文档内容
期末复习重点题型几何最值及代数最值问题专题训练（解析版）
第一部分 讲解部分
（一）专题诠释
最值题型一直是中考的热点。它总是以填空或选择的压轴身份出现，有时也穿插在解答题中。由于最
值问题所呈现的背景往往是动态的，这就要求学生有较强的空间想象能力或者抽象思维能力。因此好多学
生望而生畏。但是只要肯下功夫，迎难而上，认真研究，多感悟，多总结，还是有规可循的。
（二）解题策略
对于八年级数学上的几何最值问题，由于学生还没有学到勾股定理，往往还是比较简单的。大致分为
三种类型：最常见的是求两条线段的和的最小值或两条线段的差的最大值。这往往就是路径最短问题（将
军饮马问题），一般是通过作对称点解决；二是求一条线段的最小值，这通常用垂线段最短解决；三是求
一条线段的最大值，这往往是用三角形两边之和大于第三边来解决，在三点共线时取得最大值。有时也可
以是这几种类型的综合。对于周长或面积的最值问题，可以向这三种类型转化。代数最值问题主要用配方
法或借助于完全平方公式变形。同学们可以在下面的典例中加以感悟，在练习中注意迁移。
（三）典例讲解及变式训练
类型一 路径最短问题（将军饮马问题）
典例1 （2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF
上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
1 2 1 1 3
A． a+ b B． a+b C．a+ b D． a
2 3 2 2 2
【思路引领】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接
FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
1
∵AF＝CF= a，BF＝b，
2
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
1
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM= a+b，
2
故选：B．
【总结提升】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴
题．
变式训练
1．（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于
点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
【思路引领】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PC的最小值即为线段AB的长度．
【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线MN对称，
∴线段AB与直线MN的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，∴PA+PC的最小值是3．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质找到
点P的位置是解题的难点．
2．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD．AB＝4
（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小．
（2）求出（1）中PC+PD的最小值．
【思路引领】（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求；
（2）作D′E⊥BC于E，则EB＝D′A＝AD，先根据等边对等角得出∠DCD′＝∠DD′C，然后根据
平行线的性质得出∠D′CE＝∠DD′C，从而求得∠D′CE＝∠DCD′，得出∠D′CE＝30°，根据
30°角的直角三角形的性质求得D′C＝2D′E＝2AB，即可求得PC+PD的最小值．
【解答】解：（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求，此时PC+PD＝
PC+PD′＝CD′，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
（2）作D′E⊥BC于E，则EB＝D′A＝AD，
∵CD＝2AD，
∴DD′＝CD，
∴∠DCD′＝∠DD′C，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABED′是矩形，
∴DD′∥EC，D′E＝AB＝4，
∴∠D′CE＝∠DD′C，
∴∠D′CE＝∠DCD′，
∵∠C＝60°，
∴∠D′CE＝30°，
∴D′C＝2D′E＝2AB＝2×4＝8；
∴PC+PD的最小值为8．【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性
质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是本题的关键．
3．（2023秋•行唐县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP
＝AQ＝QD＝1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路引领】在BC上其一点P'，使BP'＝BP＝1，连接PP'，P'Q，EP'，证明出PE+QE的最小值为线段
P'Q的长，△CP'Q是等边三角形，即可求出P'Q的长，从而解决问题．
【解答】解：如图，在BC上其一点P'，使BP'＝BP＝1，连接PP'，P'Q，EP'，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，
∴直线BD是△ABC的对称轴，点P'与点P关于BD对称，AC＝2AD，
∴PE＝P'E，
∴PE+QE＝P'E+QE≥P'Q，
∴PE+QE的最小值为线段P'Q的长，
∵AQ＝QD＝1，
∴AC＝2（AQ+QD）＝2×2＝4，
∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠C＝60°，
∵AQ＝BP'＝1，
∴CP'＝CQ，
∴△CP'Q是等边三角形，
∴P'Q＝CQ，
∵CQ＝AC﹣AQ＝4﹣1＝3，
∴PE+QE的最小值为3，
故选：B．
【总结提升】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，三角形两边之和大于第三边，
能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．
4．（2023秋•佳木斯期末）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是
y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
【思路引领】作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然
