：设∠BAP＝α，则∠PAC＝100°－α，
∵∠B＝30°，∠BAC＝100°，
∴∠BCA＝180°－30°－100°＝50°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝ ∠PAC＝ （100°－α）＝50°－ α，∠ICA＝ ∠PCA＝25°，
∴∠AIC＝180°－（∠IAC＋∠ICA）＝180°－（50°－ α＋25°）＝105°＋ α，
∵0°＜α＜100°，
∴105°＜ α＋105°＜155°，即105°＜∠AIC＜155°，
∴m＝105，n＝155．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质、角平分线的定义及三角形的内角
和定理等知识，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用全等三角形的判定与性质及三角形的内角和定理．21．
【分析】在 上截取 ，连接 ， ，可证 ，根据全等三角形的性质
可知点 和点 关于 对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ，
是 的平分线，
在 与 中
点 和点 关于 对称，连接 ， 与 交于 点，连接 ，此时 ，
是动点，
也是动点，当 与 垂直时， 最小，即 最小．
此时，由面积法得 ．
【点拨】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关
键．
22．(1）见解析 (2)3 （3）作图解析；3
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质定理的逆定理证明即可；（2）根据 ，确定 ；根据 ，确定 ；根据 计算即可；
（3）根据轴对称的性质求线段和的最值问题，然后根据等边三角形的性质确定即可．
【详解】（1） ，
点 在线段 的垂直平分线上；
是等边三角形，
，
点 在线段 的垂直平分线上；
根据两点确定一条直线，
是线段 的垂直平分线；
垂直平分 ；
（2） 是等边三角形， ， 垂直平分 ，
， ，
＝ ＝ ，
， ，
；
（3） 垂直平分 ，
点 关于直线 的对称点为点 ，
连接 ，交 于点 ，则点 即为所求；
是等边三角形， ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，轴
对称的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
23．(1）见解析 (2) (3) ，理由见解析
【分析】（1）证明 ，即可证明 ；（2）由 可得 ，进而推出四边形 的周长 ，当 最短时，四边
形 的周长取最小值，即 时周长最小；
（3）先证明 可得 ，即可由四边形内角和得到
．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中
∴
（2）∵ ，
∴
四边形 的周长 ．
∴当 最短时，四边形 的周长取最小值，即 时周长最小
∵
∴ ；
（3） ；
理由如下： ，
∴
又∵
∴
∴ ，
∵四边形 中 ，
而
∴
∴ ．
【点拨】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)
(2)9
（3）当 时， ；当 时，
【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；
（2）根据对称的性质，在 上取点 ，使得 ，结合对称性质推出 ，
确定三点共线且垂直于 时，取得最小值，结合面积进行计算即可；
（3）分 和 两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．
【详解】（1）解：∵ 沿 所在的直线折叠至 的位置，点B的对应点为 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图所示，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
根据对称的性质， ，
∴ ，
要求 的最小值，求 的最小值即可，
∴当B、P、M三点共线，且 时， 取得最小值，
此时 ，如图所示，由对称的性质， ，
∵取得最小值时， ，
∴ ，
即： ，解得： ，
∴ 的最小值为9；
（3）解：①当 时， ；
∵由翻折变换的性质可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②由翻折的性质，当 时， ．
【点拨】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，
熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相
等是解题关键．
