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专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）重难点题型专训（8大题型
+29道拓展培优）
题型一 将军饮马之线段和最值
题型二 将军饮马之线段差最值
题型三 将军饮马之两定一动最值
题型四 三点共线最大值
题型五 双对称关系求周长最小值
题型六 两定两动型最值
题型七 两动一定最值
题型八 费马点最值问题
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
连接AB，与直线l的交点 两点之间，线段最短，此
P即为所求。 时PA+PB的和最小。
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
作B关于直线l的对称点 化折为直；
C，连AC，与直线l的交 两点之间，线段最短，此
在直线l上找一点P,使得 点P即为所求。 时PA+PB的和AC最小。
PA+PB的和最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理作P关于OA的对称
点P1，作P关于OB 两点之间，线段最短，此
的对称点P2，连接 时PC+PD+CD的和最小。
P1P2 。
点P在锐角∠AOB的内部，在
OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理
将点A乡向下平移MN
两点之间，线段最短，此
的长度得A，连AB，
1 1 时 AM+MN+BN 的最小值为
交n于点N，过N作
AB+MN。
NM⊥m于M。 1
直线m∥n，在m，n上分别
求点 M、N，使 MN⊥m，
MN⊥n，且AM+MN+BN的和最
小。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 将军饮马之线段和最值】
【例1】如图，在 中， ，分别以点 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于
，画直线 为 的中点， 为直线 上任意一点，若 的面积为15，则
的最小长度为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
1．如图，在 中， ， 平分 ，若P、Q分别是
和 上的动点，则 的最小值是（ ）
A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6
2．如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线，若 ， 分别是
和 上的动点，则 的最小值是 ．
3．唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其
中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后
再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点 ，连接 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点 ，连接
因为点B 、 关于直线l对称，点C、 在直线l上，
所以 ， ，
所以 ，
在 中，依据 ，
可得
所以
即 最小．
(2)迁移应用：如图4， 是等边三角形，N是 的中点， 是 边上的中线， ，M是
上的一个动点，连接 、 ，则 的最小值是 ．
【经典例题二 将军饮马之线段差最值】
【例2】如图，在 中， ， ．延长线段 至点 ，使 ，过点 作射线
，点 为射线 上的动点，分别过点 ， 作直线 的垂线 ， ．当 的值最
大时， 的度数为 ．1．如图， ， 为 上一动点， ，过 作 交直线 于 ，过 作
交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，则 ．
2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知
的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形 关于直线 对称的 ；
(2) 的面积是
(3)在直线 上找出点P，使 最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
3．如图，已知 的三个顶点在格点上．(1)画出 ，使它与 关于直线 对称；
(2)在直线 上画出点D，使 ．
(3)在直线 上画出点P，使 最大．
【经典例题三 将军饮马之两定一动最值】
【例3】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距
离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B． C．
D．
【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧
马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这
件事情所走的最短路程是多少？【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且
△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直
平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【经典例题四 三点共线最大值】
【例5】如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，
△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .1．如图， ， 在 的同侧， ， ， ，M 为 的中点， 若 ，则
的最大值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
2．如图， 为等腰直角三角形， 在 的内部， ， 为射线
上一点，当 最大时， 的度数是 ．
3．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出 关于直线 对称的 ．
(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为 ，则 关于x轴对称 ，写出点
的坐标．
(3)在直线MN上找点P使 最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出 的最大值．
【经典例题五 双对称关系求周长最小值】
【例5】如图，在五边形 中， ， ， ， ，在 、
上分别找到一点 M、N，使得 的周长最小，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使 DEF的
周长最小，此时∠EDF＝（ ） △A．110° B．112° C．114° D．116°
2．如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
在直线 上存在一点 ，使 、 、 三点构成的 的周长最小，则 的周长最小值为
．
3．在草原上有两条交叉且笔直的公路 、 ，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，
， ．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得
的周长最小，则 周长的最小值是 ．
【经典例题六 两定两动型最值】
【例6】几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线
段A′B的长．
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点
（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA
上，则MP+PQ+QN的最小值是________．
