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专题13.24 课程学习（最短路径问题）（直通中考）
【要点回顾】（1）垂直线段最短问题；（2）将军饮马问题；（3）造桥选址问题．
一、单选题
1．（2020·山东济南·中考真题）如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径
作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4， 面
积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
2．（2019·河北·统考中考真题）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 个小正三角形涂黑，还需涂黑
个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·天津·中考真题）如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上
一个动点，则下列线段的长度等于 最小值的是（ ）A． B． C． D．
4．（2015·辽宁营口·统考中考真题）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线
OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2020·安徽·统考三模）如图，四边形 中， ， 垂直 的角平分线于 ，
为 的中点，连接 ．则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，将 折叠，使 边落在 边上，展开后得到折痕l与
交于点P，且点P到 的距离为 ，点Q为 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东梅州·统考一模）如图，边长为6的等边三角形 中，D在 上，E为对称轴 上的一
个动点，连接 ，作等边三角形 ，则在点E运动过程中， 的最小值为（ ）A．6 B．3 C．2 D．1.5
8．（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，已知点D，E分别在 的边 ， 上，若 ，
，由作图痕迹可得， 的最小值是（ )
A．2 B．3 C．6 D．
9．（2019·山东德州·校联考一模）如图，等腰三角形 的底边 长为4，面积是16，腰 的垂直平
分线 分别交 边于E，F点．若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，则 周长
的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2023·安徽合肥·校联考三模）如图，在 中， ，若D是 边上的
动点，则 的最小值是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，则 的
最大值与最小值的差为 ．
12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片 ， ， ，将这张纸
片折叠，使得点 落在边 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，若点 在边 上，则 长的最小
值等于 ．
13．（2009·山东淄博·中考真题）已知 ，点P为 内一点，点A为OM上一点，点B为
ON上一点，当 的周长取最小值时， 的度数为 ．
14．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，已知等边 ，点D为平面内任意一点，且 ， ，
则 的最大值是 ．15．（2021·河南南阳·统考一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为
直线CD上的动点，则｜PA－PB|的最大值为 ．
16．（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为
AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为 ．
17．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）如图，在 中， ，点 为 中点，
的面积是10． 的垂直平分线 分别交 边于 两点，在线段 上存在一点 ，使
三点构成的 的周长最小，则 周长的最小值为 ．
18．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，等边 中， 于D， ，点P、Q分别为
上的两个定点且 ，在 上有一动点E使 最短，则 的最小值为 ．三、解答题
19．（2019·河北·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与
边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
20．（2021·河南南阳·统考三模）如图（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，点D为边BC上
一点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，取AD的中点M，连接CM，ME．
（1)填空：CM与ME的数量关系为 ，∠CME的度数为 ．
（2）将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若
成立，请就图（2）给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将△BDE绕点B在平面内自由旋转，且BC＝3，BD＝1，请直接写出线段CM的最大值和最小值．
21．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交
AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
22．（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边
上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．23．（2020·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考模拟预测）如图， 和 中， ，
， ，边 与边 交于点 （不与点 ， 重合），点 ， 在 异侧， 为
的内心．
（1）求证： ；
（2）设 ，用含 的式子表示 为___________，则求 的最大值为_______．
（3）当 时， 的取值范围为 ，则 ________， ________．
24．（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC
于点M，连接MB．
（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度；（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
参考答案
1．D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，
如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然
后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两
点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
2．C
【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】如图所示，n的最小值为3．
故选C．
【点拨】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．
3．B
【详解】试题分析：在 中， ，AD是 的中线，可得点B和点D关于直线AD对
称，连结CE，交AD于点P，此时 最小，为EC的长，故选B.4．B
【详解】作点P关于OA对称的点P，作点P关于OB对称的点P，连接PP，与OA交于点M，与
1 2 1 2
OB交于点N，由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是PP 的长，此时△PMN的周长最小．
1 2
∵OP=5，△PMN周长的最小值是5cm，
∴OP=OP=OP=5．
2 1
又∵PP=5，
1 2
∴OP=OP=PP，
1 2 1 2
∴△OPP 是等边三角形，
1 2
∴∠POP=60°，
2 1
∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°，
故选：B．
5．C
【分析】延长 交 的延长线于点 ．设 交 于点 ，首先证明 ，当
CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【详解】解：延长 交 的延长线于点 ．设 交 于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，，
， ，
，
， ，
，
，
，
当 时， 的面积最大，最大面积为 ．
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的
思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．C
【分析】由折叠可得： 为 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：∵将 折叠，使 边落在 边上，
∴ 为 的角平分线，
∵点Q为 上任意一点，
∴ 的最小值等于点P到 的距离3cm．故选C．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距
离相等是解答本题的关键．
7．D
【分析】连接 ．由 易得 ，则可得 ，从而确定点F的运动路径，由
垂线段最短即可求得 的最小值．
【详解】解：如下图所示，连接 ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ 为 的对称轴， ，
∴ ．
当点E在对称轴 上运动时，点F在所在直线 上运动，
∴当 时， 值最小，最小值为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，垂
线段最短等知识，证明两个三角形全等并确定点F的运动路径是解题的关键．
8．C
【分析】根据作图痕迹可得 平分 ，结合 可得 ，根据点到直线距离
垂线段最短结合直角三角形 角所对直角边等于斜边一半即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
平分 ，∵ ，
∴ ，
当 时， 最短，
∵ ，
∴ ，
故选C；
【点拨】本题考查角平分线作图，点到直线距离垂线段最短及直角三角形 角所对直角边等于斜边
一半，解题的关键是熟练掌握角平分线作图得到 平分 ．
9．C
【分析】连接 ，由于 是等腰三角形，点D是 边的中点，故 ，再根据三角形的
面积公式求出 的长，再根据 是线段 的垂直平分线可知，点C关于直线 的对称点为点A，故
的长为 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 ，
∵ 是等腰三角形，点D是 边的中点，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴点C关于直线 的对称点为点A，
∴ 的长为 的最小值，
∴ 周长的最小值为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
10．D
【分析】过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，在中， 当A，D，F在同一直线上，
即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长．
【详解】解：过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，
如图所示：
在 中， ，
∴ ，
∵
＝ ，
∴当A，D，F在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，
学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．11．12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三
角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6