后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE＝4，
则B′E＝4，即B′E＝AE．
∴△B′AE为等腰直角三角形．
∴∠AB′E＝45°．
∴△B′OC′是等腰直角三角形．
∴B′O＝C′O＝3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及等腰直角三角形的性质和判定，根据已知得出
C点位置是解题关键．
5．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动
1
点，△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（ ）
2
A．30° B．45° C．60° D．90°
【思路引领】由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时
PB+PC最小，证明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC．
1
【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，
2
∴P点在AD的垂直平分线上，
作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，
由对称性可知，B'P＝BP，
∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，
∵AD＝BB'，AD＝BC，
∴BB'＝BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB＝∠B'＝45°，∴∠B'BP＝45°，
∴∠PBC＝45°，
故选：B．
【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质
是解题的关键．
6．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，
DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 45 ° ．
【思路引领】过点D作DF⊥AC于点F，可知点D在到AC的距离为1的直线上，作出该直线l，利用将
军饮马模型，作点 A关于直线 l的对称点 A′，连接 A′B交直线 l于点D′，此时 AD′+BD′＝
A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理分别
求得∠ABA′和∠ABC的度数，则结论可求．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DE∥AB，
∴∠DEF＝∠BAC＝30°，
∵DF⊥AC，
1
∴DF= DE＝1，
2
∴点D到直线AC的距离等于定值1．
过点D作直线l∥AC，则点D在直线l上运动，
作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，由将军饮马模型可知：此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．
由题意：AA′⊥l，AG＝GA′，
∵l∥AC，DF⊥AC，
∴四边形AFDG为矩形，
∴AG＝DF＝1，
∴AA′＝AG+A′G＝2，
∵AB＝AC＝2，
∴AB＝AA′，
∴∠ABA′＝∠A′．
∵∠BAC＝30°，∠FAG＝90°，
∴∠BAA′＝120°，
180°−120°
∴∠ABA′＝∠A′= =30°．
2
∵∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，
180°−30°
∴∠ABC＝∠ACB= =75°，
2
∴∠DBC＝∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝45°．
故答案为：45°．
【总结提升】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定
与性质，利用将军饮马模型构造辅助线解答是解题的关键．
类型二 求两条线段差的最大值
典例2 （2023秋•高新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB
于点M，AB＝10，△BMC的周长是16，若点P在直线MN上，PA﹣PB的最大值为 6 ．【思路引领】先找出BC的长，再确定PA﹣PB的取得最大值为BC的长即可．
【解答】解：∵AC的垂直平分AC，
∴MA＝MC，
∵△BMC的周长是16，AB＝10，
∴BC＝△BMC的周长﹣（MC+MB）＝16﹣（AM+MB）＝16﹣AB＝16﹣10＝6，
点P在直线MN上，如图，连接PA，PC，PB，
∵点P在AC的垂直平分线MN上，
∴PA＝PC，
∴PA﹣PB＝PC﹣PB≤BC＝6，
故PA﹣PB的最大值为6，此时点P是直线MN与直线BC的交点．
故答案为：6．
【总结提升】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．
变式训练
1．（2022•泗洪县模拟）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的
动点，则|PA﹣PB|的最大值为 4 ．【思路引领】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，
|PA﹣PB|＝A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，根
据三角形的内角和得到∠ACD＝75°，于是得到∠CAA′＝15°，根据轴对称的性质得到A′C＝BC，
∠CA′A＝∠CAA′＝15°，推出△A′BC是腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，
|PA﹣PB|＝A′B，
连接A′C，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠CAA′＝15°，
∵AC＝A′C，
∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，
∴∠ACA′＝150°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A′CB＝60°，
∴△A′BC是等边三角形，
∴A′B＝BC＝4．
故答案为：4．【总结提升】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性
质，正确的作出图形是解题的关键．
类型三 一定点两动点求周长的最小值
典例3（2023秋•凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上
分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝ 15 0 °．
【思路引领】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出 A关于
