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重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结
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题型一：非常规空间几何体为载体
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台 的体积为 ，其中 .
(1)求侧棱 与底面 所成的角；
(2)在线段 上是否存在一点P，使得 ？若存在请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
例2．（2023·全国·高三专题练习）在三棱台 中， 为 中点， ， ，
.
(1)求证： 平面 ；(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积.
例3．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在正四棱台
中， ， ， ， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面
．
(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
变式1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台 中， ，
， ， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 是 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值．变式2．（2023·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）如图，圆锥 的高为 ， 是底面圆 的直
径，四边形 是底面圆 的内接等腰梯形，且 ，点 是母线 上一动点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的体积.
变式3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图， 为圆锥的顶点，A， 为底面圆 上两点，
， 为 中点，点 在线段 上，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
变式4．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，四边形 是
圆 的内接四边形， 为底面圆的直径， 在母线 上，且 ， ， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)设点 为线段 上动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
变式5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，线段 是圆柱 的母线， 是圆柱下底面⊙O的
内接正三角形， ．
(1)劣弧 上是否存在点D，使得 平面 ？若存在，求出劣弧 的长度；若不存在，请说明理
由．
(2)求平面 和平面 所成角的正弦值．
题型二：立体几何存在性问题
例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，如图1，在直角梯形 中，
．把 沿对角线 折起到 的位置，如图2
所示，使得点P在平面 上的正投影H恰好落在线段 上，连接 ，点E，F分别为线段 ，
的中点．(1)求证：平面 //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在棱 上是否存在一点M，使得M到点 四点的距离相等？请说明理由．
例5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知 和 所在的平面互相垂直， ，
， ， ， 是线段 的中点， .
(1)求证： ；
(2)设 ，在线段 上是否存在点 （异于点 ），使得二面角 的大小为 .
例6．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在 中， ， 为 边上一动
点， 交 于点 ，现将 沿 翻折至 .
(1)证明：平面 平面 ；(2)若 ，且 ，线段 上是否存在一点 （不包括端点），使得锐二面角
的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在请说明理由.
变式6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边
形 为筝形，其对角线交点为 ，将 沿 折到 的位置，形成三
棱锥 ．
(1)求 到平面 的距离；
(2)当 时，在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
变式7．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱 的各棱长都为 ，
点 在下底面 的投影为 的中点 .
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离.变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面PAD，△PAD为等边三角
形， // ， ，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．
(1)求证： ∥ ；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得 ∥平面AEF？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．
变式9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知 ， ，点
P在底面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设 ，则在线段PC上是否存在一点M，使得 与平面 所成角的余弦值为 ，
若存在，设 ，求出 的值，若不存在，请说明理由.变式10．（2023·浙江·校联考模拟预测）在四棱锥 中，底面 为矩形， ，
为等腰直角三角形，平面 平面 ， 为 中点.
(1)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 .若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由；
(2)求二面角 的正弦值.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为2的正三角形，
， ， 分别为 的中点，平面 与底面 的交线为 .
(1)证明： 平面 .
(2)若三棱锥 的体积为 ，试问在直线 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，
异面直线 所成角为 ，且满足 ？若存在，求出线段 的长度；若不存在，请说明理由.
变式12．（2023·安徽淮北·统考二模）如图所示，四棱锥 中，底面 为菱形，
.(1)证明： 面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，指出点 位置；若
不存在，请说明理由.
题型三：立体几何折叠问题
例7．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中， 为等腰直角三角形， ，
， 为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行
折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)求二面角 的余弦值．
例8．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边 的边长为 ， 是 边上的高， ， 分
别是 ， 边的中点．现将 沿 折叠，如图2所示.(1)证明： ；
(2)折叠后若 ，求二面角 的余弦值.
例9．（2023·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图甲所示的正方形 中，
对角线 分别交 于点 ，将正方形 沿 折
叠使得 与 重合，构成如图乙所示的三棱柱
(1)若点 在棱 上，且 ，证明： ∥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
变式13．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知如图甲所示，直角三角形SAB中，
， ，C，D分别为SB，SA的中点，现在将 沿着CD进行翻折，使得翻折后S
点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为 ，M为折叠后SA的中点，如图乙
所示.(1)证明： 平面SBC；
(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形BCDE中， ， ，A为DE的中
点，且 ， ，将 沿AB折起，使得点E到达P处（P与D不重合），记PD的
中点为M，如图2．
(1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；
(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ，
E，F分别在 ， 上， ，现将四边形 沿 折起，使 ．(1)若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点P，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由．
(2)求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点F到平面 的距离．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， 是等腰直角三角形，
是边长为2的正三角形，以 为折痕，将 向一方折叠到 的位置，使D
点在平面 内的射影在 上，再将 向另一方折叠到 的位置，使平面 平面 ，
形成几何体 .
