文档内容
专题09 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训
【题型目录】
题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
连接AB，与直线l的交点 两点之间，线段最短，此
P即为所求。 时PA+PB的和最小。
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
作B关于直线l的对称点 化折为直；
C，连AC，与直线l的交 两点之间，线段最短，此
在直线l上找一点P,使得 点P即为所求。 时PA+PB的和AC最小。
PA+PB的和最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理
作P关于OA的对称
点P1，作P关于OB 两点之间，线段最短，此
的对称点P2，连接 时PC+PD+CD的和最小。
P1P2 。
点P在锐角∠AOB的内部，在
OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理将点A乡向下平移MN
两点之间，线段最短，此
的长度得A，连AB，
1 1 时 AM+MN+BN 的最小值为
交n于点N，过N作
AB+MN。
NM⊥m于M。 1
直线m∥n，在m，n上分别
求点 M、N，使 MN⊥m，
MN⊥n，且AM+MN+BN的和最
小。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在 ABC中， ， ，
， 是 中点， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使
最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得
到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】∵AB=AC，BC=10，S ABC=60， 是 中点，
△
AD⊥BC于点D，
∴S ABC= =60，
△
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉
及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的
对称点．
【变式训练】
1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，在 中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，
CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
【答案】B
【分析】连接 ，由 得 ， ，根据 知，当点 在线
段 上时， 的最小值是 ，问题得解．
【详解】解：连接 ，
平分 交 于点 ，， ，
，
，
且 ，
当点 在线段 上时， 的最小值是 ，
，
的最小值为7．
故选：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是
解题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， ， 是 的两条中线， 是线段
上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接 ，只要证明 ，即可推出 ，由 ，推出Q、M、C共线时， 的值最小，最小值为 的长度．
【详解】解：如图连接
， 是 的两条中线，
Q、M、C共线时， 的值最小，最小值为 的长度
故选D．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰 中， ， ，
作 于点D， ，点E为 边上的中点，点P为 上一动点，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，此时
的值最小，就是 的长，证明 即可．【详解】解：作点 关于 的对称点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，此时
的值最小，就是 的长，
， ， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
点E为 边上的中点，
，
，即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对
称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．
4．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在 中， ， ， ，点O是
的中点，点D是线段 上任意一点（不含端点），连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】3【分析】作 构造 ，再过点O作 交 于点D， ，所以
最小，根据含 直角三角形的性质即可求得 的长．
【详解】解∶∵ ， ，
∴ ，
∴ .
如图，过点C作 ，过点O作 交 于点D，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ， ，
∴根据垂线段最短可知：
的最小值为： ，
故答案为3．
【点睛】本题考查了最短路径以及含30度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边 （三边相等，三个内角都是 的三角形）的边长
为 ，动点D和动点E同时出发，分别以每秒 的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到
终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t， ， 和 交于点F．(1)在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由；
(2)连接 ，求t为何值时， ；
(3)若 于点M，点P为 上的点，且使 最短．当 时， 的最小值为多少？
请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】(1) 与 始终相等
(2)5
(3)7
【分析】（1）证明 即可；
（2）根据 ，得到 ，即 ，求出 即可；
（3）作D点关于 的对称点 交 于点 ，连接 ，交 于点P，则 ，
证明 为等边三角形，即可求 的值．
【详解】（1）解：由已知可得 ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 始终相等；
（2）
解：∵ 是等边三角形
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（3）∵ ，
∴ 平分 ，
作D点关于 的对称点 交 于点 ，连接 ，交 于点P，
∵ ，
当点 三点共线时， 有最小值，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为7．
【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段 ，再由等边三角形的
性质求解 的长是解题的关键．
6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在 中， ．
(1)作 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 （保留作图痕迹）．(2)连接 ，若 ， 的周长是 ．
①求 的长；
