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专题 13.3 利用轴对称的性质解决将军饮马问题之五大题型
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【题型一 在几何中找线段和最小值的点】....................................................................................................1
【题型二 三角形中线段和的最小值问题】....................................................................................................6
【题型三 在角中线段和最小值的问题】......................................................................................................13
【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】......................................................................................18
【题型五 实际问题中的最短路径问题】......................................................................................................22
【典型例题】
【题型一 在几何中找线段和最小值的点】
例题：如图，已知 ， 两点在直线 的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线 上找出一点 ，使 ；
(2)在（图②）直线 上找出一点 ，使 的值最小；
(3)在（图③）直线 上找出一点 ，使 的值最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接 ，作线段 的垂直平分线，交直线 于点 ，则点 即为所求；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，线段 与直线 交于点 ，则点 即为所求．（也可作
关于直线 的对称点 ）
（3）过点 ， 作直线 与直线 交于点 ，则点 即为所求．【详解】（1）如图①，点P即为所求
此时 ；
（2）如图②，点P即为所求
此时 的值最小；
（3）如图③，点P即为所求
此时 最大．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．
【变式训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，点 ．(1)在图中作出 关于y轴对称的 ；
(2)在y轴上画出点P，使得 最小，并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案．
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）作 如图所示，
（2）如图所示，
∵点 与点 关于y轴对称，且P点在y轴上，
∴ ，
∴ ，
要使 最小，连接 即可，
∴P点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
2．在如图所示的直角坐标系中，已知 ， ， ．(1)在图中画出 ，以及 关于y轴成轴对称的 ；
(2) 的面积为______；
(3)在x轴上找一点P，使得 的周长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)7
(3)见解析
【分析】（1）根据A（1，4），B（3，1），C（5，5），即可在图中画出 ABC，再根据轴对称的性质即
可画出 ABC关于y轴成轴对称的 DEF； △
（2）根△据网格利用割补法即可得△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，△连接CB′交x轴于点P，即可使得 PBC的周长最小．
【详解】（1）解：如图， ABC即为所求； DEF即为所求； △
△ △
（2）解： ABC的面积＝4×4− ×2×3− ×2×4− ×1×4＝7；
△
故答案为：7．
（3）解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)请画出 向右平移5个单位长度后得到 ；
(2)在x轴上找出一点P，使 的周长最小，并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) ， 图见解析
【分析】（1）分别把 、 、 三点向右平移5个单位得到 、 、 即可解决问题．
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，点 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所画．
（2）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，点 即为所求．此时 ．由对称的性质可得 ，
∴ ，
根据两点之间线段最短，此时 最小，
∵ 的周长 ，
∴此时 的周长最小．
【点睛】本题考查作图 平移变换，轴对称 最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利
用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【题型二 三角形中线段和的最小值问题】
例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图， 是 的角平分线， 的面积为12， 长为6，
点E，F分别是 ， 上的动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】作 关于 的对称点 ，由 是 的角平分线，得到点 一定在 上，过 作
于 ，交 于 ，则此时， 的值最小， 的最小值 ，过 作 于
，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【详解】解：作 关于 的对称点 ，是 的角平分线，
点 一定在 上，
过 作 于 ，交 于 ，
则此时， 的值最小， 的最小值 ，
过 作 于 ，
的面积为12， 长为6，
，
垂直平分 ，
，
，
，
的最小值是4，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证
明 的最小值为三角形某一边上的高线．
【变式训练】
1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，面积是10； 的垂直
平分线 分别交 ， 边于E、D两点，若点F为 边的中点，点P为线段 上一动点，则
周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．14
【答案】A
【分析】连接 ，根据线段垂直平分线性质得 ， 周长，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出 ， ，即
可得出答案．
【详解】解：如图所示．连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 周长 ．
连接 ，
∵ ，点F是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ 周长的最小值是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判
断 周长的最小值是解题的关键．
2．如图，等腰三角形 的底边 长为4，面积是14，腰 的垂直平分线 分别交 ， 边于 ，
点，若点 为 边的中点，点 为线段 上一动点，则 周长的最小值为 ；
【答案】9
【分析】连接 ，由于 是等腰三角形，点 是 边的中点，故 ，再根据三角形的面积
公式求出 的长，再根据 是线段 的垂直平分线可知，点 关于直线 的对称点为点 ，故
的长为 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接 ， ．
是等腰三角形，点 是 边的中点，
，
，解得 ，
是线段 的垂直平分线，
点 关于直线 的对称点为点 ，
的长为 的最小值，
的周长最短 ．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
3．在 中， ，D是边 上一点， ，E，F分别是边
上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】5
【分析】延长 作 ，连接 ，由点到直线的距离可知当 时 有最小值，根
据30度角的直角三角形性质作答即可．
【详解】解：延长 作 ，连接 ，此时 ，
∵ 最小，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了求最短距离，含30度角的直角三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
4．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰 中， ， ，作
于点D， ，点E为 边上的中点，点P为 上一动点，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，此时
