文档内容
专题09 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训
【题型目录】
题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
连接AB，与直线l的交点 两点之间，线段最短，此
P即为所求。 时PA+PB的和最小。
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
作B关于直线l的对称点 化折为直；
C，连AC，与直线l的交 两点之间，线段最短，此
在直线l上找一点P,使得 点P即为所求。 时PA+PB的和AC最小。
PA+PB的和最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理
作P关于OA的对称
点P1，作P关于OB 两点之间，线段最短，此
的对称点P2，连接 时PC+PD+CD的和最小。
P1P2 。
点P在锐角∠AOB的内部，在
OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理将点A乡向下平移MN
两点之间，线段最短，此
的长度得A，连AB，
1 1 时 AM+MN+BN 的最小值为
交n于点N，过N作
AB+MN。
NM⊥m于M。 1
直线m∥n，在m，n上分别
求点 M、N，使 MN⊥m，
MN⊥n，且AM+MN+BN的和最
小。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在 ABC中， ， ，
， 是 中点， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使
最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图， 中， ， ， ， 于点D，
1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，在 中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，
CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
2．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， ， 是 的两条中线， 是线段
上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰 中， ， ，
作 于点D， ，点E为 边上的中点，点P为 上一动点，则 的最小值为
．
4．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在 中， ， ， ，点O是
的中点，点D是线段 上任意一点（不含端点），连接 ，则 的最小值为 ．5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边 （三边相等，三个内角都是 的三角形）的边长
为 ，动点D和动点E同时出发，分别以每秒 的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到
终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t， ， 和 交于点F．
(1)在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由；
(2)连接 ，求t为何值时， ；
(3)若 于点M，点P为 上的点，且使 最短．当 时， 的最小值为多少？
请直接写出这个最小值，无需说明理由．
6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在 中， ．
(1)作 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 （保留作图痕迹）．
(2)连接 ，若 ， 的周长是 ．
①求 的长；
②在直线 上是否存在点 ，使 的值最小，若存在，标出点 的位置并求 的最小值，若不存在，说明理由．
【经典例题二 求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点 ， 在直线 的同侧， 到 的距离 ， 到 的距离 ，已知
， 是直线 上的一个动点，记 的最小值为 ， 的最大值为 ，则 的值为
（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【变式训练】
1．如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线 上的动点，且 ，则 的
最大值是________．
【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝
12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若 PQR 周长最小，则最小周长是( )
△A．6 B．12 C．16 D．20
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图， 中， ， ， 的面积为21，
于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点， 周长的最小是等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图， ， 内有一定点P，且 ．在 上有一动点
Q， 上有一动点R．若 周长最小，则最小周长是________．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、
B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接
A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【经典例题四 最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单
位长度， 的三个顶点都在格点上．
(1)求出 的面积；
(2)画出 关于直线 对称的 ；
(3)在直线 上画出点 ，使得 的值最小．【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知 ， 两点在直线 的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线 上找出一点 ，使 ；
(2)在（图②）直线 上找出一点 ，使 的值最小；
(3)在（图③）直线 上找出一点 ，使 的值最大．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点
N，交 于点M，连接 ．
(1)若 ，则 的度数是___________度；
(2)若 ． 的周长是 ，
①求 的长度；
②若点P为直线 上一点，请你直接写出 周长的最小值．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个
点，请按要求画出图形．(1)作线段 和射线 ；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线 上作 ；
(3)在平面内作一点P，使得 的和最短．
【重难点训练】
1．（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，等腰三角形 的底边 长为4，面积是16，腰
的垂直平分线 分别交 ， 边于E，F点，若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，
则 周长的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．10 D．20
2．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，边长为 的等边 中， 是 上中线且 ，
点 在 上，连接 ，在 的右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值是（ ）A． B． C． D．
3．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在 中， ， ， 是 下方的一动点，
记 ， 的面积分别记为 ， ．若 ，则线段 长的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ， ， 分别是边 ， 上的定点， ，
分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 最小时，则关于 ， 的数量
关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝ ，∠B
＝∠E＝ ， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得 的周长最小时，则∠BAE的度数为（ ）
A．136° B．96° C．90° D．84°
6．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（
）
A． B．2 C． D．4
7．（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝
2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当 PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距
离为（ ） △
A．1 B．2 C．4 D．1.5
8．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在 中， ，以AC为底边在 外作
等腰 ，过点D作 的平分线分别交AB，AC于点E，F．若 ， ，点P是直线
DE上的一个动点，则 周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
9．（2023春·全国·八年级专题练习）在 中， ，D是边 上一点，，E，F分别是边 上的动点，则 的最小值为 ．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）如图，等腰三角形 的底边 长为
2，面积是6，腰 的垂直平分线 分别交 ， 于点E、F，若点D为底边 的中点，点M为线
段 上一动点，则 的周长的最小值为 ．
11．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在 中， ，点
是边 上的一动点．已知 ，现将 绕点 按逆时针方向旋转，点 是边 的中
点，则 ， 长度的最小值为 ．
12．（2023春·八年级课时练习）如图， ， ， 分别为射线 ， 上的动点， 为
内一点，连接 ， ， ．若 ，则 周长的最小值为 ．
13．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+ CE的最小值为
．
14（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上，
且 ， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，求 的最小值为 ．
15．（2022秋·八年级课时练习）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ．若 ，
，则 的度数为 ．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的两条中线，
是 上的一个动点，则图中长度与 的最小值相等的线段是 ．
17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知 ， 两点在直线 的同一侧，根据题意，用尺规作图．(1)在（图①）直线 上找出一点 ，使 ；
(2)在（图②）直线 上找出一点 ，使 的值最小；
(3)在（图③）直线 上找出一点 ，使 的值最大．
18（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄
M，N．完成以下作图．
(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
(2)若在公路 上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标
出点P的位置；
(3)当一节火车头行驶至铁路 上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四
个点，请按要求画出图形．
(1)作线段 和射线 ；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线 上作 ；
(3)在平面内作一点P，使得 的和最短．
20．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄 和村庄 都位于笔直的小河l同侧，要在河边建
一引水站，使它到村庄 ， 需铺设的水管长度之和最小．
(1)请画出引水站 的位置，并连接 （包括画图痕迹）；
(2)若不计杂料，所用水管之和为 米，且 比 长 米，两村庄购买水管花费 元，约定按
长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗 古从军行 开头两句：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图 所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发，
带着马走到河边 点饮水后，再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图
中找出 点，使 的值最小，不说明理由；（2）实践应用 ，如图 ，点 为 内一点，请在射线 、 上分别找到两点 、 ，使 的
周长最小，不说明理由；
（3）实践应用 ：如图 ，在 中， ， ， ， ， 平分 ， 、
分别是 、 边上的动点，求 的最小值．
22．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，
平分 ，交边 于点 ，点 是边 的中点．点 为边 上的一个动点．
(1) ______， ______度；
(2)当四边形 为轴对称图形时，求 的长；
(3)若 是等腰三角形，求 的度数；
(4)若点 在线段 上，连接 、 ，直接写出 的值最小时 的长度．
