文档内容
专题 10 课题学习 最短路径问题（2 个知识点 2 种题型）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.最短路径问题（重点）
知识点2.“造桥选址”问题
【方法二】 实例探索法
题型1.解决最短路径的选址问题
题型2.求图形的最小周长问题
【方法三】 成果评定法
【学习目标】
1. 能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最
短路径问题。
2. 能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关于最短路径的选址问题的道理。会运用图形的轴对称、
平移等变换转化图形，进而利用数学模型解决实际问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法
知识点1.最短路径问题（重点）
1.垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
【例1】如图，在锐角三角形 中， ， ， 的平分线交 于点D，点M、N
分别是 和 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【变式】如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上一个动点，则下列
线段的长度等于 最小值的是（ ）
A． B． C． D．
2.将军饮马问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动②一定两动
③两定两动
【例2】如图，在 中， ， ，面积是10； 的垂直平分线 分别交 ， 边于
E、D两点，若点F为 边的中点，点P为线段 上一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．14
【变式】如图，点P是 内任意一点， ，点M和点N分别是射线 和射线 上的动点，
，则 周长的最小值是 ．知识点2.“造桥选址”问题
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
【例3】如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥ l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互
1 2 1 2
垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【变式】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相
同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）A． B．
C． D．
【方法二】实例探索法
题型1.解决最短路径的选址问题
1 .如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向
M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
2 .如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥ l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），
1 2 1 2
使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）A． B．
C． D．
3.如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方
案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
题型2.求图形的最小周长问题
4.如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ．
（1）若 ，则 的度数是 ；
（2）连接 ，若 ， 的周长是 ．
①求 的长；
②在直线 上是否存在点 ，使 的值最小，若存在，标出点 的位置并直接写出 的最小
值；若不存在，说明理由．5.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接
CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
6.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度；
（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【方法三】 成果评定法
一．选择题（共9小题）
1．（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交
AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为
（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
2．（2022秋•澄迈县期末）如图，在正方形网格中有 M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，
则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3．（2022秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若
AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）A．13 B．14 C．15 D．13.5
4．（2022秋•肇源县期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形
中使OA+OB值最小的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春•阜新期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若
AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
6．（2022秋•江北区校级期末）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，
F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）A．6 B．4 C．3 D．2
7．（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD为△ABC的中线，点E、
点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
8．（2023春•海门市期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，
连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+ b D． a
9．（2022秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB的大小为 ，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，
点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值α等于5，则 ＝（ ）
α
A．30° B．45° C．60° D．90°
二．填空题（共6小题）
10．（2022秋•孝南区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D为AB的中点，P为BC上
一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 ．11．（2023春•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的
任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．
12．（2023春•管城区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线
EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的
最小值为 ．
13．（2022秋•渭滨区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别
交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值
为 ．
14．（2023春•遂平县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，
DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．15．（2023春•西峡县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别
找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ ．
三．解答题（共7小题）
16．（2022秋•吉林期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，BC＝
20，则△ADE的周长为 ．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若 AB＝6，
△ABC的面积为30，则BP+EP的最小值是 ．
17．（2023•老河口市一模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于
点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是 度；
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
18．（2022秋•思明区期末）如图，在正方形网格中，直线 l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格
点上．（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：
（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 ；
（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．
19．（2022秋•启东市期末）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣
a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为 ；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；
（3）∠OAP＝ 度．
20．（2022秋•磁县期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到
两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？
在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）21．（2022秋•安顺期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动
点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
22．（2022秋•大荔县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分
线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值．