②在直线 上是否存在点 ，使 的值最小，若存在，标出点 的位置并求 的最小值，若
不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①6cm；②存在，8cm
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）①利用线段垂直平分线的性质得 ，可得答案；
②根据垂直平分线的性质得点 关于直线 的对称点为点 ，要使 的值最小，则连接 与直
线 的交点即为点 ，即 的最小值即可 的长．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）① 垂直平分 ，
，
的周长
，
又 ，
；
②如图，垂直平分 ，
点 关于直线 的对称点为点 ，
要使 的值最小，则连接 与直线 的交点即为点 ，
当点 与点 重合时， 最小值 ，
最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，轴对称 最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【经典例题二 求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点 ， 在直线 的同侧， 到 的距离 ， 到 的距离 ，已知
， 是直线 上的一个动点，记 的最小值为 ， 的最大值为 ，则 的值为
（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点 作直线 ，在根据勾股定理求出线段 的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点 ，此时
，由三角形三边关系可知 ，故当点P运动到 时 最大，过点B作
由勾股定理求出AB的长就是 的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P，则点P即为所求
点，过点 作直线 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
在 中，根据勾股定理得，
∴ ，
即PA+PB的最小值是 ；
如图所示，延长AB交MN于点 ，∵ ， ，
∴当点P运动到 点时， 最大，
过点B作 ，则 ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得，
，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
【变式训练】
1．如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线 上的动点，且 ，则 的
最大值是________．【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP， =CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边 中， ，P是 的中线 上的动点，
∴AD是BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴ =CP-PE，
∵在 中，CP-PE＜CE，
∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是 边的中点，
∴ 的最大值=6÷2=3．
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到 =CP-PE，是解题
的关键．【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝
12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若 PQR 周长最小，则最小周长是( )
△
A．6 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】
作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连
接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．
△
故选B．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图， 中， ， ， 的面积为21，
于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点， 周长的最小是等于（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故点D是BC边的中点，根据三角形的面积公式求出AD的
长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BP+PD的
最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形， AD⊥BC
∴点D是BC边的中点
∴BD=CD= =3
∵ 的面积为21
∵EF是线段AB的垂直平分线
∴点B关于直线EF的对称点为点A
∴AD的长为BP+PD的最小值
∴△PBD的周长最小=(BP+PD)+BD=AD+ BC=7+3=10
故选D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图， ， 内有一定点P，且 ．在 上有一动点
Q， 上有一动点R．若 周长最小，则最小周长是________．【答案】8
【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB
相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，
PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR的周长=EF，再根据三角
形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
【详解】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即
ME=PM，
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF，
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=8，即在保持OP=8的条件下△PQR的最小周长为8．
故答案为：8．
．
【点睛】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求
三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、
B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接
A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【答案】(1)见解析；（2）10
【详解】试题分析： 作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ,与 相交于
两点，连接 , 即为所求．
试题解析： 作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ,与 相交于 两
点，连接 , 即为所求．此时线段 的长度即为周长的最小值
连接
由对称性知：
为等边三角形
所以三角形的最小周长为10.
点睛：属于将军饮马问题，依据是：两点之间，线段最短.
