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专题13.22 课程学习（最短路径问题）（提升练）
一、单选题
1．如图，在 中， 是 的垂直平分线，P是直线 上的任意
一点，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，直线m是 中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若 ， ， ，
则 周长的最小值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．15.5
3．如图， ，M，N分别是射线 上的动点， 平分 ， ，则 的周长
的最小值为（ ）
A．9 B． C．6 D．27
4．如图，已知 的大小为 ， 是 内部的一个定点，且 ，点 、 分别是 、
上的动点，若 周长的最小值等于 ，则 ( )A． B． C． D．
5．如图，在 中， ，D为 的中点， 点P为 边上的一个动点，点
E为 边上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ，点C，D在 内部，连接 ，在射线 上取一点E，在射线
上取一点F，连接 ，得到四边形CEFD，若 ， ， ，则四
边形 周长最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．11
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D是线段BC上一动点，将A绕点D顺时针旋转90°至点E，连接
CE．当CE取最小值时，∠ACE＝（ ）
A．45° B．65° C．75° D．105°8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上
截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作
射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
9．如图， ， 是 角平分线上一点， ，垂足为 ，点 是 的中点，且
，如果点 是射线 上一个动点，则 的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．如图，若 为等腰直角三角形， ， ， 为 上的动点，则 的最
大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．如图，△ABC中，BC=10， ，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则△BCD的面积最大值
为 ．12．如图， ，点M、N分别在射线 、 上， ， 的面积为12，P是直线
上的动点，点P关于 对称的点为 ，点P关于 对称的点为 ，当点P在直线 上运动时，
的面积最小值为 ．
13．如图，在 中， ， ， ．将 沿射线 折叠，使点A与 边上的点
D重合，E为射线 上的一个动点，则 周长的最小值 ．
14．如图，在 中， ， ， ，直线m垂直平分 ，点P为直线m上的动点，
则 的最小值是 ．
15．如图，等边 和等边 的边长都是4，点 在同一条直线上，点P在线段 上，
则 的最小值为 ．16．如图，等边三角形 中， 是 边上的中线，F是 边上的动点，E是边 的中点．当
的周长取得最小值时， 的度数为 °．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，S ABC＝12，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．若点P是AD上一动
△
点，连接PE，PB，则PE＋PB的最小值是 ．
18．如图，在菱形 中， ，对角线 交于点 ， ，点 为 的中点，点
为 上一点，且 ，点 为 上一动点，连接 ，则 的最大值为 ．
三、解答题
19．如图，在 中， ．
(1)作 的垂直平分线交 于点N，交 于点M（保留作图痕迹）．
(2)连接 ，若 ， 的周长是 ．
①求 的长；②在直线 上是否存在点P，使 的值最小，若存在，标出点P的位置并求 的最小值，若
不存在，说明理由．
20．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ．
（1）若 ，则 的度数是 ；
（2）连接 ，若 ， 的周长是 ．
①求 的长；
②在直线 上是否存在点 ，使 的值最小，若存在，标出点 的位置并直接写出 的最小
值；若不存在，说明理由．
21．已知： 为等边三角形．
(1)如图1，点 、 分别为边 上的点，且 ．
①求证： ．
②求 的度数．
(2)如图2，点 为 外一点， ， 、 的延长线交于点 ，连接 ，猜想线段 、
、 之间的数量关系并加以证明．(3)如图3， 是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，直接写出 的最大值与最小值的
差．
22．如图1、图2和图3，A、B两点在直线l同侧，且点A、B所在直线与l不平行，在直线l上画出符合要
求的点P（不写做法与理由，保留作图痕迹）．
（1） 为最大值，在图1中的直线l上画出点 的位置；
（2） ，在图2中的直线l上画出点 的位置；
（3） 为最小值，在图3中的直线l画出点 的位置．
23．已知： ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证： ABD≌ BCE；
②求∠AFE的度数；
（2）如图2，点D为 ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边 ABC，连接AD，直接写出
当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
24．如图①， ABC， CDE都是等边三角形．
△ △
发
（1）写出AE与BD的大小关系.
（2）若把 CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．
（3） ABC△的边长为5， CDE的边长为2，把 CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图①位置，求出线段AE
长的最△大值和最小值． △ △参考答案
1．D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得 ，根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：设 与 于点 ,连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
根据两点之间线段最短，
，最小，
此时点P与点M重合．
所以 的最小值即为 的长，为6．
所以 的最小值为6．
故选：D．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
2．A
【分析】根据垂直平分线的性质 ，所以 周长 .
