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专题 13.2 解题技巧专题：利用轴对称的性质解决将军饮马问题
目录
【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】........................................................................................................1
【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】........................................................................................................5
【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】......................................................................................................11
【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】..............................................................................................17
【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】......................................................................................................21
【典型例题】
【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】
例题：如图，已知 ， 两点在直线 的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线 上找出一点 ，使 ；
(2)在（图②）直线 上找出一点 ，使 的值最小；
(3)在（图③）直线 上找出一点 ，使 的值最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接 ，作线段 的垂直平分线，交直线 于点 ，则点 即为所求；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，线段 与直线 交于点 ，则点 即为所求．（也可作
关于直线 的对称点 ）
（3）过点 ， 作直线 与直线 交于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）如图①，点P即为所求此时 ；
（2）如图②，点P即为所求
此时 的值最小；
（3）如图③，点P即为所求
此时 最大．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．
【变式训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，点 ．
(1)在图中作出 关于y轴对称的 ；(2)在y轴上画出点P，使得 最小，并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案．
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）作 如图所示，
（2）如图所示，
∵点 与点 关于y轴对称，且P点在y轴上，
∴ ，
∴ ，
要使 最小，连接 即可，
∴P点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
2．在如图所示的直角坐标系中，已知 ， ， ．(1)在图中画出 ，以及 关于y轴成轴对称的 ；
(2) 的面积为______；
(3)在x轴上找一点P，使得 的周长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)7
(3)见解析
【分析】（1）根据A（1，4），B（3，1），C（5，5），即可在图中画出 ABC，再根据轴对称的性质即
可画出 ABC关于y轴成轴对称的 DEF； △
（2）根△据网格利用割补法即可得△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，△连接CB′交x轴于点P，即可使得 PBC的周长最小．
【详解】（1）解：如图， ABC即为所求； DEF即为所求； △
△ △
（2）解： ABC的面积＝4×4− ×2×3− ×2×4− ×1×4＝7；
△
故答案为：7．
（3）解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）已知 ， ， ．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出 ；
(2)画出 关于y轴对称的
(3)点P在y轴上并且使得 的值最小，请标出点P位置并求出最小值．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析， 的最小值为
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理．
（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 ，交x轴于点P，此时 的值最小，利用勾股定理求出
的值即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求．；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：如图，点P即为所求，
由勾股定理得
∴ 的最小值为
【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，等腰三角形 的边 为3，面积为12，腰 的
垂直平分线 分别交边 ， 于点 ， ，若 为 边的中点， 为线段 上一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中位线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识点，熟悉掌握最短路径的辅
助线作法是解题的关键．
连接 ，由 推出当 ， ， 三点共线时 最短，进而通过三角形的面
积公式求解即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴当 ， ， 三点共线时 最短，此时 ，
又∵ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在 中， ， ， ，EF垂直平分
AC，点P为直线EF上一动点，则 周长的最小值是（ ）
A．8.5 B．9 C．12.5 D．15
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设 交 于点 ，连
接 ， ，根据垂直平分线的性质得出 ， ，当 点与 点重合时， 的周长最小，
据此即可求解．
【详解】解：如图所示，设 交 于点 ，连接 ， ，
垂直平分 ，， ，
的周长为：
，
当 点与 点重合时， 的周长最小，
， ，
的周长最小值为： ，
故选：B
2．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，正 的边长为 3，过点 B 的直线 ，且
与 关于直线 l 对称，D 为线段 ，上一动点，则 的最小值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到 ， ，证明
，得到 ，推出当A、D、 三点共线时， 最小，此时
．
【详解】解：如图，连接 ，
∵正 的边长为 3， 与 关于直线l对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴当A、D、 三点共线时， 最小，此时 ，
故选B
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确
掌握全等三角形的判定是解题的关键．
3．（2024·山东菏泽·二模）如图，在 中， ， ， ，点E为边 上
的动点，点F为边 上的动点，则线段 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等
腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
作点 关于 的对称点 ，连接 ，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当
时，线段 的值最小，最小值为 ，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得
，从而可得 ，然后在 中，根据含 角的直角三角形的性质即
可得．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 最小，最小值为 ，
由垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
，
，
又 ，
（等腰三角形的三线合一），，
则在 中， ，
即 的最小值为4，
故答案为：4．
4．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知 中， ， ，高
，P为线段 上一动点，点 为线段AB上一动点．则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及将军饮马的最值模型，熟练掌握线
段垂直平分线的性质是解题的关键；
连接 ，由题意易得 是 的垂直平分线， ，要求 的最小值即为 的最
小值，然后根据点到直线的距离垂线段最短即可进行求解．
【详解】解：连接 ，过点A作 ，垂足为G，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据三角形三边不等关系可知： ，当C、P、D、H共线时取等号，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故 ，