【经典例题四 最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单
位长度， 的三个顶点都在格点上．(1)求出 的面积；
(2)画出 关于直线 对称的 ；
(3)在直线 上画出点 ，使得 的值最小．
【答案】(1)2
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）利用网格，间接表示出 的面积即可得到答案；
（2）根据点的对称，先作出 三个顶点关于直线 的对称点，再连接顶点即可画出 ；
（3）由动点最值问题-“将军饮马”模型，作出点 关于动点 轨迹直线 的对称点 ，连接
，与直线 的交点 即为所求（连接 与直线 相交于点 也可）．
【详解】（1）解： ；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：如图所示：连接 ，与直线 的交点 即为所求（连接 与直线 相交于点 也可）．
【点睛】本题考查网格中求三角形面积、复杂作图-对称及动点最值问题-“将军饮马”，熟练掌握相关题型
解法及对称作图是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知 ， 两点在直线 的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线 上找出一点 ，使 ；
(2)在（图②）直线 上找出一点 ，使 的值最小；
(3)在（图③）直线 上找出一点 ，使 的值最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接 ，作线段 的垂直平分线，交直线 于点 ，则点 即为所求；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，线段 与直线 交于点 ，则点 即为所求．（也可作
关于直线 的对称点 ）
（3）过点 ， 作直线 与直线 交于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）如图①，点P即为所求此时 ；
（2）如图②，点P即为所求
此时 的值最小；
（3）如图③，点P即为所求
此时 最大．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点
N，交 于点M，连接 ．
(1)若 ，则 的度数是___________度；
(2)若 ． 的周长是 ，
①求 的长度；②若点P为直线 上一点，请你直接写出 周长的最小值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得 ，再根据等腰三角形的性质即
可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得 ， 的周长是 ． ，即可求 的长度；
②依据 ， ，即可得到当P与M重合时， ，此时 最
小，进而得出 的周长最小值．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
∵ 是 的垂直平分线，
，
，
，
，
．
（2）① ，
的周长是 ，
即
，
，
，
．
∴ 的长度为 ．
②当P与M重合时， 的周长最小．
理由：∵ ， ，
∴当P与M重合时， ，此时 最小值等于 的长，∴ 的周长最小值 ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形
的性质．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个
点，请按要求画出图形．
(1)作线段 和射线 ；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线 上作 ；
(3)在平面内作一点P，使得 的和最短．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接 交 于P，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：（3）解：点P即为所求．
两点之间线段最短，
要使得 的和最短，则点 应为线段 和线段 的交点．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
【重难点训练】
1．（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，等腰三角形 的底边 长为4，面积是16，腰
的垂直平分线 分别交 ， 边于E，F点，若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，
则 周长的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．10 D．20
【答案】C
【分析】连接 ，由于 是等腰三角形，点D是 边的中点，故 ，再根据三角形的面积
公式求出 的长，再根据 是线段 的垂直平分线可知，点C关于直线 的对称点为点A，故
的长为 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 ，∵ 是等腰三角形，点D是 边的中点，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴点C关于直线 的对称点为点A，
∴ 的长为 的最小值，
∴ 周长的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
2．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，边长为 的等边 中， 是 上中线且 ，
点 在 上，连接 ，在 的右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出 ，进而作点A关于直线 的
对称点M，连接 交 于E，此时 的值最小，最后依据 周长的最小值
求值即可得出答案．
【详解】解：如图，∵ 都是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴点E在射线 上运动( )，
作点A关于直线 的对称点M，连接 交 于 ，此时 的值最小，
∵
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∴ 周长的最小值 ．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是利用轴对称性质得出 的值最小．
3．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在 中， ， ， 是 下方的一动点，
记 ， 的面积分别记为 ， ．若 ，则线段 长的最小值是（ ）A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作直线 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，由图可知
，根据面积关系求出 长度即可．
【详解】解：如图，过点 作直线 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ．
是等腰直角三角形，且 ，
， ， ，
，
，
点 的运动轨迹是直线 ，
，
解得 ，
，
的最小值为 ，
故选C．【点睛】本题考查了最短距离问题、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识，根据题意添加相应辅助