BC 和 CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠A′+∠A″＝75°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2
（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则
A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB＝105°，
∴∠A′+∠A′′＝180°﹣∠BAD＝180°﹣105°＝75°，
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×75°＝150°，
故答案为：150．
【总结提升】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角
的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
变式训练
1．（2022秋•博乐市校级期末）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝3，点E，
F分别是OA，OB上的动点，若使△PEF周长的最小，则最小周长是（ ）A．1 B．2 C．3 D．3❑√2
【思路引领】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为 D．当点F、E在CD上时，△PEF的
周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接 CD，分别交OA、OB于点E、F，连接
OP、OC、OD、PE、PF．点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD．
∴△PEF的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD．
∵CD＝OC＝OD，OP＝OD，
∴最小周长是3，
故选：C．
【总结提升】本题主要考查轴对称——最短路线问题，等边三角形 的判定和性质，熟知两点之间线段
最短以及等边三 角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2023秋•奉化区期末）如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边
OB、OA上的动点，记∠MPQ＝ ，∠PQN＝ ，当MP+PQ+QN最小时，则 ﹣ 的值为 40 ° ．
α β β α【思路引领】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB
于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形
的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，
交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
1 1
∴∠QPN= （180°﹣ ）＝∠AOB+∠MQP＝20°+ （180°﹣ ），
2 2
α β
∴180°﹣ ＝40°+（180°﹣ ），
∴ ﹣ ＝α40°， β
故β答案α为40°．
【总结提升】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题．
类型四 求一条线段的最小值
典例4（2021秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线
l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 4 ．
【思路引领】过点D作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵△BCD的面积为16，BC＝8，∠C＝90°，
∴CD＝4，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
当AP⊥直线l时，AP的值最小，
此时四边形APDE为矩形，
∴AP＝DE＝4，
∴AP最小值为4，
故答案为：4．
【总结提升】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算、垂线段最短，掌握角的平分线上的点
到角的两边的距离相等是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•东台市月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点．若PD
＝5，则PQ的最小值为（ ）
A．PQ＜5 B．PQ＝5
C．PQ＞5 D．以上情况都有可能
【思路引领】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等
可得PQ＝PD．
【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PQ＝PD＝5，
即线段PQ的最小值是5．
故选：B．
【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并判断出角平分线上的
点到角的两边距离相等可得PQ＝PD是解题的关键．
类型五 构造全等三角形求最值
典例5（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC=4❑√2，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点
M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 4❑√2 ．
【思路引领】过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H，证明△ADE≌△BDH，根据全等三角形的性质
得到AE＝BH，得到答案．
【解答】解：过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H，
在△ADE和△BDH中，
{∠AED=∠BHD
)
∠ADE=∠BDH ，
AD=BD
∴△ADE≌△BDH（AAS），
∴AE＝BH，
∴AE+CF的最大值是BH+CF的最大值，
由题意可知：BH+CF≤BC，
∴AE+CF的最大值为4❑√2，
故答案为：4❑√2．
【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．变式训练
1．（2022秋•启东市校级期末）如图，等边三角形ABC和等边三角形A′B′C的边长都是3，点B，C，
B′在同一条直线上，点P在线段A′C上，则AP+BP的最小值为 6 ．
【思路引领】连接PE，证明△ACP≌△B'CP，可得AP＝B'P，所以AP+BP＝AP+B'P，当点P与点C重
合时，AP+BP的值最小，正好等于BB'的长，进而可得AP+BP的最小值．
