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专题 09 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出
一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中
都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌
握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴
对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·山西运城·九年级统考期中）如图，正方形 的对角线交于点O，点E是直线 上一动
点．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称最短路径，勾股定理的综合，理解图示，作出对称点，运用勾股定理是解题
的关键．作点A关于直线 的对称点 ，其与 的交点即为点E，过点O作 于点F， ，O，
E在同一条线上的时， 最小，此时： ，再结合正方形的性质和勾股定理，
即可求解．【详解】解：如图所示，作点A关于直线 的对称点 ，其与 的交点即为点E，过点O作
于点F，∴ ， ，O，E在同一条线上的时， 最小，
此时： ，
∵正方形 ，点O为对角线的交点，∴ ，∴ ，
∵A与 关于 对称，∴ ，∴ ，
在 中， ，故选：D．
例2．（2023·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形 中， ，连接 ， 的平分线交
于点E，在 上截取 ，连接 ，分别交 于点G，H，点P是线段 上的动点，
于点Q，连接 ，以下结论：① ；② ；③ ；④ 的
最小值是 ，其中正确的结论有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，能够合理选择正方形的性质找到全等三角形是解题的关键.
①利用正方形的性质证明 得到 进而可证；②利用正方形的性质证明
，得到 ，证明 ，进而可证；③求得 的长度，然后求出 ，进而
可证；④证明 垂直平分 ，过点 作 ，利用垂线段最短可知 的长度为最小值，利用
等面积法可求.
【详解】∵正方形 ，∴ ， ，∴ ，
在 和 中, ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，故①正确；
∵ 平分 ，∴ ，在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∵正方形 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，∴
， ，
，即 ，结论③错误；
， ， ，∴ 垂直平分 ， ，
当 时， 有最小值，过点 作 ，则 的长度为 的最小值，
，即 的最小值为 ，故④正确．
正确的为: ①②④，个数为3故选：C
例3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的
动点， 的最小值为______．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为
FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求
解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知
CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形 的边长为2， ， 中，
PQ+QC的最小值为 故答案为：
【点睛】本题考查菱形性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题关键．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形 的面积为20，边长为5，点 、 分别是边、 上的动点，且 ，连接 、 ， 、 和 点不重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．过点
作 于点 ，延长 到点 ，使 ，根据菱形的性质和勾股定理可得 ，以点
为原点， 为 轴，垂直于 方向为 轴，建立平面直角坐标系，可得 ， ， ，
， ，然后证明 ，可得 ，连接 ， ， ，由
，可得 ， ， 三点共线时， 取最小值，所以 的最小值 的最小
值 ，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，延长 到点 ，使 ，
四边形 是菱形， ， ，
菱形 的面积为20，边长为5， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
以点 为原点， 为 轴，垂直于 方向为 轴，建立平面直角坐标系，
， ， ， ， ， ， ， ，
在 和 中， ， ， ，连接 ， ， ， ， ， ， 三点共线时， 取最小值，
的最小值 的最小值 ．
但是当 ， ， 三点共线时，点 不在边 上， ．故选：D．
例5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形 中， 点为 的中点．
点 为对角线 上的一动点．则 的最小值等于（）
A． B．6 C． D．8
【答案】B
【分析】作点 于直线 的对称点 ，连接 、 、 ，在 取一点 ，使得点 与点
关于直线 成抽对称，则 , ， ， ，当点
、 、 三点共线时， 的值最小，利用勾股定理及等边三角形的性质求出即可．
【详解】解：作点 于直线 的对称点 ，连接 、 、 ，在 取一点 ，使得点 与
点 关于直线 成抽对称，则 , ， ， ，
当点 、 、 三点共线时， 的值最小，
∵四边形 是矩形，∴ , ,
∵ ,∴ ， ，∴ , ,∴ 是等边三角形，
∵ ，∴ ,∴ ,
∴ 的最小值等于 故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称和最短路线问题，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识
点，确定 点的位置是解答本题的关键．
例6．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形 中， ，点E在 上，
点F在 上，且 ，连结 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】证 得 ，作点 关于 的对称点 ，则
，据此即可求解．
【详解】解：连接 ，作点 关于 的对称点 ，连接 由题意得：
∵ ∴ ∴
∵ ∴
∴ 的最小值为 故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等．通过证全等和作对称得出
是解题关键．例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
点E是边 上且 ．F是边 上的一个动点，将线段 绕点E逆时针旋转 ，得到 ，连
接 、 ，则 的最小值 ．
【答案】
【分析】取 得中点N，连接 ， ， ，作 交 的延长线于点H，先求出 ， ，
，再说明 是等边三角形，根据“ ”证明 ≌ ，可求 ，即可得出点G的
运动轨迹是射线 ，然后证明 ≌ ，可确定 的最小值，根据勾股定理求出答案即
可．
【详解】解：如图，取 得中点N，连接 ， ， ，作 交 的延长线于点H．
由题意，得 ， ， ．
∵点N是 的中点，∴ ，∴ ．∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ， ，∴ ．
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴点G的运动轨迹是射线 ．
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ， ，∴ ．
根据勾股定理，得 ，∴ ，∴ 的最小值是 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与旋转的综合问题，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，勾