的值最小，就是 的长，证明 即可．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，此时
的值最小，就是 的长，
， ， ，
，，
，
，
，
是等边三角形，
点E为 边上的中点，
，
，即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对
称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．
5．如图，直线 是 中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若 ， ，
．
(1)求 的最小值，并说明理由．
(2)求 周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB
长度即可得到结论．
【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，∴点C关于直线m的对称点是点B，
则 ，
∵ ，
∵ ，
要使 周长最小，
即 最小，
当点P是直线m与AB的交点时， 最小，
即 ，此时 ．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
(3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若
不存在，说明理由．
【答案】(1)50°
(2)∠AMN =2∠B-90°，理由见解析
(3)①6cm；②存在，图见解析，8cm
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关
系，可得答案；
（2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，再根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（3）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据题意得
出点B关于直线MN的对称点为点A，要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，此时点P与点M重合，则可得PB＋PC的最小值．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠B=∠C=70°，
∴ ，
∵MN垂直平分AB，
∴ ，
∴ ．
故答案为：50°．
（2）解：∠AMN =2∠B-90°；理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B，
又∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠ANM=90°，
∴∠A+∠AMN=90°，
∴∠AMN=90-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B−90°．
（3）①∵MN是AB的垂直平分线
∴AM=BM
∵C BCM =BM+BC+CM
△
=AM+MC+BC
=AC+BC
=14cm，
又∵AB=AC=8cm，
∴BC=14-8=6（cm）；
②∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，
∴点P与点M重合，PB+PC=AC=8cm，
∴PB＋CP的最小值是8cm．【点睛】本题主要考查了轴对称，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质、最短路径问题，解题的关键
是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【题型三 在角中线段和最小值的问题】
例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图， ，M是边 上的一个定点，且 ，
N，P分别是边 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】 / 厘米
【分析】作M关于 的对称点Q，过Q作 于N，交 于P，则此时 的值最小，连接
，得出 ，根据含30度角的直角三角形性质求
出 即可．
【详解】作M关于 的对称点Q，过Q作 于N，交 于P，则此时 的值最小，连接
，
则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称—最短路径问题，垂线段最短的应用，确定点
P、N的位置的解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点 ， 分别是角 两边 、 上的定点，
， ．点 ， 分别是边 ， 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】如图所示，作点D关于 的对称点H，作点C关于 的对称点G，连接
，由轴对称的性质可得 ，
，证明 是等边三角形， ；推出当H、F、E、G四点共线时，
最小，即 最小，最小为 的长，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作点D关于 的对称点H，作点C关于 的对称点G，连接
，
由轴对称的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∵ ，
∴当H、F、E、G四点共线时， 最小，即 最小，最小为 的长，
∴ 的最小值为4，
故答案为：4．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定
有最小值的情形是解题的关键．
2．（1）唐朝诗人李顾的诗 古从军行 开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着
一个有趣的数学问题：如图 所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发，带着马走到河边 点饮水后，
再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出 点，使 的值
最小，不说明理由；
（2）实践应用 ，如图 ，点 为 内一点，请在射线 、 上分别找到两点 、 ，使 的
周长最小，不说明理由；
（3）实践应用 ：如图 ，在 中， ， ， ， ， 平分 ， 、
分别是 、 边上的动点，求 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 的最小值为
【分析】（1）作 点关于直线 小河 的对称点 ，连接 ，交 于 ，则 最小；
（2）分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ， ， ，则 的周长最小；
（3）过点C作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小，证明 ≌ ，
可得 ， ，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最
小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作 点关于直线 小河 的对称点 ，连接 ，交 于 ，则 最小；
理由：根据作法得： ，
∴ ，
∴当点 共线时， 最小；
（2）如图 ，分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ，
， ，则 的周长最小；
理由：根据作法得： ， ，
∴ ，
∴当点 共线时， 的周长最小；
（3）如图 ，过点C作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小，
，平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
∵ ，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮
马”及其变形的模型．
【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】
例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；
(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中
CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P
是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可；
（2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P；
（3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得
到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共
线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S BDN= ×DN×BN= ×BD×NH求出NH
△
即可．
【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE，
∴DE∥AC，
∵∠DCE=∠B，
∴CD∥AB，
∵∠EAC=∠ACB，
∴AE∥CB；
（2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P，