【解答】解：如图，连接PB'，
∵△ABC和△A′B′C都是边长为3的等边三角形，
∴AC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB＝60°，
∴∠ACA'＝60°，
∴∠ACA'＝∠A'CB'，
∴△ACP≌△B'CP（SAS），
∴AP＝B'P，
∴AP+BP＝BP+B'P，
当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BB'的长，
所以AP+BP的最小值为：2×3＝6．
故答案为：6．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决
本题的关键是综合运用以上知识．
2．（2020秋•海安市校级期末）已知，如图，△ABC是边长为4的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D
是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为 1 ．【思路引领】取AB中点H，连接DH，由“SAS”可证△BHD≌△BFE，可得EF＝DH，则当DH取最
小值时，EF有最小值，即当DH⊥AF时，DH有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，取AB中点H，连接DH，
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，
1 1
∴BF= BC= AB＝2，∠BAF＝30°，
2 2
∵H是AB中点，
1
∴AH＝BH= AB＝BF＝2，且∠ABD＝∠EBC，BD＝BE，
2
∴△BHD≌△BFE（SAS），
∴EF＝DH，
∴当DH取最小值时，EF有最小值，
当DH⊥AF时，DH有最小值，
1
∴DH= AH＝1，
2∴EF的最小值为1．
故答案为：1．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明EF＝DH是本题的关键．
3．（2021秋•启东市期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝
CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝ 10 5 °．
【思路引领】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为
FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点 F的位置，即F为AC与BH的交点时，
BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【解答】解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH（SAS），
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为：105．【总结提升】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助
线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置．
4．（2021秋•启东市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），
（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则
点P的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）
【思路引领】将点E（8，2）往左平移2个单位得到F（6，2），则四边形EFPQ是平行四边形，所以
FP＝QE，作点F关于x轴的对称点F'，连接PF'，则PF'＝PF，F'（6，﹣2），当点A、P、F在同一直
线上时，AP+PF'最小，即AP+EQ最小，求出直线AF'解析式：y＝﹣x+4，即求出答案．
【解答】解：如图，将点E（8，2）往左平移2个单位得到F（6，2），则EF＝2＝PQ，EF∥PQ，∴四边形EFPQ是平行四边形，
∴FP＝QE，
作点F关于x轴的对称点F'，连接PF'，
则PF'＝PF，F'（6，﹣2），
∴当点A、P、F在同一直线上上时，AP+PF'最小，
即AP+EQ最小，
∵A（0，4），F'（6，﹣2），
∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4，
∴P（4，0），
故选：C．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，正确作出平行四边形EFPQ是解题的关键．
类型六 代数最值问题
典例6（2023秋•南通期中）请同学们运用公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc解决问题：已知a，b，
c满足a2+b2+c2＝6，则（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2的最小值为 6 ．
【思路引领】由完全平方公式可得（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2＝a2+b2+c2+（a+b+c）2，即可求解．
【 解 答 】 解 ： ∵ （ a+b ） 2+ （ b+c ） 2+ （ c+a ） 2 ＝ 2a2+2b2+2c2+2ab+2ac+2bc ＝
a2+b2+c2+a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝a2+b2+c2+（a+b+c）2，
∴（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2＝6+（a+b+c）2≥6，
∴当a+b+c＝0时，（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2的最小值为 6，
故答案为：6．
【总结提升】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•如东县期末）已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式3a﹣a2﹣b2的最大值为（ ）
A．﹣4 B．﹣5 C．4 D．5
【思路引领】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式3a﹣a2﹣b2中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴3a﹣a2﹣b2＝3a﹣a2﹣（a﹣4）＝﹣a2+2a+4＝﹣（a﹣1）2+5，
∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵﹣1＜0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而减小，
