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综合与实践 最短路径问题-牧民饮马问题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点N在边BC上，且BN=6，点M，P分别是边AB，AC
上的动点，当PM+PN最小时，BM=5，则AB长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．如图，等边△ABC与△A'BC'关于直线l对称，且△ABC的边长为3，D为线段BC′上一动点，则
AD+CD的最小值是 ．
3．如图，等腰△ABC底边BC长为4 cm，面积12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上中
点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为 cm．
第1题图 第2题图 第3题图
4．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好
在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P
点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下
图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线．
5．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣
的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时
常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？（1）标出图1中C点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，为了说明点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点C′，连接
AC′,BC′,B′C′，请说明AC+BC<AC′+BC′；
（3）如图2，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA
和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
6．如图，∠AOB=12°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记
∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α=（ ）
A．12° B．24° C．36° D．48°
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,AB=5,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则
DE+EF+FD的和的最小值是 ．