股定理等，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
A m
m P' P
A
m P
B
n
Q' Q
n B n
Q
B B n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形
ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.n
n
A'
A
A'
B A
n n
D Q
A
B m A m
E P
m B' m A"
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E在 边上且 ，点P，Q分别
是边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点 ，点A关于 的对称点 ，连接 ，四边形 的周长最小，根
据 ，即可解．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点 ，点A关于 的对称点 ，连接 ，四边形
的周长最小，
∵ ， ，∴ ， ．∵ ，D是 的中点，∴ 是 的中位线，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 ， ， ，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角
形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形 的周长最小时，P、Q的位置．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形 中，
，是否在边 上分别存在点G、H，使得四边形 的周长最小？
若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
【答案】（1）存在得四边形 的周长最小，最小值为 ；（2）当所裁得的四边形部件为四边
形 时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为 ，
【分析】作E关于 的对称点 ，作F关于BC的对称点 ，连接 ，交 于G，交 于H，连接
，得到此时四边形 的周长最小，根据轴对称的性质得到
，于是得到 ，求出 即可
得到结论；【详解】解：（1）存在，理由：作E关于 的对称点 ，作F关于 的对称点 ，连接 ，交
于G，交 于H，连接 ，∴ ，则此时四边形 的周长最小，
由题意得： ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长的最小值2 ，
∴在边 上分别存在点G、H，使得四边形 的周长最小，最小值为 ；
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别是
和 上的两个动点， 为 的中点，则 的最小值是________；
【答案】 /
【分析】延长 作点D的关于点A的对称点 ，延长 作点M的关于点C对称点 ，作 ，
且 ， 即为最小值；
【详解】解：如下图所示，延长 作点D的关于点A的对称点 ，延长 作点M的关于点C对称点
，作 ，且 ，可得 ，∴ ，∴ 的最小值为 ，
∵ ，且 ，四边形 为矩形，∴四边形 为矩形，
∵ 为 的中点∴ ， ，
∴ ；
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解
题的关键．
例4．（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， 是 边的中点， ，
， ，若 ，则线段 长度的最大值是 ．
【答案】14
【分析】作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ，得出
是等边三角形，当 、 、 、 共线时 的值最大，最大值为．
【详解】解：作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，
，如图所示：∴ ， ∴ ， ， ，同理可证： ， ， ，
是 边的中点， ， ，
， ． ．
． 是等边三角形． ，
，即 ，
当 、 、 、 共线时 的值最大，最大值为 故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正确的作出辅
助线是解题的关键．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
m P P'
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
A
A B'
m
m P' P
B
B
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·四川成都·七年级统考期末）四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，AB＝AD＝4，
∠ABD＝30°，点M、N分别为BD、BC的中点，点P、Q分别是线段AB、MN上的动点，则AP﹣PQ的最
大值为 ．
【答案】2
【分析】如图，连接CM，CP，CQ．证明 CMN是边长为2的等边三角形，再证明PA=PC，推出PA-
PQ=PC-PQ≤CQ，求出CQ的最大值，可得△结论．
【详解】解：如图，连接CM，CP，CQ．
∵四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，
∴AB=BC，AD=DC，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∵AB=AD=4，∠ABD=30°，∴AB=BC=AD=DC=4，∠ABD=∠CBD=∠CDB=30°，
∴四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∵CB=CD=4，BM=DM，∴CM⊥BD，∴CM= BC=2，
∵BN=CN，∴MN=BN=NC=2，∴CM=CN=MN=2，∴△CMN是等边三角形，
∵A，C关于BD对称，∴PA=PC，∴PA-PQ=PC-PQ≤CQ，
∵点Q在线段MN上，∴当点Q与M或N重合时，CQ的值最大，最大值为2，
∴PA-PQ≤2，∴PA-PQ的最大值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ，O为对角线 的中点，点P在 边上，且 ，点Q在 边上，连接 与 ，则 的最大值为
____________， 的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q满足使 的值最大，最大值为 的长度，证
明四边形 是矩形可得 ， ， ，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小，
的最小值为 的长度，延长 交 于点G，根据对称的性质可得 ，再根据
，点O是 的中点，可得 ，从而求得 ，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q满足使 的值最大，最大值为 的长度，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ，
∵点O是 的中点，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，过点P作 于点P，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ；②过点O作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小，
的最小值为 的长度，延长 交 于点G，
∵ ，点O是 的中点，∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ 的最小值为： ，故答案为： ； ．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
例3．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，四边形 中，
， ，点 为直线 左侧平面上一点， 的面积为 则 的最
大值为 ．
【答案】10
【分析】如图，过点F作FH⊥EC于H.过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l
