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专题13.24 课程学习（最短路径问题）（直通中考）
【要点回顾】（1）垂直线段最短问题；（2）将军饮马问题；（3）造桥选址问题．
一、单选题
1．（2020·山东济南·中考真题）如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径
作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4， 面
积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
2．（2019·河北·统考中考真题）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 个小正三角形涂黑，还需涂黑
个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·天津·中考真题）如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上
一个动点，则下列线段的长度等于 最小值的是（ ）A． B． C． D．
4．（2015·辽宁营口·统考中考真题）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线
OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2020·安徽·统考三模）如图，四边形 中， ， 垂直 的角平分线于 ，
为 的中点，连接 ．则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，将 折叠，使 边落在 边上，展开后得到折痕l与
交于点P，且点P到 的距离为 ，点Q为 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东梅州·统考一模）如图，边长为6的等边三角形 中，D在 上，E为对称轴 上的一
个动点，连接 ，作等边三角形 ，则在点E运动过程中， 的最小值为（ ）A．6 B．3 C．2 D．1.5
8．（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，已知点D，E分别在 的边 ， 上，若 ，
，由作图痕迹可得， 的最小值是（ )
A．2 B．3 C．6 D．
9．（2019·山东德州·校联考一模）如图，等腰三角形 的底边 长为4，面积是16，腰 的垂直平
分线 分别交 边于E，F点．若点D为 边的中点，点M为线段 上一动点，则 周长
的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2023·安徽合肥·校联考三模）如图，在 中， ，若D是 边上的
动点，则 的最小值是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，则 的
最大值与最小值的差为 ．
12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片 ， ， ，将这张纸
片折叠，使得点 落在边 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，若点 在边 上，则 长的最小
值等于 ．
13．（2009·山东淄博·中考真题）已知 ，点P为 内一点，点A为OM上一点，点B为
ON上一点，当 的周长取最小值时， 的度数为 ．
14．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，已知等边 ，点D为平面内任意一点，且 ， ，
则 的最大值是 ．15．（2021·河南南阳·统考一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为
直线CD上的动点，则｜PA－PB|的最大值为 ．
16．（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为
AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为 ．
17．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）如图，在 中， ，点 为 中点，
的面积是10． 的垂直平分线 分别交 边于 两点，在线段 上存在一点 ，使
三点构成的 的周长最小，则 周长的最小值为 ．
18．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，等边 中， 于D， ，点P、Q分别为
上的两个定点且 ，在 上有一动点E使 最短，则 的最小值为 ．三、解答题
19．（2019·河北·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与
边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
20．（2021·河南南阳·统考三模）如图（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，点D为边BC上
一点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，取AD的中点M，连接CM，ME．
（1)填空：CM与ME的数量关系为 ，∠CME的度数为 ．
（2）将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若
成立，请就图（2）给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将△BDE绕点B在平面内自由旋转，且BC＝3，BD＝1，请直接写出线段CM的最大值和最小值．
21．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交
AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
22．（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边
上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．23．（2020·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考模拟预测）如图， 和 中， ，
， ，边 与边 交于点 （不与点 ， 重合），点 ， 在 异侧， 为
的内心．
（1）求证： ；
（2）设 ，用含 的式子表示 为___________，则求 的最大值为_______．
（3）当 时， 的取值范围为 ，则 ________， ________．
24．（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC
于点M，连接MB．
（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度；（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
参考答案
1．D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，
如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然
后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两
点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
2．C
【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】如图所示，n的最小值为3．
故选C．
【点拨】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．
3．B
【详解】试题分析：在 中， ，AD是 的中线，可得点B和点D关于直线AD对
称，连结CE，交AD于点P，此时 最小，为EC的长，故选B.4．B
【详解】作点P关于OA对称的点P，作点P关于OB对称的点P，连接PP，与OA交于点M，与
1 2 1 2
OB交于点N，由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是PP 的长，此时△PMN的周长最小．
1 2
∵OP=5，△PMN周长的最小值是5cm，
∴OP=OP=OP=5．
2 1
又∵PP=5，
1 2
∴OP=OP=PP，
1 2 1 2
∴△OPP 是等边三角形，
1 2
∴∠POP=60°，
2 1
∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°，
故选：B．
5．C
【分析】延长 交 的延长线于点 ．设 交 于点 ，首先证明 ，当
CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【详解】解：延长 交 的延长线于点 ．设 交 于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，，
， ，
，
， ，
，
，
，
当 时， 的面积最大，最大面积为 ．
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的
思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．C
【分析】由折叠可得： 为 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：∵将 折叠，使 边落在 边上，
∴ 为 的角平分线，
∵点Q为 上任意一点，
∴ 的最小值等于点P到 的距离3cm．故选C．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距
离相等是解答本题的关键．
7．D
【分析】连接 ．由 易得 ，则可得 ，从而确定点F的运动路径，由
垂线段最短即可求得 的最小值．
【详解】解：如下图所示，连接 ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ 为 的对称轴， ，
∴ ．
当点E在对称轴 上运动时，点F在所在直线 上运动，
∴当 时， 值最小，最小值为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，垂
线段最短等知识，证明两个三角形全等并确定点F的运动路径是解题的关键．
8．C
【分析】根据作图痕迹可得 平分 ，结合 可得 ，根据点到直线距离
垂线段最短结合直角三角形 角所对直角边等于斜边一半即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
平分 ，∵ ，
∴ ，
当 时， 最短，
∵ ，
∴ ，
故选C；
【点拨】本题考查角平分线作图，点到直线距离垂线段最短及直角三角形 角所对直角边等于斜边
一半，解题的关键是熟练掌握角平分线作图得到 平分 ．
9．C
【分析】连接 ，由于 是等腰三角形，点D是 边的中点，故 ，再根据三角形的
面积公式求出 的长，再根据 是线段 的垂直平分线可知，点C关于直线 的对称点为点A，故
的长为 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 ，
∵ 是等腰三角形，点D是 边的中点，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴点C关于直线 的对称点为点A，
∴ 的长为 的最小值，
∴ 周长的最小值为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
10．D
【分析】过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，在中， 当A，D，F在同一直线上，
即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长．
【详解】解：过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，
如图所示：
在 中， ，
∴ ，
∵
＝ ，
∴当A，D，F在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，
学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．11．12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三
角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6<BE<8+6，
∴2<BE<14，
∴2<AD<14．
∴则 的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD
转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
12．2
【分析】根据题意， ，当 点与 点重合时，符合题意，据此即可求解．
【详解】解：∵将这张纸片折叠，使得点 落在边 上，点 的对应点为点 ，
∴ ，
而 ,
当 点与 点重合时， ，此时 的长最小，
∴ ．
故答案为：2．【点拨】本题考查了折叠的性质，理解当 点与 点重合时 的长最小是解题的关键．
13．80°
【分析】如图，分别作P关于OM、ON的对称点，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，由此即
可得到△PAB的周长取最小值时的情况，并且求出∠APB度数．
【详解】解：如图，
分别作P关于OM、ON的对称点P 、P ，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，
1 2
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO=∠AP O，∠BPO=∠BP O，
1 2
还根据对称性知道：∠P OP =2∠MON，OP =OP ，
1 2 1 2
而∠MON=50°，
∴∠P OP =100°，
1 2
∴∠AP O=∠BP O=40°，
1 2
∴∠APB=2×40°=80°．
故答案为80°．
14．3
【分析】以 为边作等边三角形 ，证明 得 ，根据三角形三边的关系求
出 的最大值即可求解．
【详解】如图，以 为边作等边三角形 ，则 ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ 的最大值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．6
【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-
PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系
得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，
根据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图，作A关于 的对称点 ，连接 并延长交 延长线于点P，则点P就是使
的值最大的点， ，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵点A与A′关于CD对称，
∴CD⊥AA′， ， ，
∴ ，
∵AC=BC，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为：6
【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，
正确的作出图形是解题的关键．
16．9
【分析】将 沿DE翻折到 的位置，将 沿EC翻折到 的位置，连接 ，证明
是等边三角形，得 ，再根据两点之间线段最短可得结论．
【详解】解：将 沿DE翻折到 的位置，将 沿EC翻折到 的位置，
连接 ，如图，
由翻折知，
， ，，
∵∠CED＝120°，
∴
∴
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∴
由两点之间线段最短得，
当 在同一条直线时， 取最大值为：3+3+3=9，
故答案为：9．
【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定以及两点之间线段最短的应用，证明 是等边三角形
是解答此题的关键．
17．7
【分析】由垂直平分线的性质可得 与 关于 对称，连接 ，交 于点 ，则当 三点
共线时， 的周长最小，为 的长．
【详解】解： 是线段 的垂直平分线，
与 关于 对称，
如图所示，连接 ，交 于点 ，
，
，
周长 ，
当 三点共线时， 的周长最小，为 的长，为 边的中点， ， ，
， ，
，
，
周长 ，
周长的最小值为7，
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查了轴对称求最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质，添加适当的辅
助线是解题的关键．
18．8
【分析】先由等边三角形的性质求出 ，作点Q关于 的对称点 ，连接
交 于E，连接 ，此时 的值最小．最小值 ，求得
，再证 是等边三角形，得到 即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴
∵ ，
∴ ，
如图，作点Q关于 的对称点 ，连接 交 于E，连接 ，此时 的值最小．最小值
，
∵∴
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为8．
故答案为：8．
【点拨】此题考查了轴对称性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定和性
质是解题的关键．
19．（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．