1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一
个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ．
2、如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、
N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．【经典例题七 两动一定最值】
【例7】如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是
BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
1、如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（
）
A．BC边上高的长 B．线段EF的长度
C．BC边的长度 D．以上都不对
2、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则
AP+PQ的最小值等于（ ）24 48
A．4 B． C．5 D．
5 5
3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、
AD上的动点，则MN+BN的最小值是 ．
【经典例题八 费马点最值问题】
【例8】【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，
将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是
________．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公
园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和（即
AE+BE+CE）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．1．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点
（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，
P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝（ ）
A．6 B． C． D．9
2．定义：若P为 内一点，且满足 ，则点P叫做 的费马点．
(1)如图1，若点O是等边 的费马点，且 ，则这个等边三角形的高的长度为______；
(2)如图2，已知 ，分别以 为边向外作等边 与等边 ，线段 交于点P，
连接 ，求证：点P是 的费马点；
(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得
该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，
并证明该位置满足设计要求．
3．定义：若 为 内一点，且满足 ，则点 叫做 的费马点．
(1)如图1，若点 是高为 的等边 的费马点，则 = ；(2)如图2，已知 是等边 外一点，且 ，请探究线段 ， ， 之间的数量关系，并
加以证明；
(3)如图3，已知 ，分别以 、 为边向外作等边 与等边 ，线段 、 交于点 ，
连接 ，求证：
①点 是 的费马点；
② ．
4．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫
做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时
， 的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求 的度数．
为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到 处，连接 ，此时
，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出
______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使 ，，求证： ．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ， ， ， ，点P为直角三角形ABC的费马
点，连接AP，BP，CP，请直接写出 的值．
1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图， 中，点D在 边上，过D作 交 于点E，
P为 上的一个动点，连接 ，若 最小，则点P应该满足（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形 中， ，P是 边上的一
动点，要使 的值最小，则点P应满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在 中， ，分别以点 为圆心，以适当长为
半径画弧，两弧分别交于 ，画直线 为 的中点， 为直线 上任意一点，若
的面积为15，则 的最小长度为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
4．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，四边形 中， ， ，在 ，
上分别找一点M，N，使 周长最小，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路 、 ，如图，
，在两条公路之间的点 处有一个草场， ．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，
分别记为 、 ，存在 、 使得 的周长最小．则 周长的最小值是（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
6．（22-23八年级下·福建漳州·期中）如图，在 中， ， ， ，D是 中点，
垂直平分 ，交 于点E，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为
（ ）A．3 B．6 C．9 D．12
7．（23-24八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系 中， ，动点B在x轴上，连接 ，
将线段 绕点A逆时针旋转 至 ，连接 ，则线段 长度最小为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在五边形 中， ， ，
， ，在 、 上分别找到一点 M、N，使得 的周长最小，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，且 ， ，
9．（21-22八年级上·四川广元·期末）如图所示，在四边形ABCD中， ， ， ，
，在AD上找一点P，使 的值最小；则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
10．（21-22八年级上·广东广州·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P是边AC上一定点，此时
分别在边AB，BC上存在点M，N使得△PMN周长最小且为等腰三角形，则此时 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 中， ， ， ， 于点
D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为
．
12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形 中， ，在 上分别
找一点M，N，使 周长最小，此时 ，则 的度数为 ．13．（23-24七年级下·山东济南·期末）在草原上有两条交叉且笔直的公路 、 ，在两条公路之间的