故答案为： ．
5．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图， 是等边三角形，点D是 边的中点， ，
点P，Q是 上的两个动点，且 ．若 于点H，则 的最小值为
【答案】6
【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，三角形的三边关系，轴对称的性质，解题的关
键是能正确作出辅助线，
根据等边三角形的性质可把 转化为 ， 转化为 ，再根据三角形的三边关系可得
，则当 最小时， 最小，即可求解；
【详解】解：连接 ，过点Q作 于点E，连接CE交 于点F，连接 ，如图所示，
是等边三角形，点D是 边的中点，
，当 最小时， 最小，
时，即E为 中点时， 最小，
是等边三角形， ，
时， 最小，
的最小值为6，
故答案为：6
【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】
例题：（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知 ，点M在边 上，且 ，点N
和点P分别是 和 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形 角所对直角边等于斜边一半，作M关于
的对称点 ，过 作 交 于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形 角所对直角
边等于斜边一半求解即可得到答案．
【详解】解：作M关于 的对称点 ，过 作 交 于一点P，如图所示，
∵ 是M关于 的对称点， ， ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
故选：B．
【变式训练】
1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点 ， 分别是角 两边 、 上的定点，
， ．点 ， 分别是边 ， 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】如图所示，作点D关于 的对称点H，作点C关于 的对称点G，连接
，由轴对称的性质可得 ，
，证明 是等边三角形， ；推出当H、F、E、G四点共线时，
最小，即 最小，最小为 的长，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作点D关于 的对称点H，作点C关于 的对称点G，连接
，
由轴对称的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∵ ，
∴当H、F、E、G四点共线时， 最小，即 最小，最小为 的长，
∴ 的最小值为4，
故答案为：4．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定
有最小值的情形是解题的关键．
2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）点 为 内一点．
(1)在 上求作点 上求作点 ，使 的周长最小，请画出图形；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌
握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形；
（2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条
件即可求解．
【详解】（1）解：如图 即为所作三角形
分别过 点作 、 的对称点 ，连接 分别交 、 于点 、 ，连接 、 ，则
即为所求；（2）如图，由（1）知 ，
，
，
，
是等边三角形
周长的最小值为 ．
3．（1）唐朝诗人李顾的诗 古从军行 开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着
一个有趣的数学问题：如图 所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发，带着马走到河边 点饮水后，
再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出 点，使 的值
最小，不说明理由；
（2）实践应用 ，如图 ，点 为 内一点，请在射线 、 上分别找到两点 、 ，使 的
周长最小，不说明理由；
（3）实践应用 ：如图 ，在 中， ， ， ， ， 平分 ， 、
分别是 、 边上的动点，求 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 的最小值为
【分析】（1）作 点关于直线 小河 的对称点 ，连接 ，交 于 ，则 最小；
（2）分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ， ， ，
则 的周长最小；
（3）过点C作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小，证明 ≌ ，
可得 ， ，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最
小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作 点关于直线 小河 的对称点 ，连接 ，交 于 ，则 最小；
理由：根据作法得： ，
∴ ，
∴当点 共线时， 最小；
（2）如图 ，分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ，
， ，则 的周长最小；
理由：根据作法得： ， ，∴ ，
∴当点 共线时， 的周长最小；
（3）如图 ，过点C作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
∵ ，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
，∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮
马”及其变形的模型．
【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】
例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．
(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；
(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中
CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P
是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可；
（2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P；
（3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得
到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共
线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S BDN= ×DN×BN= ×BD×NH求出NH
△
即可．
【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE，
∴DE∥AC，
∵∠DCE=∠B，
∴CD∥AB，
∵∠EAC=∠ACB，∴AE∥CB；
（2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P，
∵AB=AQ，AC⊥BQ，
∴AC是BQ的垂直平分线，
∴BP=PQ，
∴BM+PM=PQ+PM=MQ；
即此时BP＋PM取得最小值；
（3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，
∵AE∥DB，
∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B，
∴∠ENA=90°，
∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，
∴AN=CE，
连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，
∵DE=NE，CE⊥DN，
∴DP=NP，
∴DP+PM=NP+PM，
当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，
∵S BDN= DN BN= BD NH，
△
× × × ×
∴2c NH=2a 2b，
× ×
解得NH= ，
∴DP+PM的最小值为 ．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，轴对称求最短路径问题，正确掌握轴对称的性质得到最短路径问
题的思路并解决问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知 ≌ ，将 沿 所在的直线折叠至
的位置，点B的对应点为 ，连结 ．
(1)直接填空： 与 的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段 、 上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知 的面积为36，
，求 的最小值；
(3)试探索： 的内角满足什么条件时， 是直角三角形？
【答案】(1)
(2)9
(3)当 时， ；当 时，
【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；
（2）根据对称的性质，在 上取点 ，使得 ，结合对称性质推出 ，确定
三点共线且垂直于 时，取得最小值，结合面积进行计算即可；
（3）分 和 两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．
