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综合与实践 最短路径问题-牧民饮马问题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点N在边BC上，且BN=6，点M，P分别是边AB，AC
上的动点，当PM+PN最小时，BM=5，则AB长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【详解】解：如图所示，作点N关于AC的对称点N′，作N′M⊥AB于M，交AC于P，，此时PN+PM最小，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，AB=2BC，
∵∠BMN'=90°，
∴∠BN′M=30°，
∵BM=5，
∴BN'=2BM=10，
∵BN=6，
∴CN=CN′=2，
∴BC=8，
∴AB=2BC=16，
故选：D．
2．如图，等边△ABC与△A'BC'关于直线l对称，且△ABC的边长为3，D为线段BC′上一动点，则
AD+CD的最小值是 ．【答案】6
【详解】解∶如图，连接A′D，
由对称性质可知∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=3．
∴∠CBC′=180°−∠ ABC−∠A′BC′=60°
∴∠CBC′=∠A′BC′．
∵BD=BD
∴△CBD≌△A′BD(SAS)．
∴CD=A′D．
．∴AD+CD=A′D+AD，
∴当A、D、A'三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A′B+AB=6．
故答案为∶6．
3．如图，等腰△ABC底边BC长为4cm，面积12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上中
点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为 cm．
【答案】8
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
1 1
∴S = BC⋅AD= ×4×AD=12，
△ABC 2 2
解得：AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，
1 1
∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+2=8(cm)，
2 2
故答案为：8．
4．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好
在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P
点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下
图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线．
【答案】P点选在A关于直线m的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析
【详解】解：作A关于直线m的对称点A′，连接A′B，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点；
连接A−P−B，这就是工作人员所走的最短路线．
5．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣
的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时
常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？（1）标出图1中C点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，为了说明点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点C′，连接
AC′,BC′,B′C′，说明AC+BC<AC′+BC′即可；
（3）如图2，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA
和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求；
（2）∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在l上，
∴CB=CB′，BC′=C′B′，
∴AC+CB=AC+CB′=AB′，
在△AC′B′中，
∵AB′<AC′+C′B′，
∴AC+CB<AC′+BC′；
（3）如图所示，
∵ CE=PE,DF=PF，
则PE+EF+PF=CE+EF+DF，
根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求．
6．如图，∠AOB=12°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记
∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α=（ ）
A．12° B．24° C．36° D．48°
【答案】B【详解】解：作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OB、OA于P、Q，此时，
PM+PN=PM′+PN′=M′N′最小，
由轴对称的性质得：∠OPM=∠OPM′=∠NPQ=∠O+∠OQP，
∠OQP=∠AQN=∠NQA=∠O+∠ONQ，
∴∠OPM=∠NPQ=∠O+∠OQP=∠O+∠O+∠ONQ=2∠O+∠ONQ，
∵α=180°−∠ OPM−∠NPQ=180°−2∠ OPM=180°−2 (2∠O+∠ONQ)=180°−4∠ O−2∠ONQ，
β=180°−∠ OQP−∠NQA=180°−2∠ NQA=180°−2 (∠O+∠ONQ)=180°−2∠ O−2∠ONQ，
∴β−α=180°−2∠ O−2∠ONQ−(180°−4∠ O−2∠ONQ)=2∠O=2×12°=24°，
故选：B．
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,AB=5,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则
DE+EF+FD的和的最小值是 ．
【答案】4.8
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，
DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴ M、C、N共线，
∵ DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵ FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵ CD⊥AB，1 1
∴ ×AB×CD= ×BC×AC，
2 2
BC×AC 12
∴ CD= = =2.4，
AB 5
∴ DE+EF+FD的最小值为4.8．
故答案为：4.8．