点P处有一个草场，如图， ， ．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记
为M、N，若存在M、N使得 的周长最小，则 周长的最小值是 ．
14．（22-23七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形 中， ，在边
上分别找一点E、F，使 周长最小，此时 ．
15．（22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点 ， ，点P是在x轴上，且使 最小，
写出点P的坐标 ．16．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）如图，直线 垂直平分 的AB边，在直线 上任取一动点 ，
连结 、 、 ．若 ，则 ．若 ， ，则 的最小周长是 ．
17．（22-23八年级上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B在x轴的负
半轴上且 ，点P与点O关于直线 对称，在y轴上找到一点 ，使 的值最小，则
这个最小值为 ．
18．（22-23八年级上·海南海口·期中）如图，在四边形 中， ， ，在边 ，
上分别找一点E，F使 的周长最小．此时 的大小是 ．19．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）如图，已知 ， 平分 ，在 上有一点 ，
，现要在 上分别找点Q，N，使 最小，则其最小值为 ．
20．（21-22八年级上·福建厦门·期末）小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考
虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由PA、PB
跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置（仅
为示意图），能使三条水管长 的和最小.已知 ， ， ，在A
村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是 ．
21．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．(1)作出 关于y轴对称的图形 ．
(2)求 的面积；
(3)在x轴上找一点P，使得 最小，请直接写出点 P 的坐标．
22．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
．
(1)在平面直角坐标系中画出 ，将 平移得到 ，已知 ，则 坐标是______．
(2)求出 的面积；
(3)在 轴上有一点 ，使得 的值最小，保留作图痕迹．
23．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图 ， ， 表示两个村庄，要在 ， 一侧的河岸边建造一个抽水站 ，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站 应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图 ， ， 是直线 同侧的两个点，点 在直线 上． 在何处时， 的值最小．
画图：如图 ，作 关于直线 的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，点 的位置即为所求．
证明： 和 关于直线 对称
直线 垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得
最小值为________（填线段名称），此时P点是线段 和直线 的交点．
【问题拓展】如图4，村庄 的某物流公司在河的对岸有一个仓库 （河流两侧河岸平行，即 ），
为了方便渡河，需要在河上修建一座桥 （桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），
请问桥 修建在何处才能使得 到 的路线最短？请你画出此时桥 的位置（保留画图痕迹，否则不
给分）．
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形 为花海景区， ， 米，
米，长方形 为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线
）， 为起点，终点 在 上， 米， 为湖边观景台，长度固定不变
米），且需要修建在湖边所在直线 上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，
请直接写出步行观光路线的最短长度．24．（2023九年级·四川成都·专题练习）在 中， ，点E在是 边上一动点（不与A、B重
合），连接 ，点P是直线 上一个动点．
(1)如图1， ，E是 中点， ，N是射线 上一个动点，若使得 的
值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出
的最小值；
(2)如图3， ，连接 ， 且 ．求证： ．
25．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建
筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很
大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使
A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点 ，连接 与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结 ， ， ，
∵直线m是点A， 的对称轴，点C，D在m上，
∴ ， ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 最小．
（2）如图4，在等边 中，E是 上的点， 是 的平分线，P是 上的点，若 ，则
的最小值为 ．
【拓展应用】
（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平
面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E
表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享
雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关
于 对称，请你用尺子在 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．26．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是 ，点C坐标为
．
(1)直接写出点B的坐标为___________；
(2)用尺规作图，在x轴上作出点P，使得 的值最小；
(3) ___________度．
27．（21-22七年级上·陕西商洛·期末）点 为 内一点．
(1)在 上求作点 上求作点 ，使 的周长最小，请画出图形；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 周长的最小值．28．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）在四边形 中， ， ，
， ，在 、 上分别找一点 、 ，使得 的周长最小，求 周长的最小值．
29．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt 中， ， ， ， 平分
交斜边 于点D，动点P从点C出发，沿折线 向终点D运动．
(1)点P在 上运动的过程中，当 时， 与 的面积相等；（直接写出答案）
(2)点P在折线 上运动的过程中，若 是等腰三角形，求 度数；
(3)若点E是斜边 的中点，当动点P在 上运动时，线段 所在直线上存在另一动点M，使两线段
的长度之和，即 的值最小，则此时 的长度 （直接写出答案）．