于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长．
【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H．∵△CFE的面积为8，即 EC⋅FH=8，CE=8，∴FH=2，
过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|
FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ，
∴四边形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，
∵AE=10，∴AK=AE−EK=10−4=6，∴AC'= ，
∴|FA−FC|的最大值为10．故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称−最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解
决
课后专项训练
1．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点
E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）A．2 B． C．1.5 D．
【答案】A
【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、
P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴ ，
∵在菱形ABCD中， ，∴ ，∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的
对称点是解答本题的关键．
2．（2022下·广东广州·八年级校考期末）如图，菱形 中，P为对角线 上一动点，E，F分别为
中点，若 ， ，则 的最小值为（ ）A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】设 交 于O，作点E关于 的对称点N，连接 ，交 于P，则此时 的
值最小，根据菱形的性质推出N是 中点，P与O重合，推出 ，根据勾股定理求出
的长即可．
【详解】设 交 于O，作点E关于 的对称点N，连接 ，交 于P，则此时 的
值最小，∴ ，∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵E为 的中点，∴N在 上，且N为 的中点，
∵ ，∴ ，
∵ ，N为 中点，F为 中点，∴ ，
在 和 中 ， ， ，
∴ ，∴ ，即P为 中点，
∵O为 中点，∴P、O重合，即 过O点，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵菱形 ， ， ，∴ ，
，∴ ，则 的最小值为5．故选：C【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，勾股定理，菱形的性质，解答本题的关键是理解题意确定出P的位
置和求出 ，题目比较典型，综合性比较强．
3．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知正方形 的边长为4，点E是边 的中点，
点P是对角线 上的动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， ，由 得 就是 的最小值，求出 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 就是 的最小值，
∵正方形 的边长为4，点E是边 的中点，∴ ， ，
∴ ，∴ 的最小值是 ．故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是将
转化为 ．
4．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分
别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证
FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4， ，
∴BP+PQ的最小值为2 ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅
助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
5．（2023·山东烟台·统考一模）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，点 在
上，且 ，连结 ， ，则 的最小值为（ ）A．26 B．25 C．24 D．22
【答案】A
【分析】先连接 ，将 转化为 ，再利用将军饮马解决问题即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
如图，作点 关于A点的对称点 ，连接 ， 即为 的最小值，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，
∴ 的最小值为26，故A正确．故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，
将 转化为 是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E为 的中点，点
F在 上，且 ，点G为直线 上一动点， 的最大值是 ．【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于H点．解直角三角形求出 ，根据
可得结论．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于H点．
∵四边形 是菱形， ， ，∴ ， ，
∵点E为 的中点，点 为 的中点，∴ ， ，
∵四边形 是菱形， ，且 ， ，
∴点E与点 关于 对称，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴在 中， ，
∵ ，当且仅当F、G、 三点共线时取等号，
∴ ，∴ 的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性质等知识，解题的关键是学
会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
7．（2023春·成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中， ， ，E、F分别是边AB、BC上的
动点，且 ，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则 的最小值是______．【答案】11
【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，
GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．
【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB
由对称的性质得：PC=PG，GD=CD ∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM
则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM
∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90° ∴CG=2CD=12
∵M为线段EF的中点，且EF=4 ∴
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
∴GM=BG－BM=13－2=11 即CP+PM的最小值为11．
【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性
质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，
GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．