【详解】∵直线m是 中 边的垂直平分线,
∴
∴ 周长
∵两点之间线段最短
∴
的周长
，
∴ 周长最小为
故选：
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．解题的关键是能得出
．
3．A
【分析】作P点关于射线 的对称点C点，作P点关于射线 的对称点D点，连接 ， 与射线
的交点
即为M点、N点，连接 ，此时 的周长最小，证明 是等边三角形即可求解．
【详解】解：作P点关于射线 的对称点C点，作P点关于射线 的对称点D点，连接 ， 与射
线 的
交点即为M点、N点，连接 ，此时 的周长最小，
∵C点、P点关于射线 对称，
∴射线 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，同理： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定及性质，利用对称将 的周长最小值转化为两
点间线段最短是关键与难点．
4．A
【分析】设点 关于 的对称点为 ，关于 的对称点为 ，当点 、 在 上时， 的周长为
，此时周长最小，根据 可得出 是等边三角形，进而可求出 的度数．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ， 于 ．
此时， 的周长最小．
连接 ， ， ， ．
点 与点 关于 对称，
垂直平分 ，
， ， ，
同理，可得 ， ， ．
， ，
．
又 的周长 ，
，是等边三角形，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点 和 的位置是解题的关键．要使 的周长最小，
通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
5．C
【分析】根据等腰三角形三线合一可得 ，连接 ，过点C作 ，可得
，当E、P、C三点共线且 时， 最小值= ，结合面积法即可求解.
【详解】解：∵在 中， ，D为 的中点，
∴ ， ，
连接 ，过点C作 ，
∵B、C关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，当E、P、C三点共线且 时， 最小值= ，
∵ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握等腰三角形三线合一以及面积法时关键.
6．B
【分析】过点C作 的对称点 ，过点D作 的对称点 ，连接 交 、 于点E和F，则四边
形 周长取得最小值，证明 是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：过点C作 的对称点 ，过点D作 的对称点 ，连接 交 、 于点E和F，则
四边形 周长取得最小值，∵点C、点 关于 对称，点D、点 关于 对称，
∴
∴ ，
∴四边形 周长 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴四边形 周长最小值是 ．
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最短问题．
7．C
【分析】以 为斜边向下作等腰直角三角形 ，根据 ，当 三点共线时， 取得
最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以 为斜边向下，作等腰直角三角形 ，
∵ ，
当 三点共线时， 取得最小值，此时．
故选C
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
8．B
【分析】由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，根据角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，
可得CG BG ，根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠CBG＝∠ABG＝30°，
∴CG BG ，
∴点G到AB的距离等于GC，
∴GP的最小值为 ，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图象信
息，属于中考常考题型．
9．C
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP= ∠AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD= OP=4，然后
根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【详解】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP= ∠AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=2，
∴OP=2DM=8，
∴PD= OP=4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=4．故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅
助线构造成直角三角形是解题的关键．
10．C
【分析】作点 关于直线 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，易得 ，
， ，进而构造出等边三角形，然后根据三角形的三边关系可得
，求出 的长即可．
【详解】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
由轴对称图形的性质可知 ， ， ，
∴ ，
即当 三点共线时， 的最大值为 ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
即 的最大值为4．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称图形的性质等知识，通过
轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．
11．15【分析】延长 ， 交点于 ，可证 ，得出 ， ，则
，当 时， 最大面积为30，即 最大面积为15．
【详解】解：如图：延长 ， 交点于 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ；
，
，即 ；
，
，
当 时， 面积最大，
即 最大面积 ．
故答案为：15．
【点拨】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到 进行求解．
12．
【分析】连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，先利用三角形的面积公式求出 ，再根据
轴对称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，然后利用
三角形的面积公式可得 的面积为 ，可得当点 与点 重合时， 取得最小值， 的面
积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，
，且 ，
，
点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ，
， ， ，
，
，
的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
的面积的最小值为 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
13．24
【分析】设 与 的交点为点 ，连接 ，先根据折叠的性质可得
，再根据两点之间线段最短可得当点 与点 重合时，
周长最小，进而求解即可．
【详解】解：如图，设 与 的交点为点 ，连接 ，
由折叠的性质得： ，
，
周长= ，
要使 周长最小，只需 最小，
由两点之间线段最短可知，当点 与点 重合时， 取最小值，最小值为 ，
周长 ．
故答案为：24．
【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
14．2
【分析】根据直线m垂直平分 ，得到点A与C关于直线m对称，设直线m与 的交点为D，当点P
与D重合时， 的值最小，且最小值是 的长度，根据直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵直线m垂直平分 ，
∴点A与C关于直线m对称，
设直线m与 的交点为D，
当点P与D重合时， 的值最小，此时 则 最小值是 的长度，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值是2，
故答案为：2．【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，含30度角的直角三角形以及线段垂直平分线的性质，解
题的关键是找到点P所在的位置．
15．8
【分析】连接 ，根据 和 都是边长为4的等边三角形，证明 ，可得
，所以 ，进而可得当点P与点C重合时， 的值最小，正好等于
的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 和 都是边长为4的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点P与点C重合时，点A与点 关于 对称， 的值最小，正好等于 的长，
∴ 的最小值为 ，
故答案为：8．【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所
学知识求解是解决本题的关键．
16．60
【分析】过E作 ，交 于N，连接 交 于F，连接 ，推出M为 中点，求出E和M
关于 对称， 则此时 的值最小， 的周长最小，根据等边三角形性质求出 ，
即可求出答案．
【详解】解：过E作 ，交 于N，连接 交 于F，连接 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， E是边 的中点．
∴ ，
∴ ， 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线， 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴E和M关于 对称，
