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专题13.20 课程学习（最短路径问题）（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】垂直线段最短问题；
【知识点二】将军饮马问题；
【知识点三】造桥选址问题．
【考点一】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．
【例1】如图，在锐角三角形 中， ， ， 的平分线交 于点D，点M、N
分别是 和 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得
的最小值为 ，然后根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值，最后利用三角形的
面积公式即可得．
解：如图，在 上取一点E，使 ，连接 ，是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ，
又由垂线段最短得：当 时， 取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等
知识点，正确找出 取得最小值时 的位置是解题关键．
【举一反三】
【变式】如图，在锐角 中， ， ， 平分 ， 、 分别是 和
上 的动点，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出
BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵ 平分 ，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵ ，
∴ =18
∴BE= cm
即BM+MN的最小值是 cm.
【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角
平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.【考点二】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线隐藏型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．
【例2】通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知
识解决下面的问题：如图， 为 的中点， ， ， ， ，则
的最大值是 ．
【答案】9.5
【分析】作A关于 的对称点M，B关于 的对称点N，连接 ， ， ， ， ，利用轴对
称的性质得出 ， ， ， ， ， ，
则可求出 ， ，进而证明 是等边三角形，求出 ，由
知，当D，M，N，E共线时， 最大，然后代入数值即可求出 最大值．
【详解】解：作A关于 的对称点M，B关于 的对称点N，连接 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点， ， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又 ，当D，M，N，E共线时， ，
∴ 的最大值为9.5．
故答案为：9.5．【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找
出所求问题需要的条件是解题的关键．
【举一反三】
【变式】小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧， ， ， ，点E为
AB的中点．若 ，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将 和 分别沿CE、DE
翻折得到 和 ，连接 ．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 ．
【答案】7
【分析】根据对称的性质得到 ，结合点E是AB中点，可证明 是等边三角形，从而有
，即可求出CD的最大值．
解： ∵ ，点E为AB的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 和 分别沿CE、DE翻折得到 和 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴当点C，点 ，点 ，点D四点共线时，CD有最大值，即 ，
【点拨】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【考点三】将军饮马问题➼➻➸两定一动型
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．【例3】如图，在 ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则
ABP周长的最小值△是 ．
△
【答案】15
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为6+9=15，
故答案为：15．
【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段
的垂直平分线的性质．
【举一反三】
【变式】如图，在 中， ， ， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，点
是 上的任意一点，则 周长的最小值是 cm．【答案】12
【分析】当 点与 重合时， 的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出 的周长．
解：∵DE垂直平分AC，
∴点C与A关于DE对称，
∴当 点于 重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），
∴ 的周长为： ，
∵ 是垂直平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12．
【点拨】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．
【考点三】将军饮马问题➼➻➸一定两动型
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
【例4】如图， 是 内一定点，点 ， 分别在边 ， 上运动，若 ， ，则
的周长的最小值为 .【答案】3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，
△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求
解．
解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，
△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解
△PMN周长最小的条件是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，点P是 内任意一点， ，点M和点N分别是射线 和射线 上的动点，
，则 周长的最小值是 ．【答案】
【分析】分别作点P关于 的对称点C、D，连接 ，分别交 于点M、N，连接
，当点M、N在 上时， 的周长最小．
解：分别作点P关于 的对称点C、D，连接 ，分别交 于点M、N，连接
．
∵点P关于 的对称点为C，关于 的对称点为D，
∴ ；
∵点P关于 的对称点为D，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴ 的周长的最小值 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的
关键所在．
【知识点四】造桥选址问题．
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
【例4】在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，
P、Q均不与顶点重合），PQ＝2（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的
长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四
边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】(1）见解析； (2) 4； (3) 4
【分析】（1）由“SAS”可证 ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长△最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在
BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC
交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G
点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD
的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边
形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在 CQE中，
△∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于
N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积= ×PF×PH- ×PF×TM- ×QH×CN= ×8×8- ×8×4- ×6×3=7．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角
三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
