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专题 13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一： 两定交点型】如图1，直线 和 的异侧两点 A.B，在直线 l上求作一点 P，使
PA+PB最小；
图1
【模型二： 两定一动型】如图2，直线 和 的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使
PA+PB最小（同侧转化为异侧）；
图2
【模型三： 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使
△PAB的周长最小。
图3【模型四： 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的 周长最小。
图4
【模型五： 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作
点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5
【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON
上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6
【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）
型；
【考点3】一定两动（垂线段最短）型； 【考点4】两定两动型；
【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点1】两定一动型；
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交
于点D，则 周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最
短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线 的对
称点为点C，故当点P与点D重合时， 的值最小，即可得到 周长最小．
解：∵ 垂直平分 ，
∴点B，C关于 对称．
∴当点P和点D重合时， 的值最小．
此时 ，
∵ ，
周长的最小值是 ，
故选：C．
【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ．将
沿射线 折叠，使点A与 边上的点D重合，E为射线 上的一个动点，则 周长的最小值
．
【答案】24
【详解】 设 与 的交点为点F，连接 ， 先根据折叠的性质可得 ， ，， ，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时， 周长最小，进而
求解即可．
解：如图，设 与 的交点为点F，连接 ， ，
由折叠的性质得： ， ， ， ，
，
周长 ，
要使 周长最小，只需 最小，
由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，最小值为 ，
∴ 周长为： ．
故答案为：24．
【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图， ，P为 内一点，A为
上一点，B为 上一点，当 的周长取最小值时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间
线段最短的知识画出图形是解题的关键．
如图：作P点关于 的对称点 ，连接 ，此时 的周长最小为 ，求出 即可．
解：如图：作P点关于 的对称点 ，然后连接 ，∵点 与点P关于直线 对称，点 与点P关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由三角形的内角和定理可知： ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图， ，点 分别在射线 上，
， ，点P是直线 上的一个动点，点P关于 的对称点为 ，点P关于 的对称
点为 ，连接 、 、 ，当点P在直线 上运动时，则 面积的最小值是 ．
【答案】18
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，先利用三角形的面积公式求出 ，再根据轴对称的
性质可得 ，从而可得 ，然后利用三角形的面积公式可得 的面积为 ，根据垂线段最短可得当点 与点 重合时， 取得最小值，
的面积最小，由此即可得．
解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ，
∴ 的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
面积的最小值是
故答案为：18．
【考点3】 一定两动型（垂线段最短）；
【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ， ， ， ，
点P、Q分别是边 、 上的动点，则 的最小值等于（ ）A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】作 过于 的对称点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，根据对称可得：
，得到当 三点共线时， 最小，再根据垂线段最短，得到
时， 最小，进行求解即可．
解：作 过于 的对称点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 最小，
∵垂线段最短，
∴ 时， 最小，
连接 ，
∵ 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ；
故选B．
【点拨】本题考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称，解决线段和最小，以及点
到直线，垂线段最短，是解题的关键．
【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，， 是 的角平分线，若 分别是 和 边上的动点，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，全等三角形的性质和判定，能够利用轴对称将线段和的最小
值转化为线段长求解是关键．在 上截取 ，连接 ， ，可证 ，根据全
等三角形的性质可知点 和点 关于 对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答
案．
解：如图，在 上截取 ，连接 ， ，
是 的平分线，
在 与 中点 和点 关于 对称，连接 ， 与 交于 点，连接 ，此时 ，
是动点，
也是动点，当 与 垂直时， 最小，即 最小．
此时，由面积法得 ．
故答案为： ．
【考点4】两定两动型；
【例4】如图，已知 ， 平分 ， ， 在 上， 在 上， 在 上．当
取最小值时，此时 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ，
则由轴对称知识可知 ，所以依据垂线段最短知：当 在一条直
线上，且 时， 取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可
以求出 .
解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ，
则 ， ， ， ， ，∴ ， ， ， ，
当 在一条直线上，且 时， 取最小值，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D.
【点拨】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的
性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.
【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图， ，点 ， 分别是边 ， 上的
定点，点 ， 分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 最小时，则
与 的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，则
最小，易知 ， ，根据三角形的外角的
性质和平角的定义即可得到结论．
解：如图，作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，则
最小，， ，
，
，
故答案为： ．
【考点5】一定两动（等线段）转化型；
【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，
E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ）
A．75° B．90° C．95° D．105°
【答案】C
【分析】先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是
BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可．
解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，∵AC=BC，
∴CH=AC，
∵∠HCB=90°，AD⊥BC，
∴AD//CH，
∵∠ACB=50°，
∴∠ACH=∠CAE=40°，
∴△CFH≌△AEC，
∴FH=CE，
∴FH+BF=CE+BF最小，
此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，
有一定难度．
【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在 中， ， ， ，点E是边
的中点， 的角平分线交 于点D．作直线 ，在直线 上有一点P，连结 、 ，则
的最大值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在 上取点 ，使得 ，可知
，得 ，可知 ，利用转化思想和线段的
和差是解题的关键．
解：∵点 是边 的中点，
∴ ，
在 上取点 ，使得 ，∵ 的角平分线交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，则
的最大值与最小值的差为 ．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角
形的三边关系即可得出结论．
解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6