则此时 的值最小， 的周长最小，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴
由轴对称的性质可得： ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练想利用轴对
称的性质确定F的位置是解本题的关键．
17．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，点 与点 重合，求 等价于 ，由点好直线，垂线
段最短即可求出答案．
【详解】解：如图所示，作点B关于AD的对称点B′，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为PE与PB和的最小值，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，S ABC＝12，
△
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，最短路径的知识．掌握等腰三角形三线合一，再根据点到直线
的垂线段最短，即可求出答案，解决问题．
18．
【分析】作 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，根据三角形三边关系可得到
，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．
【详解】解：作 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，∴ ，
∴ ，
当 在同一条直线上时， 有最大值 ，
∵在菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故答案为 ；
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边
三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)① ；②存在， 与直线MN的交点即为点P，
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）①利用线段垂直平分线的性质得 ，可得答案；②根据垂直平分线的性质得点B关于直线的对称点为点A，要使 的值最小，则连接 与直线 的交点即为点P，即 的最小
值即可 的长．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）①∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ 的周长 ，
又∵ ，
∴ ；
②∵ 垂直平分 ，
∴点B关于直线 的对称点为点A，
∴要使 的值最小，则连接 与直线 的交点即为点P，
∴当点P与点M重合时， 最小值 ，
∴ 最小值为 ．
【点拨】本题考查已知等腰三角形性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短以及三角形内角和定理等
知识，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（1）50°（2）①6cm②8cm
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关
系，可得答案；
（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之
间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB＋PC与AC的关系．．
【详解】解：（1）若∠B＝70°，
∵
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠A=180°-70°-70°=40°∵ 的垂直平分线交 于 ，
∴MN⊥AB
∴∠NMA=90°-∠A= 50°，
故答案为：50°；
（2）如图：①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC＋BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
②当点P与点M重合时，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．
故P点为所求， 的最小值是8cm．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB
＝PA．
21．(1)①证明见解析；②
(2) ，理由见解析
(3) 的最大值与最小值的差为
【分析】（1）①根据“边角边”，证明三角形全等即可．②利用全等三角形的性质以及三角形的外角的
性质即可解决问题；
（2）在 上取一点 ，使得 ，利用全等三角形的性质证明 即可；
（3）以 为边向外作等边 ，连接 ，根据“边角边”，得出 ，再根据全等三角形
的性质，得出 ，再根据三角形的三边关系，求出 的取值范围，进而得出 的取值范围，即可
得出 的最大值和最小值，然后相减即可得出答案．
【详解】（1）①证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，在 和 中，
，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
如图2中，在 上取一点 ，使得 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3中，以 为边向外作等边 ，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，最大值为 ，
∵ ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关
系等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（1） 的位置见解析；（2） 的位置见解析；（3） 的位置见解析．
【分析】（1）根据三角形两边之差小于第三边可得 ，且当P在AB的延长线上时等号成立，
由此可得点 的位置；
（2）根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，作AB的垂直平分线与l的交点即为点 的位置；（3）作B点关于直线l的对称点 ，连接 与l的交点即为点 的位置，原理是两点之间线段最短和轴
对称的性质．
【详解】解：（1）如图，点 的位置如下；
（2）如图，点 的位置如下；
（3）如图，点 的位置如下．
【点拨】本题考查作线段的垂直平分线，涉及的知识点有三角形三边关系、垂直平分线的性质和轴对称
——最短路径问题．掌握相关定理，能正确分析是解题关键．
23．（1）①见解析，②60°；（2）7；（3）当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD
取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°
【分析】（1）i）根据SAS证明三角形全等即可．
ii）利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性质证明BD＝AD+DC即可．
（3）如图3中，以CD为边向外作等边 CDT，连接BT．构造全等三角形，证明BT＝AD，求出BT的取值范
围即可解决问题． △
【详解】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）．
②解：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
∵CB＝CA，
∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．
（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边 CDT，连接BT．
△
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值为1，最大值为5．
当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系
等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）AE＝BD，理由见解析；（2）AE＝BD，理由见解析；（3）线段AE长的最大值为7，最小值3．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用SAS可证明
△ACE≌△BCD，即可得AE=BD；
（2）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用角的和差关系可得∠ACE＝
∠BCD，利用SAS可证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD；
（3）利用三角形三边关系即可得答案.
【详解】（1）AE＝BD，理由：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD.
（2）AE＝BD，理由：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD.
（3）∵△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，
∴AC＝5，CE＝2，
在△ACE中，AC+CE＞AE，
∴当点E在AC的延长线上时，AE达到最大，最大值为AE＝AC+CE＝5+2＝7，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE，
∴当点E在线段AC上时，AE达到最小AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3，
即：线段AE长的最大值为7，最小值3．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，根据三角形的三边
关系得出AE的取值范围是解题关键.