（1）若点F为 的中点，求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值.
变式17．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形 中， ，且 ，
是等腰直角三角形，其中 为斜边.若把 沿 边折叠到 的位置，使平面 平面
，如图2.
（1）证明： ；
（2）若 为棱 的中点，求点 到平面 的距离.变式18．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）如图1，四边形 为直角梯形， ， ，
， ， ， 为线段 上一点，满足 ， 为 的中点，现将梯形沿
折叠（如图2），使平面 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）能否在线段 上找到一点 （端点除外）使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
试确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
题型四：立体几何作图问题
例10．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知正四棱锥 中，O为底面ABCD的中心，如图所
示．
(1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程
及理由；
(2)设PD的中点为G， ，求AG与平面PAB所成角的正弦值．例11．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体 的底面 是菱形，
， ，且 .
(1)试在平面 内过点 作直线 ，使得直线 平面 ，说明作图方法，并证明：直线 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平行六面体 的底面 是菱形，
， 且 .
(1)试在平面 内过点 作直线 ，使得直线 平面 ，说明作图方法，并证明：直线 ；
(2)求点 到平面 的距离.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体 中，面 面 ， 为等边三角形，
四边形 为正方形， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.（1）求二面角 的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出 的值（不需要说明理由，
保留作图痕迹）.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， .
,且 平面 ， ，点 分别是线段 上的中点， 在 上.且
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
变式21．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边
长为2的正方形， ， ，且 .(1)记线段 的中点为 ，在平面 内过点 作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，但不
要求证明；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
变式22．（2023·广西·高三统考阶段练习）如图，三棱柱 中，侧面 为菱形.
(1)（如图1）若点 为 内任一点，作出 与面 的交点 （作出图象并写出简单的作图过程，
不需证明）；
(2)（如图2）若面 面 ，求二面角 的余弦值.
变式23．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测） 是边长为2的正三角形，P在平面上满足
，将 沿AC翻折，使点P到达 的位置，若平面 平面ABC，且 ．
(1)作平面 ，使得 ，且 ，说明作图方法并证明；(2)点M满足 ，求二面角 的余弦值．
变式24．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥 的底面
是平行四边形，侧棱 平面 ，点 在棱 上，且 ，点 是在棱 上的动
点（不为端点）.（如图所示）
(1)若 是棱 中点，
（i）画出 的重心 （保留作图痕迹），指出点 与线段 的关系，并说明理由；
（ii）求证： 平面 ；
(2)若四边形 是正方形，且 ，当点 在何处时，直线 与平面 所成角的正弦值取
最大值.
题型五：立体几何建系繁琐问题
例13．（2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）如图，在四棱台ABCD-ABC D 中，底面
1 1 1 1
ABCD是菱形，∠ABC= ，∠BBD= ，
1
（1）求证：直线AC⊥平面BDB ；
1
（2）求直线AB 与平面ACC 所成角的正弦值.
1 1 1例14．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中，侧面 为正方形，M，N分别为
的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，三棱锥 的体积为2，求二面角 的余弦值．
例15．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）如图，在几何体 中， ，已知平面
平面 ，平面 平面 ， 平面ABC，AD⊥DE．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，设 为棱 上的点，且满足 ，求当几何体 的体积取最大值时，
与 所成角的余弦值．
变式25．（2023·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， 分别为 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交
于 ，交 于 ．
（1）证明：平面 ；
（2）设 为 的中心，若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦
值．
变式26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧
面 是矩形， ， 分别为 ， 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交
于 .
（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为 的中心，若 ， 平面 ，且 ，求四棱锥
的体积.变式27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）如图，在平行六面体 中，每一个面
均为边长为2的菱形，平面 底面 ， ， 分别是 ， 的中点， 是
的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若侧棱 与底面 所成的角为60°，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， ．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)线段 上是否存在一点M，使得 平面 ？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理
由．
变式29．（2023·全国·模拟预测）如图，三棱柱 的底面为等边三角形， ，点D，E分别为AC， 的中点， ， ．
(1)求点 到平面BDE的距离；
(2)求二面角 的余弦值．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知两个四棱锥 与 的公共底面是边长为4的正
方形，顶点 ， 在底面的同侧，棱锥的高 ， ， 分别为AB，CD的中点， 与
交于点E， 与 交于点F.
(1)求证：点E为线段 的中点；
(2)求这两个棱锥的公共部分的体积.
变式31．（2023·全国·高一专题练习）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重
要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的
出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖
臑”，已知在三棱锥 中， 平面 .（1）从三棱锥 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥 为“鳖臑”；
（2）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， .