【详解】（1）解：∵ 沿 所在的直线折叠至 的位置，点B的对应点为 ，∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图所示，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
根据对称的性质， ，
∴ ，
要求 的最小值，求 的最小值即可，
∴当B、P、M三点共线，且 时， 取得最小值，
此时 ，如图所示，
由对称的性质， ，
∵取得最小值时， ，
∴ ，
即： ，解得： ，
∴ 的最小值为9；
（3）解：①当 时， ；
∵由翻折变换的性质可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②由翻折的性质，当 时， ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟
知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
是解题关键．
【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】
例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B
两村到河岸的距离分别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两
村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长 ，取 ，再连接 ，与 交于点E即可；
（2）作出以 为斜边的直角 ，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以 为斜边的直角 ，
由（1）可知： ，由题意可得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为 ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于 的对称点是
确定建水厂位置的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米， ，
它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修
建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这
项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【答案】(1)见解析；
(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于M点，即M为所求；
（2）连接 交 于H点，过点B作 ，根据勾股定理求出 ， 即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于M点，即M为所求.（2）解：如图，连接 交 于H点，过点B作 ，
由题意可知： ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
由对称性质可知： ，
水管长 ，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为 （万元）
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学
生的动手操作能力和计算能力．
2．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP
的长度．
【答案】(1)475米(2)1000米， 米
【分析】（1）根据勾股定理列出方程 ，解方程即可；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，交直线l于点P．则AP＝ P，AP+BP＝ P+BP，
PA+PB的最小值为 B．
（1）
解：如图1，
此时AQ＝BQ．
设CQ＝x，则DQ＝800﹣x，
∴ ，
解得x＝475，
即CQ的长为475米；
（2）
解：如图2，
作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，交直线l于点P．
则AP＝ P，
AP+BP＝ P+BP，
PA+PB的最小值为 =1000米．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴CP＝ ＝ ＝ （米），
即CP的长度为 米．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，作图﹣应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P
的位置是本题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线 同旁有两个定点
A，B，在直线 上是否存在点 ，使得 的值最小？
小明的解法如下：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且
的最小值为 ．
问题提出：
(1)如图，等腰 的直角边长为4，E是斜边 的中点， 是 边上的一动点，求 的最小
值．
问题解决：
(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池 ，从蓄水
池 处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为 千米， 千米， 千米．若蓄
水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠 上选择蓄水池 的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．
【答案】(1)
(2)最少的铺设水管的费用是225000元
【分析】(1)作点B关于 的对称点 ，连接 交 于P，此时 的值最小，连接 先根据
勾股定理求出 的长，再判断出 ，根据勾股定理即可得出结论；
(2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作 交 的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出 、
，根据勾股定理求出 ，得到 ，结合题意计算即可．
【详解】（1）解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 的值最小，连
接 ．
因为等腰 的直角边长为4，E是斜边 的中点，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）如图，延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，点 即为所选择的位置，过点 作
交 的延长线于点 ．在 中， 千米， 千米，
所以 （千米），
所以最短路线 （千米），
最少的铺设水管的费用为 （元）．
答：最少的铺设水管的费用是 元．
【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、
两点之间，线段最短的性质是解题的关键．
4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图 ， ， 表示两个村庄，要在 ， 一侧的河岸边建造一个抽水站 ，使得它到两个村
庄的距离和最短，抽水站 应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图 ， ， 是直线 同侧的两个点，点 在直线 上． 在何处时， 的值最小．
画图：如图 ，作 关于直线 的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，点 的位置即为所求．
证明： 和 关于直线 对称
直线 垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得
最小值为________（填线段名称），此时P点是线段 和直线 的交点．
【问题拓展】如图4，村庄 的某物流公司在河的对岸有一个仓库 （河流两侧河岸平行，即 ），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥 （桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），
请问桥 修建在何处才能使得 到 的路线最短？请你画出此时桥 的位置（保留画图痕迹，否则不
给分）．
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形 为花海景区， ， 米，
米，长方形 为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线
）， 为起点，终点 在 上， 米， 为湖边观景台，长度固定不变
米），且需要修建在湖边所在直线 上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，
请直接写出步行观光路线的最短长度．
【答案】【数学建模】 ， ① ， ；【问题拓展】见解析【迁移应用】 米
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，
需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，
往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
【数学建模】由垂直平分线的性质得 ，由两点之间线段最短得 ；
【问题拓展】解过 作 垂直于河岸，使得 ，连接 交另一河岸于 ，过 作 垂直河
岸于 ， 即为所求；
【迁移应用】过 作 ，使得 ，作 关于直线 对称点 ，连接 交直线 于 ，
此时使得 最短，最后由勾股定理求解即可．
【详解】 ，①， ；
解：【问题拓展】桥 修建在如图所示的位置才能使得 到 的路线最短；解：【迁移应用】如图所示，
过 作 ，使得 ，作 关于直线 对称点 ，延长 交 于 ，连接 交直线
于 ，此时使得 最短，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 关于直线 对称点 ，
∴ ， ， ,
∴ ，
在 △ 中，由勾股定理得
，
∴ ，
故步行观光路线的最短长度为 米．