线是解题关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ， ， 分别是边 ， 上的定点， ，
分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 最小时，则关于 ， 的数量
关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，作M关于 的对称点 ，N关于 的对称点 ，连接 交 于Q，交 于P，
则 最小，易知 ， ，
， ， ，由此即可
解决问题．
【详解】解：如图，作M关于 的对称点 ，N关于 的对称点 ，连接 交 于Q，交 于
P，则 最小，
由轴对称的性质得 ， ， ，
， ，
∴ ．
故选：D．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝ ，∠B
＝∠E＝ ， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得 的周长最小时，则∠BAE的度数为（ ）
A．136° B．96° C．90° D．84°
【答案】A
【分析】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点
N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，
PQ的长度即为 的周长最小值，根据三角形的内角和等于 求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE
相交于点N，
则AM=PM，AN=QN，
∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
∴ 周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，
由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为 的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝ ，
∴
∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
∴∠P+∠Q= ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点
M、N的位置是解题的关键，属于中考常考题型．
6．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，
∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（
）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】在BA上截取BE=BN，构造全等三角形△BME≌△BMN，利用三角形的三边的关系确定线段和的最
小值．
【详解】解：如图，在BA上截取BE=BN，
因为∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠EBM=∠NBM，
在△BME与△BMN中，所以△BME≌△BMN（SAS），
所以ME=MN．
所以CM+MN=CM+ME≥CE．
因为CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值
此时，∵∠ABC=60°，CE⊥AB，
∴∠BCE=30°，
∴BE= ，
∴CE= ，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称的应用，最短路径问题，垂线段最短等知识．易错易混点：解此题是受角平分
线启发，能够通过构造全等三角形，把CM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值
转化为点到直线的距离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解
是初中考查的重点也是难点．
7．（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝
2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当 PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距
离为（ ） △
A．1 B．2 C．4 D．1.5
【答案】A
【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点 和 ，连接O 、O 、 ，则 与OB的交点为点
， 与OA的交点为点 ，连接P 、P ，则此时 的值即为 PMN的周长的最小值，过点O
△作OC⊥ 于点C，求得∠O 的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点 和 ，连接O 、O 、 ，则 与OB的交点
为点 ， 与OA的交点为点 ，连接P 、P ，则此时 的值即为 PMN的周长的最小值，
过点O作OC⊥ 于点C，如图所示： △
由对称性可知OP＝O ＝O ＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ ＝2×60°＝120°，
∴∠ ＝∠ ＝30°，
∵OP＝2，OC⊥ ，
∴OC＝ O ＝1；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角
三角形的性质是解题的关键．
8．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在 中， ，以AC为底边在 外作
等腰 ，过点D作 的平分线分别交AB，AC于点E，F．若 ， ，点P是直线
DE上的一个动点，则 周长的最小值为（ ）A．15 B．17 C．18 D．20
【答案】A
【分析】根据点A与点C关于DE对称，即可得出PC＝PA，当点P与点E重合时，PC＋PB＝PA＋PB＝
AB，此时 PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB即可得到 PBC周长的最小值．
【详解】解△：∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，DE平分∠ADC， △
∴ED垂直平分AC，
∴点A与点C关于DE对称，
∴PC＝PA，
如图所示，当点P与点E重合时，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，
此时 PBC的周长最小，
∵BC＝△5， ， ，
∴AB＝2BC＝10
∴△PBC周长的最小值为：PB＋PC＋BC＝PB＋PA＋BC＝AB＋BC＝10＋5＝15，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴
对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）在 中， ，D是边 上一点，
，E，F分别是边 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】5【分析】延长 作 ，连接 ，由点到直线的距离可知当 时 有最小值，根
据30度角的直角三角形性质作答即可．
【详解】解：延长 作 ，连接 ，
此时 ，
