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专题 13.5 轴对称-最短路径问题（5个考点）
【考点1 “2定点1动点”作图问题】
【考点2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
【考点3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
【考点4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】
【考点5 “1定点2动点”-角度问题】
【考点1 “2定点1动点”作图问题】
1．（2024•开州区开学）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修
建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，
则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．
故选：C．
2．（2023秋•东莞市期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F
分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．100° B．90° C．70° D．80°
【答案】A
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交
CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故选：A．
3．（2023秋•番禺区期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使
PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l
的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
4．（2023秋•潜江期末）如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l∥l ．现要在这条河上
1 2 1 2
建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应
该选择路线（ ）
A． 路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
【答案】C
【解答】解：作PP'垂直于河岸l，使PP′等于河宽，
2
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l 于点E，
1
则EF∥PP′且EF＝PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
5．（2023春•尧都区期中）如图，A村和B村之间有一条河流，为实现乡村振兴，某乡镇
想在河堤两岸搭建一座桥，搭建路线最短的是（ ）A．PM B．PN C．PC D．PQ
【答案】B
【解答】解：四条路线MP，PQ，PC，PN（其中PN⊥MQ），要使搭建路线最短，可
以选择的路线为PN．
故选：B．
6．（2023秋•天山区校级期末）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城
镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站
修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下：
在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E，
∵A、A′关于直线l对称，
∴AP＝A′P，
同理AE＝A′E，
∵AP+BP＝A′P+BP＝A′B，
AE+BE＝A′E+BE＞A′B，
∴AP+BP＜A′E+BE，
∵E是任意取的一点，
∴AP+BP最短．7．（2023秋•陵水县期末）如图，已知M、N分别是∠AOB的边OA上任意两点．
（1）尺规作图：作∠AOB的平分线OC；
（2）在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM+PN的值最小．（保留作图痕迹，不
写画法）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线．
（2）如图2，作点M关于OC的对称点M′，连接M′N交OC于点P，
则点P即为所求．
【考点2 “2定点1动点”求周长最小值问题】
8.（2023春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点
P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
【答案】C
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC， ，
∴ ，
∵BC＝6，
∴AF＝8，
∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11，
∴△PBF周长的最小值为11，
故选：C．
9.（2023秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．13.5
【答案】A
【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．
故选：A．
【考点3 “2定点1动点”求线段最小值问题】
10.（2023春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰
AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值
就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC＝5，
∵ •BC•AD＝ •AC•BH，
∴BH＝ ，
∴BE+EF的最小值为 ，
故选：C
11.（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂
直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一
动点，则DM+CM的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【解答】解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×3×AD＝9，解得AD＝6，
△ABC
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM＝AM，
∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴DM+CM的最小值为6．
故选：C．
12.（2023春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝
10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值
是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S ＝ •AB•CE＝ •AC•BC，
△ABC
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【考点4 “1定点2动点”-线段/周长最小问题】
13.（郧西县月考）如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝
1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA
于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，
由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，
∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，
此时△PEF周长最小，
∵PO＝OP'，OP＝OP''，
∴OP'＝OP''，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P'OP''＝60°，
∴△OP'P''是等边三角形，
∵OP＝1，∴P'P''＝1，
故选：D．
14.（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝
4，点 M、N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的一动点，则△PMN 的周长的最小值是
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于
点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝
2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4，
故选：B．
15.（2023秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON
上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】C
【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P 、P ，然后连接两个对称点即
1 2
可得到A、B两点.
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO＝∠APO，∠BPO＝∠BPO，
1 2
还根据对称性知道：∠POP＝2∠MON，OP＝OP，
1 2 1 2
而∠MON＝50°，
∴∠POP＝100°，
1 2
∴∠APO＝∠BPO＝40°，
1 2
∴∠APB＝2×40°＝80°．
故选：C．
16.（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是
AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）A．105° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于
点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．17.（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平
分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于
CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝4，
∴AE＝4，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝2，
故选：A．18.（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝
10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值
是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC
于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S ＝ AB•CM＝ AC•BC，
△ABC
∴CM＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值为 ．
故选：B．【考点5 “1定点2动点”-角度问题】
19.（2023秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，
在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为
（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【答案】C
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD
于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
20.（2023秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点
E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【答案】C
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交
CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
21.（2023春•驻马店期末）如图，四边形 ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在
BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
A． a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
【答案】B【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接
A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