8．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图， ， 在 的同侧， ， ， ，点
为 的中点，若 ，则 的最大值是 ．【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，由 ，可推出 为等
边三角形，再根据三角形三边关系即可推出结论．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，
， ，
， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 为等边三角形，
点 为 的中点， ， ，
∵ ， 的最大值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确作出辅助
线利用三角形的三边关系求解是解题的关键．
9．（2023·湖北孝感·九年级校考开学考试）如图，四边形 是矩形纸片， ，对折矩形纸片
，使 与 重合，折痕为 ．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在 上的点N，折痕
与 相交于点Q，再次展平，延长 交 与点G，P为线段 上一动点，有如下结论①
；② ；③ 是等边三角形；④若H是 的中点，则 的最小值是 ．
其中正确结论是 （填序号）
【答案】①③④
【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分
线的性质，锐角三角函数，勾股定理，两点之间线段最短．①首先根据 垂直平分 ，可得 ；然后根据折叠的性质，可得 ，据此判断出
为等边三角形，即可得出 的度数；
②首先根据 ， ，求出 ；然后在 中，根据
，即可求出求出 的长度；
③根据 ， ，推得 ，即可作出判
定；④点H是 的中点，根据折叠可知E点和H点关于 称可得 ，因此P与Q重合时，
，据此求出 的最小值是多少即可．
【详解】①如图，连接 ，
∵对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，
∴ 垂直平分 ，即点E是 的中点，∴ ，
∵过点B折叠矩形纸片 ，使点A落在 上的点N，折痕 与 相交于点Q，
∴ ， ， ， ，
∴ ，∴ 为等边三角形．∴ ， ，即结论①正确；
②∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，即结论②不正确；
③∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 为等边三角形，即结论③正确．
④如图，连接 ，∵点H是 的中点，点E是 的中点，又∵过点B折叠矩形纸片 ，使点A落在 上的点N，折痕 与 相交于点Q，即 和 关于
对称，∴点E和点H关于 对称，∴ ，
∴点P与点Q重合时， 的值最小，此时 ，
∵ ，∴ 的最小值是 ，即结论④正确；
∴正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．
10．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，矩形 中， ，点E、F分别 边上的点，
且 ，点G为 的中点，点P为 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到
，作A关于 的对称点 ，连接 ，交 于P，当点 ，P，G，D共线时， 的值最
小，最小值为 的长；勾股定理求出 ，减去 即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】∵四边形 是矩形，∴
，点G为 的中点，∴ ，作A关于 的对称点 ，连接 ，交 于P，当点 ，
P，G，D共线时， 的值最小，最小值为 的长；
，， ， ，∴ ，
∴ ；∴ 的最小值为4；故答案为：4．
12．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）长方形 中， ，E为 边上的动点，
F为 的中点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】20
【分析】作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 , 则 的长即为 的最小值，然后利
用勾股定理解题即可.
【详解】作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 , 则 的长即为 的最小值.
长方形 中, , 为 的中点, ， ，
，即 的最小值为 .故答案为: .
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E， 的位置是解题的关键.
13．（2023·广西梧州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 ，点P是对角线
上的一个动点，已知 ，则 的最小值是_________________【答案】
【分析】点B的对称点是点D，连接 ，交 于点P，再得出 即为 最小值，解答即可．
【详解】解：连接 ，如图，
∵四边形 是菱形，∴ 垂直平分 ，∴点B的对称点是点D，
连接 交 于点P，连接 ，∴ ，∴ 即为 的最小值，
∵点A的坐标为 ，点 ，∴ 故答案为
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
14．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ，
，AH是 的平分线， 于点E，点P是直线AB上的一个动点，则 的最小值
是________．
【答案】 /
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则
PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，
OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，
则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB= = ，∴OA= ，∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA= ，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA= ，∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF= ,
∴PO+PE最小值= ．故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于
AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最
小值=EF的长是解题的关键．
15．（辽宁省铁岭市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，在矩形 中， ，
，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且 ， ，则四边形 周长的最小值
为 ．【答案】
【分析】先证明四边形 是平行四边形，延长 ，使得 ，连接 ， ，则E和 关于
对称，由 得，当 、F、G共线时取等号，此时， 最小，最小值为
的长，过G作 于P，则四边形 是矩形，进而可得 ， ，由勾
股定理求得 ，则 最小值为 ，由四边形 周长为 求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
延长 ，使得 ，连接 ， ，则E和 关于 对称，
∴ ，∴ ，当 、F、G共线时取等号，此时， 最小，最小值为
的长，过G作 于P，则 ，
∴四边形 是矩形，∴ ， ，
在 中， ，
由勾股定理得 ，∴ 最小值为 ，
则四边形 周长的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性、最短路径问题、
勾股定理等知识，证明四边形 是平行四边形，以及 为 的最小值是解答的关键．16．（2023·广东惠州·校考三模）如图，正方形 的边长为 ，点 ， 分别是对角线 的三等分
点，点 是边 上一动点，则 的最小值是________.