【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定
义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
【详解】（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵ ，∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．
当AD⊥BC时，AP AB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC ∠PAC，∠ICA ∠PCA，
∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180° （∠PAC+∠PCA）=180° （90°﹣α+60°） α+105°
∵0＜α＜90°，∴105° α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．【点拨】本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形
的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
20．(1)CM=ME，60°
（2）成立，证明见解析
(3)CM的最大值为 和最小值为
【分析】(1)由直角三角形的性质可得AM=CM= AD，AM=ME= AD，由等腰三角形的性质可求
∠CME=60°；
(2)取BD中点N，连接MN，CE，由三角形的中位线定理可得AB=2MN，可得MN=BC，由直角三角形
的性质可证△BNE是等边三角形，可得BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，由“SAS”可证
△CEB≌△MEN，可得ME=EC，∠CEB=∠MEN，可证△MEC是等边三角形，可得CM=ME，∠CME=60°；
(3)由直角三角形的性质可求BE= ，则点E在以点B为圆心， 为半径的圆上，即可求解．
【详解】（1）解：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
∵点M是AD的中点，
∴AM=CM= AD，AM=ME= AD，
∴MC=ME，∠MAC=∠MCA，∠MAE=∠MEA，
∴∠CME=2(∠MAC+∠MAE)=2∠CAB=60°，
故答案为：CM=ME，60°；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：
如图2，取BD中点N，连接MN，CE，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，AB=2BC，
∵将△BDE绕点B顺时针旋转，
∴∠ABC=∠DBE=60°，
∵点N是BD的中点，∠DEB=90°，
∴EN=BN，
∴△BNE是等边三角形，
∴BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，
∵点M是AD中点，点N是BD的中点，
∴ ，AB=2MN，
∴∠MNB+∠ABD=180°，BC=MN，
∴∠MNE+∠ABE=60°，
∵∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠CBE=∠MNE，
∴△CEB≌△MEN(SAS)，
∴ME=EC，∠CEB=∠MEN，
∴∠MEC=∠NEB=60°，
∴△MEC是等边三角形，
∴CM=ME，∠CME=60°；
（3）解：∵BD=1，∠BDE=90°−∠DBE=30°，
∴BE= ，
∴点E在以点B为圆心， 为半径的圆上，
∴点E在线段BC上时，CE有最小值 ，即CM的最小值为 ；点E在线段CB的延长线上时，CE有最大值 ，即CM的最大值为 ，
∴CM的最大值为 和最小值为 .
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定
和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的
关键．
21．(1)50
(2)①6；②14
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC
的周长＝AC＋BC，再代入数据进行计算即可得解；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得
到结论．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，
∵AB＝8，△MBC的周长是14，
∴BC＝14﹣8＝6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB＋PC＝PA＋PC，PA＋PC≥AC，
∴P与M重合时，PA＋PC＝AC，此时PB＋PC最小，
∴△PBC周长的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的
距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．22．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由等边三角形的性质可知 ,再利用等量代换可得 ，
最后利用SAS可证全等；
（2）由△ABD≌△ACE可知 ,AD=AE,当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时
AD⊥BC，求出此时BD的值即可得出答案.
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形
∵∠DAE=60°
即
在 和 中，
（2）∵△ABD≌△ACE
∴ ,AD=AE,
∴四边形ADCE的周长为
∴当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.
23．（1）见解析；（2）6-x，3；（3）105°，145°．
【分析】（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE即可．
（2）PD＝AD－AP＝6－x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的
长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定
义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
【详解】（1）证明：在 和 中，（如图1）
∴
∴
∴
即 ．
（2）解： ．
当 时， 值最小即 的值最大．
∵ ，
∴
∴
∴ 的最大值为3．
故答案为：6－x，3；
（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α＋30°，
∵∠BAC＝80°，∠B＝30°，
∴∠PCA＝180°－∠BAC－∠B＝70°，∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝80°－α，
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA
∴∠AIC＝180°－（∠IAC＋∠ICA）＝180°－ （∠PAC＋∠PCA）
＝180°－ （80°－α＋70°）
＝ α＋105°
∵0＜α＜80°，
∴105°＜ α＋105°＜145°，即105°＜∠AIC＜145°，
∴m＝105，n＝145．
故答案为：105°，145°．
【点拨】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边
的一半，全等三角形的判定和性质及角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
24．（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周长的最小值为14cm．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠A，根据线段垂直平分线的性质可求∠MBA，然后用角的
和差即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行
计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，∵MN垂直平分AB，
∴AM=MB，
∴∠MBA=∠A=40°，
∠MBC=∠ABC-∠MBA=30°；
故答案为：30°．
（2）①由（1）可知，AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC=14－8=6（cm）；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
如图，∵MN垂直平分AB，
∴PB=PA
∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等的性质，
熟记并能熟练运用这些性质是解题的关键．
