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第 05 讲 课题学习：最短路径问题
课程标准 学习目标
①最短路径的基本原理 1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线
②利用轴对称只是解决最短路径 的距离最短。
问题 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平
③利用平移解决造桥选址问题 分线的性质解决相应题目。
知识点01 最短路径的基本原理
1. 最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 。如图， 号线最短
②点到直线的距离 。如图， 最短。②图 ③图
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= 。
知识点02 利用轴对称解决最短路径问题
1. 两点一线型（两点在直线的异侧）：
问题：如图1，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。
作法：如图2，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。
结论：PA＋PB最小
原理：两点之间，线段最短。
图1 图2
2. 两点一线型（两点在直线的同侧）：
问题：如图1，直线两同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。
作法：如图2，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的
点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。
结论：MP＋MQ最小。
原理证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的
∴MP MP’
∴MP＋MQ＝ ＋MQ＝ 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 的长度
图1 图2
【即学即练1】
1．如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使
牧马人所走路径最短的是（ ）A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD＝6，E是AD上的一
个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3. 一点两线型：
问题：如图1，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周
长最小。
作法：如图2，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A
与B即为要找到的点。
结论：△PAB的周长最小。
原理证明：证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 ，ON是PP’’的 。
∴AP AP’，BP BP’’
∴ ＝ ＋AB＋ ＝
∴△PAB的周长最小。
图1 图2
【即学即练1】
3．如图，已知∠O，点 P 为其内一定点，分别在∠O 的两边上找点 A、B，使△PAB 周长最小的是
（ ）A． B．
C． D．
【即学即练2】
4．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最
小值为 ．
4. 两点两线型：
问题：如图1，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN
的周长最小。
作法：如图2，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边 OA与OB相交与点M
与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接
DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。
结论：四边形PQMN的周长最小。
原理证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 ，OB是PC的 。
∴MD MQ，NP NC。
＝PQ＋ ＋MN＋
＝PQ＋ 。
∴四边形PQMN的周长最小。图1 图2
【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作
图，不需写作法，保留作图痕迹）
【即学即练2】
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC
上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（ ）
A．45° B．90° C．75° D．135°
知识点03 利用平移解决造桥选址问题
1. 造桥选址问题：
问题：如图1，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村
庄Q的路程最短。
作法：如图2，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，
直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。
图 1
图2
【即学即练1】7．如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），
1 2 1 2
使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A． 路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
题型01 最短路径作图
【典例1】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的
距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB
最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．C． D．
【变式2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小．
【变式3】如图，直线l 、l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过
1 2 1 2
河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
方案一： 方案二：
①
①
将点A向上平移d得到A'；
连接AB交l 于点M；②过点
1
②连接A'B交l 于点M；③
1 M作MN⊥l ，交l 于点N．
1 2
过点M作MN⊥l
1
，交l
2
于点
MN即桥的位置．
N，MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【变式4】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中
规范地做出M、N两点的位置，并说明理由．
【变式5】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的
位置．（保留作图痕迹）
【变式6】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出
最短路径．
同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处．
同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线
MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径．
你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由．
题型02 最短路径的计算
【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线且AD＝12，F是AD上的动点，
E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．
【典例1】 【变式1】 【变式2】
【变式1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，
若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB边上的动点，∠B＝58°，当
△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（ ）
A．122° B．64° C．62° D．58°
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当
PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
【变式3】 【变式4】 【变式5】
【变式4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上
一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 ．
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于
E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式6】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，
△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式7】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，
点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 ．
【变式8】已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、
OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求
∠APB的度数．
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
2．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，
在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（ ）A．6 B．4 C．3 D．2
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，
那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别
是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的中
点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A＝40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD＝（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．如图，已知∠AOB＝ ，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若
△CDE周长的最小值等于3，则 ＝（ ）
α
αA．45° B．40° C．35° D．30°
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周
长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100° B．90° C．70° D．80°
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交
AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
9．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，
点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，
CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
10．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且
BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
11．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不
与A，C重合），M是AD上一动点（不与A，D重合），则CM+MN的最小值为 ．12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积为24．点E在边AC上，点F在边AB上，且EF垂直
平分AC，点D是边BC的中点，点M在线段EF上移动，连接CM，DM，则△CDM的周长的最小值为
．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，
此时∠MAN＝80°，则∠BAD的度数为 ．
14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN
周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 ．
15．已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动
点，记∠MPQ＝ ，∠PQN＝ ．当MP+PQ+QN最小时，则 ﹣ ＝ ．
α β β α
16．如图，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，
现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点
（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A B C ；
1 1 1
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．
18．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
连接OG、OH、OP．
（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；
（2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．19．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合）．AD＝AE．∠DAE＝
60°，连接CE．
（1）求证：CE平分∠ACF；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数．
（2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm．
①求△MBC的周长；
②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，
若不存在，说明理由．