【答案】
【分析】作点 关于边 所在直线的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 有最小值，利用正
方形的性质得出 ，再利用勾股定理求解．
【详解】解析：如图，作点 关于边 所在直线的对称点 ，连接 交 于点 ，
此时 有最小值，∵四边形 是正方形， 关于边 所在直线的对称点 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵点 ， 分别是对角线 的三等分点，∴ ，
∴ 的最小值 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
17．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，正方形 的对角线相交于点 ， ，点 在 上，且
，点 是 上一动点，则 的最小值为 ______ ．【答案】
【分析】过点 作 的对称点 ，连接 ，作 于点 ，连接 则此时为 的最小
值，最后利用勾股定理及正方形的性质即可解答．
【详解】解：过点 作 的对称点 ，连接 ，作 于点 ，
∵在正方形 中，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，∴四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ；故答案为 ．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，勾股定理，正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
18．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边 和
对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】在 的下方作 ，截取 ，使得 ，连接 ， ．证明 ，
推出 ， ，根据 求解即可．
【详解】解：如图， 的下方作 ，截取 ，使得 ，连接 ， ．四边形 是菱形， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ，
， ， 的最小值为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．（2023·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）如图， 中， ，过A点作 的平行线
与 的平分线交于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；(2)过点 作 的平行线交直线 于点 ，连接 ， ，点 是线段
上的动点，若 ，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)证明见解析部分；(2)
【分析】（1）两条全等三角形的性质证明 ，推出四边形 是平行四边形，可得结论；
（2）延长 交 的延长线于点 ，连接 ， ，过点 作 于点 ，利用面积法求出 ，再
利用勾股定理求出 ，由 ，可得结论．
【详解】（1）证明： ， 平分 ， ， ， ，在 和 中， ， ， ，
， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形；
（2）解：延长 交 的延长线于点 ，连接 ， ，过点 作 于点
四边形 是菱形， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ， ， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查轴对称 最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
20．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形 ，点 在 的延长线上，以 为一边构造正方形
，连接 和 ，如图1所示，则 和 的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】（2）如图2所示，若正方形 的边长为4，点 是 边上的一个动点，以 为一边
在 的右侧作正方形 ，连接 、 ，连接 ，若 ，求线段 的长度．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，如图3，当点 在射线 上运动时，求 的最小值为______【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得结论．
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ， ，得出 ， ，
求出 ，根据勾股定理求出 ；
（3）说明点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，作点 关于直线 的对称
点 ，连接 ， ．在 中，可得 ．根据 求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，延长 交 于 ，
四边形 是正方形，四边形 是正方形，
， ， ，
， ， ，
， ，即 ，
，故答案为： ， ．
（2）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
∵ ， ∴ ，∵ ，∴ ，又∵ ， ∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
（3）解：如图4中，
由（2）可知， ， 点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，作点 关于
直线 的对称点 ，连接 ， ．在 中， ， ， ，
， ， ， ，
， 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
21．（2023·安徽宿州·八年级校联考期中）小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边
，点 在 上，以 为边作等边 ，连接 ，求证： ．
(1)请你解答小明的这道题；(2)在这个问题中，当 在 上运动时，点 是否在一条线段上运动？（直接
答“是”或“不是”）;(3)如图2，正方形 的边长为2， 是直线 上的一个动点，以 为边作正
方形 按逆时针排列）．当 在直线 上运动时，点 是否在一条直线上运动？如果是，请你
画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；(4)连接 ， ．①求证： 是定值；②求
的最小值（直接写出答案即可）．
【答案】(1)见解析(2)是(3)是．证明画图见解析(4)①是定值， ，证明见解析；②
【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ．
（2）证得 ，则 在以 为一条边的 角的另一边上，当点 与 重合， 与 重合；当
点 与 重合时， 的长最长 ，可得出结论；（3）过 作 于 ，证明 ，得出 ．则可得出结论．
（4）①延长 交直线 于 ，证得四边形 是矩形，得出 ， ，在
中，得出 ，则答案得出．②过 作关于 的对称点 ，连接 ，交直线 于 ，
则 ，由勾股定理求出 即可得出答案．
【详解】（1）证明： 和 是等边三角形，
， ， ， ， ，
即 ， ， ．
（2）解：是；证明： ， ， ，
在以 为一条边的 角的另一边上，当点 与 重合， 与 重合；
当点 与 重合时， 的长最长，即为 的长；故点 在一条线段上运动．
（3）解：是． 证明：过 作 于 ，
四边形 和四边形 是正方形， ， ， ，
， ， ，
又 ， ， ， ．
又 ， 点 是在与 的距离为2的直线上，过 作直线 ，即点 在直线 上运动．
（4）①延长 交直线 于 ，由（1）可得 ， ．， ， ，
又 ， 四边形 是矩形， ， ，
在 中， ， 是定值．
②过 作关于 的对称点 ，连接 ，交直线 于 ，则 ，
在 中， ， ， ．
△
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾
股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