∵ 最小，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了求最短距离，含30度角的直角三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）如图，等腰三角形 的底边 长为
2，面积是6，腰 的垂直平分线 分别交 ， 于点E、F，若点D为底边 的中点，点M为线
段 上一动点，则 的周长的最小值为 ．
【答案】7
【分析】连接 ，由于 是等腰三角形，点 是 边的中点，故 ，再根据三角形的面积
公式求出 的长，再再根据 是线段 的垂直平分线可知，点 关于直线 的对称点为点 ，故
的长为 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接 ，
是等腰三角形，点 是 边的中点，
，
，
解得 ，
是线段 的垂直平分线，
点 关于直线 的对称点为点 ，
的长为 的最小值，
的周长最短 ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在 中， ，点
是边 上的一动点．已知 ，现将 绕点 按逆时针方向旋转，点 是边 的中
点，则 ， 长度的最小值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】①根据 的正切值即可求得 ，再利用三角形的面积公式即可解答；②根据旋转的性质及
点到直线的距离得到点 的运动轨迹即可求得 的最小值为 ，
【详解】解：①∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②当点 垂直于 时，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 是边 的中点， ,
∴ ,
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数，点到直线的最短距离，中点的定义，掌握点到直线的距离是解题的
关键．
12．（2023春·八年级课时练习）如图， ， ， 分别为射线 ， 上的动点， 为
内一点，连接 ， ， ．若 ，则 周长的最小值为 ．
【答案】5
【分析】首先分别作点P关于 ， 的对称点C、D，连接 ，分别交 ， 于点M、N，连接 、
、 ， ，易得 是等边三角形，且此时 的长即为 周长的最小值，继而求得答案．【详解】解：如图所示：分别作点P关于 ， 的对称点C、D，连接 ，分别交 ， 于点M、
N，连接 、 、 ， ，
∵点P关于 的对称点为点C，
， ， ；
∵点P关于 的对称点为点D，
， ， ，
， ，
是等边三角形，
，
的周长为：
，
周长的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题以及等边三角形的判定与性质，注意准确确定点M，N
的位置是关键．
13．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中
点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+ CE的最小值为
．
【答案】 /1.5【分析】作 构造 ，再过点D作 交 于点E， ，所以
最小，根据含 直角三角形的性质即可求得 的长．
【详解】解∶如图，过点C作 ，过点D作 交 于点E，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了最短路径以及含30度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线．
14（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上，
且 ， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，求 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据两点之间线段最短，作点D和点E的关于 和 的对称点形成等边三角形即可求解．
【详解】解：如图所示：作点D关于 的对称点G，作点E关于 的对称点H，
连接 交 于点M、交 于点N，
连接 、 ，
此时 的值最小．
根据对称的性质可知：
， ，
， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了最短路线问题，解决本题的关键是作点D和点E的关于 和 的对称点形成等边
三角形．
15．（2022秋·八年级课时练习）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ．若 ，
，则 的度数为 ．
【答案】44°/44度
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC＝ ，∠AFB＝∠EFB＝90°，
推出AB＝BE，根据等腰三角形的“三线合一”性质得到AF＝EF，根据中垂线性质得到AD＝ED，得到
∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC＝ ，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝90°−18°＝72°＝∠BEF，
∴AB＝BE，
是 边 上的中线，
∴AF＝EF，
是 的中垂线，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°−∠ABC−∠C＝180°−36°−50°＝94°，
∴∠BED＝∠BAD＝94°，
是 的一个外角，
∴∠CDE＝94°−50°＝44°，
故答案为：44°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、三角
形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的两条中线，
是 上的一个动点，则图中长度与 的最小值相等的线段是 ．
【答案】 /EC
【分析】如图，连接 ，根据 ， 是 的中线，可推出 ，即可得到
，由于 是 上的一个动点同时结合三角形三边关系定理可得 ，根据两
点之间线段最短，当点 、 、 共线时， 的值最小，最小值为线段 的长度，即可得解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， 是 的中线，∴ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 上的一个动点，
∴ ，
当点 、 、 共线时， 的值最小，最小值为线段 的长度，
即与 的最小值相等的线段是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，
三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知 ， 两点在直线 的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线 上找出一点 ，使 ；
(2)在（图②）直线 上找出一点 ，使 的值最小；
(3)在（图③）直线 上找出一点 ，使 的值最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接 ，作线段 的垂直平分线，交直线 于点 ，则点 即为所求；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，线段 与直线 交于点 ，则点 即为所求．（也可作关于直线 的对称点 ）
（3）过点 ， 作直线 与直线 交于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）如图①，点P即为所求
