文档内容
期末复习重点题型几何最值及代数最值问题专题训练（原卷版）
（一）专题诠释
最值题型一直是中考的热点。它总是以填空或选择的压轴身份出现，有时也穿插在解答题中。由于最
值问题所呈现的背景往往是动态的，这就要求学生有较强的空间想象能力或者抽象思维能力。因此好多学
生望而生畏。但是只要肯下功夫，迎难而上，认真研究，多感悟，多总结，还是有规可循的。
（二）解题策略
对于八年级数学上的几何最值问题，由于学生还没有学到勾股定理，往往还是比较简单的。大致分为
三种类型：最常见的是求两条线段的和的最小值或两条线段的差的最大值。这往往就是路径最短问题（将
军饮马问题），一般是通过作对称点解决；二是求一条线段的最小值，这通常用垂线段最短解决；三是求
一条线段的最大值，这往往是用三角形两边之和大于第三边来解决，在三点共线时取得最大值。有时也可
以是这几种类型的综合。对于周长或面积的最值问题，可以向这三种类型转化。代数最值问题主要用配方
法或借助于完全平方公式变形。同学们可以在下面的典例中加以感悟，在练习中注意迁移。
（三）典例讲解及变式训练
类型一 路径最短问题（将军饮马问题）
典例1 （2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF
上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
1 2 1 1 3
A． a+ b B． a+b C．a+ b D． a
2 3 2 2 2
变式训练
1．（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于
点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
2．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD．AB＝4
（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小．（2）求出（1）中PC+PD的最小值．3．（2023秋•行唐县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，点P，Q分别在AB，AD上，且BP
＝AQ＝QD＝1，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023秋•佳木斯期末）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是
y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
5．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动
1
点，△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（ ）
2
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，
DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 ．类型二 求两条线段差的最大值
典例2 （2023秋•高新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB
于点M，AB＝10，△BMC的周长是16，若点P在直线MN上，PA﹣PB的最大值为 ．
变式训练
1．（2022•泗洪县模拟）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的
动点，则|PA﹣PB|的最大值为 ．
类型三 一定点两动点求周长的最小值
典例3（2023秋•凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上
分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝ °．
变式训练
1．（2022秋•博乐市校级期末）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝3，点E，
F分别是OA，OB上的动点，若使△PEF周长的最小，则最小周长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3❑√22．（2023秋•奉化区期末）如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边
OB、OA上的动点，记∠MPQ＝ ，∠PQN＝ ，当MP+PQ+QN最小时，则 ﹣ 的值为 ．
α β β α
类型四 求一条线段的最小值
典例4（2021秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线
l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
变式训练
1．（2022秋•东台市月考）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点．若PD
＝5，则PQ的最小值为（ ）
A．PQ＜5 B．PQ＝5
C．PQ＞5 D．以上情况都有可能
类型五 构造全等三角形求最值
典例5（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC=4❑√2，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点
M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 ．变式训练
1．（2022秋•启东市校级期末）如图，等边三角形ABC和等边三角形A′B′C的边长都是3，点B，C，
B′在同一条直线上，点P在线段A′C上，则AP+BP的最小值为 ．
2．（2020秋•海安市校级期末）已知，如图，△ABC是边长为4的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D
是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为 ．
3．（2021秋•启东市期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝
CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝ °．
类型六 造桥选址问题（先平移再作对称点）
4．（2021秋•启东市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），
（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则
点P的坐标为（ ）A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）
类型七 代数最值问题
典例7（2023秋•南通期中）请同学们运用公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc解决问题：已知a，b，
c满足a2+b2+c2＝6，则（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2的最小值为 ．
变式训练
1．（2022秋•如东县期末）已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式3a﹣a2﹣b2的最大值为（ ）
A．﹣4 B．﹣5 C．4 D．5
2．（2022秋•南通期末）已知m，n均为正整数且满足mn﹣3m﹣2n﹣24＝0，则m+n的最大值是（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
3．（2023春•天元区校级期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a＜b＜c），若△ABC的周长为30，那
么c2+18a+18b﹣446的最小值为 ．
4．（2023•冀州区校级模拟）将二次三项式3a2+12a+12分解因式的结果为 ，它的最小值为 ．
5．（2023春•亭湖区校级期中）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+8，则a+b+c的最小值是
．
6．（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，则
（a﹣b）2的最小值为 ．
7．（2023秋•雁江区期末）当a＝ ，b＝ 时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值．
8．（2022•浙江自主招生）已知实数x、y满足关系式xy﹣x﹣y＝1，则x2+y2的最小值为 ．