∵AB=AQ，AC⊥BQ，
∴AC是BQ的垂直平分线，
∴BP=PQ，
∴BM+PM=PQ+PM=MQ；
即此时BP＋PM取得最小值；（3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，
∵AE∥DB，
∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B，
∴∠ENA=90°，
∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，
∴AN=CE，
连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，
∵DE=NE，CE⊥DN，
∴DP=NP，
∴DP+PM=NP+PM，
当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，
∵S BDN= DN BN= BD NH，
△
× × × ×
∴2c NH=2a 2b，
× ×
解得NH= ，
∴DP+PM的最小值为 ．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，轴对称求最短路径问题，正确掌握轴对称的性质得到最短路径问
题的思路并解决问题是解题的关键．【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知 ≌ ，将 沿 所在的直线折叠至
的位置，点B的对应点为 ，连结 ．
(1)直接填空： 与 的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段 、 上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知 的面积为36，
，求 的最小值；
(3)试探索： 的内角满足什么条件时， 是直角三角形？
【答案】(1)
(2)9
(3)当 时， ；当 时，
【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；
（2）根据对称的性质，在 上取点 ，使得 ，结合对称性质推出 ，确定
三点共线且垂直于 时，取得最小值，结合面积进行计算即可；
（3）分 和 两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．
【详解】（1）解：∵ 沿 所在的直线折叠至 的位置，点B的对应点为 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图所示，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
根据对称的性质， ，∴ ，
要求 的最小值，求 的最小值即可，
∴当B、P、M三点共线，且 时， 取得最小值，
此时 ，如图所示，
由对称的性质， ，
∵取得最小值时， ，
∴ ，
即： ，解得： ，
∴ 的最小值为9；
（3）解：①当 时， ；
∵由翻折变换的性质可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②由翻折的性质，当 时， ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟
知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
是解题关键．【题型五 实际问题中的最短路径问题】
例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B
两村到河岸的距离分别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两
村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长 ，取 ，再连接 ，与 交于点E即可；
（2）作出以 为斜边的直角 ，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以 为斜边的直角 ，
由（1）可知： ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为 ．【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于 的对称点是
确定建水厂位置的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米， ，
它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修
建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这
项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【答案】(1)见解析；
(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于M点，即M为所求；
（2）连接 交 于H点，过点B作 ，根据勾股定理求出 ， 即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于M点，即M为所求.（2）解：如图，连接 交 于H点，过点B作 ，
由题意可知： ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
由对称性质可知： ，
水管长 ，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为 （万元）
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学
生的动手操作能力和计算能力．
2．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP
的长度．
【答案】(1)475米
(2)1000米， 米
【分析】（1）根据勾股定理列出方程 ，解方程即可；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，交直线l于点P．则AP＝ P，AP+BP＝ P+BP，PA+PB的最小值为 B．
（1）
解：如图1，
此时AQ＝BQ．
设CQ＝x，则DQ＝800﹣x，
∴ ，
解得x＝475，
即CQ的长为475米；
（2）
解：如图2，
作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，交直线l于点P．
则AP＝ P，
AP+BP＝ P+BP，
PA+PB的最小值为 =1000米．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴CP＝ ＝ ＝ （米），即CP的长度为 米．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，作图﹣应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P
的位置是本题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线 同旁有两个定点
A，B，在直线 上是否存在点 ，使得 的值最小？
小明的解法如下：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且
的最小值为 ．
问题提出：
(1)如图，等腰 的直角边长为4，E是斜边 的中点， 是 边上的一动点，求 的最小
值．
问题解决：
(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池 ，从蓄水
池 处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为 千米， 千米， 千米．若蓄
水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠 上选择蓄水池 的位置，使铺设水管
的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【答案】(1)
(2)最少的铺设水管的费用是225000元
【分析】(1)作点B关于 的对称点 ，连接 交 于P，此时 的值最小，连接 先根据
勾股定理求出 的长，再判断出 ，根据勾股定理即可得出结论；
(2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作 交 的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出 、
，根据勾股定理求出 ，得到 ，结合题意计算即可．
【详解】（1）解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 的值最小，连
接 ．
因为等腰 的直角边长为4，E是斜边 的中点，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）如图，延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，点 即为所选择的位置，过点 作
交 的延长线于点 ．
在 中， 千米， 千米，
所以 （千米），
所以最短路线 （千米），最少的铺设水管的费用为 （元）．
答：最少的铺设水管的费用是 元．
【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、
两点之间，线段最短的性质是解题的关键．