此时 ；
（2）如图②，点P即为所求
此时 的值最小；
（3）如图③，点P即为所求
此时 最大．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．
18（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄
M，N．完成以下作图．(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
(2)若在公路 上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标
出点P的位置；
(3)当一节火车头行驶至铁路 上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)B
【分析】（1）根据两点之间线段最短作图即可；
（2）取 中点即可；
（3）作N到 的垂线段即可；
（4）直接根据图作答即可．
【详解】（1）
理由：两点之间线段最短．
（2）
（3）
（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，故答案为：B．
【点睛】本题考查了线段中点问题，最短距离问题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四
个点，请按要求画出图形．
(1)作线段 和射线 ；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线 上作 ；
(3)在平面内作一点P，使得 的和最短．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接 交 于P，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：（3）解：点P即为所求．
两点之间线段最短，
要使得 的和最短，则点 应为线段 和线段 的交点．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
20．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄 和村庄 都位于笔直的小河l同侧，要在河边建
一引水站，使它到村庄 ， 需铺设的水管长度之和最小．
(1)请画出引水站 的位置，并连接 （包括画图痕迹）；
(2)若不计杂料，所用水管之和为 米，且 比 长 米，两村庄购买水管花费 元，约定按
长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？
【答案】(1)见解析
(2) 元； 元
【分析】（1）先作出点 关于河流的对称点 ，然后连接 ，与河流的交点 即为所求作的水站的位
置，此时 最小．
（2）先求出每米水管的费用，然后列方程组求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，水站修在点 处才能使所需的管道最短．（2）解：水管每米的费用为： （元），
由题意得， ，
解得 ，
∴ 村所付水管费用为 （元），
村所付水管费用为 （元），
【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗 古从军行 开头两句：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图 所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发，
带着马走到河边 点饮水后，再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图
中找出 点，使 的值最小，不说明理由；
（2）实践应用 ，如图 ，点 为 内一点，请在射线 、 上分别找到两点 、 ，使 的
周长最小，不说明理由；
（3）实践应用 ：如图 ，在 中， ， ， ， ， 平分 ， 、分别是 、 边上的动点，求 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 的最小值为
【分析】（1）作 点关于直线 小河 的对称点 ，连接 ，交 于 ，则 最小；
（2）分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ， ， ，
则 的周长最小；
（3）过点C作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小，证明 ≌ ，
可得 ， ，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最
小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作 点关于直线 小河 的对称点 ，连接 ，交 于 ，则 最小；
理由：根据作法得： ，
∴ ，
∴当点 共线时， 最小；
（2）如图 ，分别作点 关于 ， 的对称点 和 ，连接 交 于 ， 于 ，连接 ，
， ，则 的周长最小；理由：根据作法得： ， ，
∴ ，
∴当点 共线时， 的周长最小；
（3）如图 ，过点C作 ，交 于 ， 于 ，连接ME，则 最小，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
∵ ，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵ ，，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮
马”及其变形的模型．
22．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，
平分 ，交边 于点 ，点 是边 的中点．点 为边 上的一个动点．
(1) ______， ______度；
(2)当四边形 为轴对称图形时，求 的长；
(3)若 是等腰三角形，求 的度数；
(4)若点 在线段 上，连接 、 ，直接写出 的值最小时 的长度．
【答案】(1)4；45
(2)
(3) 或 或
(4)2
【分析】（1）根据题意可得 ，则 ，即可求得AE的长，再根据 平分 ，即
可求得 的度数；
（2）根据轴对称图形的性质可得答案；
（3）根据题意可得 ，分三种情况： ， ， ，再结合三角形内角和定
理即可求解；
（4）过点M作 ，点P关于CD的对称点 ，根据题意可得 ， ，根据
，可得 ，则 ， ，因此 ，以此得点E，
M， 三点共线时， 的值最小，此时 ，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结
果．
【详解】（1）解： ， ，，
，
点 是边 的中点，
平分 ，
，
故答案为：4；45．
（2）∵四边形 为轴对称图形， 平分 ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ．
（3）∵ 平分 ， ，
∴ ．
当 时， ，
∴ ；
当 时， ；
当 时， ．
综上所述， 的度数为 或 或 ．
（4）如图，点M在 上，且 ，作点P关于 的对称点 ，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，，
，
，
当点E，M， 三点共线时， 的值最小，
又 根据垂线段最短，
当 时， 有最小值，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度
角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