∴当a＝4时，原式取最大值为﹣4，
故选：A．
【总结提升】本题解题的关键是灵活应用配方法，从而完成求解．
2．（2022秋•南通期末）已知m，n均为正整数且满足mn﹣3m﹣2n﹣24＝0，则m+n的最大值是（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
【思路引领】由mn﹣3m﹣2n﹣24＝0得（m﹣2）（n﹣3）＝30．由于30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6＝
30×1＝15×2＝10×3＝6×5，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值即可求得m+n的最大
值．
【解答】解：将方程左边变形得：mn﹣3m﹣2n+6﹣30
＝m（n﹣3）﹣2（n﹣3）
＝30．
∴（m﹣2）（n﹣3）＝30．
{m−2=1) {m−2=2) {m−2=3) {m−2=5) {m−2=30)
∵ m ， n 均 为 正 整 数 ∴ 或 或 或 或 或
n−3=30 n−3=15 n−3=10 n−3=6 n−3=1
{m−2=15) {m−2=10) {m−2=6)
或 或 ，
n−3=2 n−3=3 n−3=5
{m=3) {m=4) {m=5) {m=7) {m=32) {m=17) {m=12) {m=8)
解得 或 或 或 或 或 或 或 ，
n=33 n=18 n=13 n=9 n=4 n=5 n=6 n=8
∴m+n＝36或22或18或16，
∴m+n的最大值是36．
故选：D．
【总结提升】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将 mn﹣3m﹣2n﹣24＝0变形为（m﹣2）
（n﹣3）＝30．3．（2023春•天元区校级期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a＜b＜c），若△ABC的周长为30，那
么c2+18a+18b﹣446的最小值为 1 7 ．
【思路引领】根据三角形的周长得到a+b＝30﹣c，整体代入c2+18a+18b﹣446，得到（c﹣9）2+13，利
用三角形的三边关系求出10＜c＜15，根据c是整数，利用完全平方式的非负性求出最小值即可．
【解答】解：∵△ABC的周长为30．
∴a+b+c＝30．
∴a+b＝30﹣c，
而a+b＞c，
则30﹣c＞c，
∴c＜15，
∵a＜b＜c，
∴10＜c＜15，
∴c2+18a+18b﹣446
＝c2+18（a+b）﹣446
＝c2+18（30﹣c）﹣446
＝（c﹣9）2+13，
∵c是整数，
∴当c＝11时，c2+18a+18b﹣446的值最小，且为17．
故答案为：17．
【总结提升】本题考查了三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是掌握三角
形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，正确求出c的取值范围．
4．（2023•冀州区校级模拟）将二次三项式3a2+12a+12分解因式的结果为 3 （ a + 2 ） 2 ，它的最小值为
0 ．
【思路引领】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：3a2+12a+12＝3（a2+4a+4）＝3（a+2）2，
则它的最小值为：0．
故答案为：3（a+2）2，0．
【总结提升】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关
键．
5．（2023春•亭湖区校级期中）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+8，则a+b+c的最小值是
7 ．【思路引领】由已知abc＝ab+8可化为ab（c﹣1）＝8，因为a、b、c都是正整数，a只能取2的倍数，
根据a的取值即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
【解答】解：∵abc＝ab+8，
∴abc﹣ab＝8，
即ab（c﹣1）＝8，
因为a、b、c都是正整数，a≠1
所以当a＝2，b＝1，c＝5时，a+b+c＝8，
当a＝2，b＝2，c＝3时，a+b+c＝7，
当a＝2，b＝3，c＝2时，a+b+c＝7，
当a＝4，b＝1，c＝3时，a+b+c＝8，
当a＝8，b＝1，c＝2时，a+b+c＝11，
所以a+b+c的最小值是 7．
故答案为：7．
【总结提升】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
6．（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，则
（a﹣b）2的最小值为 0 ．
【思路引领】根据偶次方的非负性以及完全平方公式解决此题．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0，
∴a2+b2≥2ab．
∴4≥2ab．
∴ab≤2．
∴﹣ab≥﹣2．
∴﹣2ab≥﹣4．a2+b2≥2ab
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4﹣2ab≥0．
∴（a﹣b）2的最小值为0．
故答案为：0．
【总结提升】本题主要考查完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性
是解决本题的关键．
7．（2019秋•雁江区期末）当a＝ 2 ，b＝ ﹣ 3 时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值．
【思路引领】首先利用完全平方公式把多项式a2+b2﹣4a+6b+18变为三个非负数的和的形式，然后利用
非负数的性质即可求出a、b的值．【解答】解：∵a2+b2﹣4a+6b+18，
＝a2﹣4a+4+b2+6b+9+5，
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值．
【总结提升】本题考查了完全平方公式，利用公式把多项式变为几个非负数的和的形式，然后利用非负
数的性质解决问题．
8．（2020•浙江自主招生）已知实数x、y满足关系式xy﹣x﹣y＝1，则x2+y2的最小值为 6 ﹣ 4❑√2 ．
【思路引领】将原式用含xy的平方式表示，再求最值．
【解答】解：∵xy﹣x﹣y＝1，
x+ y 2
∴xy＝x+y+1≤( ) ，
2
∴（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0
∴x+y≥2+2❑√2或x+y≤2﹣2❑√2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2＝（x+y﹣1）2﹣3，
∴当x＝2﹣2❑√2时，函数有最小值6﹣4❑√2．
故答案为6﹣4❑√2．
【总结提升】本题考查求最小值，将原式用含xy的式子表示是求解本题的关键．
