文档内容
专题 13.2 轴对称的性质【八大题型】
【人教版】
【题型1 游戏中的轴对称】......................................................................................................................................1
【题型2 利用轴对称的性质求角度】......................................................................................................................3
【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】..............................................................................................................4
【题型4 在格点中作轴对称图形】..........................................................................................................................6
【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】.........................................................................................................8
【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】................................................................................................11
【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】...................................................................................................13
【题型8 轴对称图案的设计】................................................................................................................................18
【知识点1 轴对称的性质】
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【题型1 游戏中的轴对称】
【例1】（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线 l，在
直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P 处有一粒跳棋子，
1
P 距A点6cm、与直线l的距离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P 点以A为对称中心跳至P 点；
1 1 2
第2次，从P 点以l为对称轴跳至P 点；第3次，从P 点以B为对称中心跳至P 点；第4次，从P 点
2 3 3 4 4
以l对称轴跳至P 点；…．
5
（1）棋子跳至P 点时，与点P 的距离是 ；
6 1
（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是 ．【变式1-1】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了 7枚棋子，棋盘中
心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，
所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【变式1-2】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白
棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不
正确的是（ ），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．
A．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2）
C．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6）
【变式1-3】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋
子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知
点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 3 步．【题型2 利用轴对称的性质求角度】
【例2】（2022秋•河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作
点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于 ．
【变式2-1】（2022春•寿阳县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E
和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（ ）
A．140° B．135° C．120° D．100°
【变式2-2】（2022秋•台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于
AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是 度．
【变式2-3】（2022秋•房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R
是点P关于OB的对称点，直线 QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．
【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】
【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称
点，若△PEF的周长为15，求MN的长．
【变式3-1】（2022春•洛宁县期末）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．
【变式3-2】（2022春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，
点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝
3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为 ．
【变式3-3】（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D，E分别
在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．
（1）求AE的长；
（2）求△ADE的周长．【题型4 在格点中作轴对称图形】
【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，
（1）写出顶点C的坐标；
（2）作△ABC关于y轴对称的△ABC ，并写出B 的坐标；
1 1 1 1
（3）若点A（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．
2
【变式4-1】（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（﹣7，7）、
（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）．（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形ABC D； （不写作法）
1 1 1 1
（2）写出点A 和C 的坐标；
1 1
（3）求四边形ABC D 的面积．
1 1 1 1
【变式4-2】（2022秋•嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1，格点三角形
ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（﹣6，7），（﹣4，3）．
（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系．
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△ABC
1 1 1
【变式4-3】（2022春•铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：
（1）若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△ABC ，请画出平移后的图形并写出
1 1 1
A，B，C 的坐标；
1 1 1（2）若△ABC 是△ABC关于x轴对称的图形，请画出△ABC 并写出A，B，C 的坐标．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】
【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你
判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由
思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝
100°，求∠BIC的度数；
拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC
折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【变式5-1】（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的
中点E处，点A落在F处，折痕为MN．
（1）求线段CN长．
（2）连接FN，并求FN的长．
【变式5-2】（2022秋•成都期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，点
E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在四边形ABCD内部时，
PD的最小值等于 ．【变式5-3】（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝
5．在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点
K，得到△MNK．
（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是 ；
1
（2）问△MNK的面积能否小于 ？试说明理由；
2
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．
【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】
【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海
伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便
流传至今．
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，
∴AC+CB＝AC+ ＝ ．
在△AC′B′中，
∵AB′＜AC′+C′B′
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用
“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中 C在AB′与l的交
点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小
值”的问题的数学模型．
【简单应用】
（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的
最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小
值就是线段 BE 的长度，则EM+MC的最小值是 ；
（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N当
△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝ °．
【拓展应用】
如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘
货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头
B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
【变式6-1】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，点D，E在AB边上，AD＝CD，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-2】（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，点E为边
BC上的一个动点．E ，E 分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接EE ，则线段EE 长度的最小
1 2 1 2 1 2
值是 ．
【变式6-3】（2022春•青羊区期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，
过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】
【例7】（2022春•二道区期末）解答下列各题：
（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，∠BAC＝70°，点D在BC的延长线上，三角形的内角
∠ABC与外角∠ACD的角平分线BP，CP相交于点P，求∠P的度数﹒（写出完整的解答过程）
（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNCB中，设∠M＝a，∠N＝β，四边形MNCB的内角∠MBC
与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠P的度数为 ﹒（用含有α和β的代数
式表示）（3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他条件不变，将△PBC以
直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M，则∠BMC的度
数为 .（用含有γ的代数式表示）
【变式7-1】（2022秋•洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留
作图痕迹，不写作法）．
问题探究：
（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝
AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．
深入思考：
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过
点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．
【变式7-2】（2022春•临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小
进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A′处，EF为折痕，如图①所示．（1）若∠AEF＝30°，
①求∠A′EB的度数；
②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA′上的B′处，折痕为EG，如图②所示，求∠FEG的
度数；
（2）若改变∠AEF的大小，则EA′的位置也随之改变，则∠FEG的大小是否改变？请说明理由．
【变式7-3】（2022秋•鼓楼区月考）问题情境
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠BAC的平分线AB
1 1 1 1 2
折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠BAC的平分线AB 折叠，点B 与点C重合，我们就称
n n n n+1 n∠BAC是△ABC的正角．
以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB 折叠，则∠AAB ＝70°．沿
1 1 1
AB 剪掉重叠部分，在余下的△BAC中，由三角形的内角和定理可知∠ABC＝35°，若沿∠BAC的平
1 1 1 1 1 1 1 1
分线AB 第二次折叠，则点B 与点C重合．此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角．
1 2 1
探究发现
（1）△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？ （填“是”或
“不是”）．
（2）小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关
系为 ．
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的
等量关系为 ．
应用提升
（3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均
是它的正角．
【题型8 轴对称图案的设计】
【例8】（2022秋•沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样的瓷砖拼出一个正方形，
使所拼的图案为轴对称图形．在图4中画出你的四个设计方案．（图2、图3视为同一图案）【变式8-1】（2022•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），
（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都
是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
【变式8-2】（2022春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： ；
特征2： ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案
与以上四幅图中的图案不能相同）
【变式8-3】（2022秋•盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称
图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多．某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷砖
拼成一个正方形，形成轴对称图案．（至少设计四种图案）