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）设平面 与平面 交线为 ，若 ， ，求二面角 的大小.
变式32．（2023·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末）如图，四面体ABCD中， 等边三角形，
，且 .
(1)记AC中点为M，若面 面ABD，求证： 面ADC；
(2)当二面角 的大小为 时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.
变式33．（2023·河北衡水·高二校考开学考试）已知四面体 ， ， ，
且平面 平面 ．(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，
，点P是AC的中点，连接BP，DP
证明：平面 平面BDP；
若 ， ，求三棱锥 的体积．
例17．（2023·高二校考单元测试）如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,
点 是 的中点,连接 ．（1）证明:平面 平面 ;
（2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．
例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，底面 为边长是2的正方形， ，
分别是 ， 的中点， ， ，且二面角 的大小为 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的余弦值.
变式34．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形，
， .（1）证明：平面 平面 ；
（2）当直线 与平面 所成的角为30°时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
变式35．（2023·广东阳江·高二统考期中）如图，在四面体ABCD中， 是正三角形， 是直角
三角形， ，AB=BD．
(1)求证：平面 平面ABC；
(2)若 ，二面角 的余弦值为 ，求m．
变式36．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体 中，已知 ，
，(1)求证： ；
(2)若平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
题型七：利用传统方法找几何关系建系
例19．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在长方体 ，平面 与平
面 所成角为 .
(1)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值（用 表示）；
(2)将矩形 沿 旋转 度角得到矩形 ，设平面 与平面 所成角为 ，请
证明： .
例20．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥 中， ， ，
， ，平面 平面 .(1)证明： ；
(2)若 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的大小.
例21．（2023·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥 中，
，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角 平面角的补角大小为 ，若 ，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小
值．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ， 是
线段 的中点，设平面 与平面 的交线为 .
(1)证明 ∥平面BCM(2)已知 ， 为 上的点，若 与平面 所成角的正弦值为是 ，求线段 的长.
(3)在（2）的条件下，求二面角 的正弦值.
变式38．（2023·江西抚州·高二临川一中校考期中）如图，直线 平面 ，直线 平行四边形
ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点 在平面 上， ， ， ，
， 分别是 与 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
变式39．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正
方形，侧面SAD为等边三角形， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于 ？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
变式40．（2023·吉林长春·高二校考期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面
， ， .点 在侧棱 上， °.
（1）证明： 是侧棱 的中点；
（2）求二面角 的余弦值.
变式41．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）三棱柱 的底面 是
等边三角形， 的中点为 ， 底面 ， 与底面 所成的角为 ，点 在棱 上，且
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值.变式42．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）如图，三棱锥P-ABC所有棱
长都等，PO⊥平面ABC，垂足为O．点 ， 分别在平面PAC，平面PAB内，线段 ， 都经过线段
PO的中点D．
(1)证明： 平面ABC；
(2)求直线AP与平面 所成角的正弦值．
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥 中， 平面 ，平面 平
面 ，且 ， ， ，点 在平面 内的射影恰为 的重心 .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.变式44．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面 平面 ，菱形 平面 ， ， 为平面
内一动点.
(1)若平面 ， 间的距离为 ，设直线 ， 与平面 所成的角分别为 ， ， ，求动
点 在平面 内的射影 的一个轨迹方程；
(2)若点 在平面 内的射影为 ，证明：直线 与平面 所成的角与 的大小无关.
题型八：空间中的点不好求
例22．（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的
外心． ， .
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为 ，求二面角 的余弦值．
例23．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，， ， 分别为 ， 的中点，点 在 上，且 为三角形 的重心.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ，四棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
例24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体 中，点P在对
角线 上， ，平面 平面 ．
(1)求证：O，P， 三点共线；
(2)若四边形 是边长为2的菱形， ， ，求二面角 大小
的余弦值．
变式45．（2023·江西·校联考二模）正四棱锥 中， ，E为 中点，
，平面 平面 ，平面 .(1)证明：当平面 平面 时， 平面
(2)当 时，T为 表面上一动点（包括顶点），是否存在正数m，使得有且仅有5个点T
满足 ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中，点M是正方体的中
心，将四棱锥 绕直线 逆时针旋转 后，得到四棱锥 ．
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)是否存在 ，使得直线 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
变式47．（2023·全国·模拟预测）已知菱形ABCD中， ，四边形BDEF为正方形，满足
，连接AE，AF，CE，CF．(1)证明： ；
(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．
题型九：创新定义
例25．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积
公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一
圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图
b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图
（图中标出的各点 ， ， ， ， ， 均在原正方体的表面上）．
(1)由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线 为一个椭圆，求此椭圆的离心率；
(2)如图c，点 在椭圆弧 上，且三棱锥 的体积为 ，求二面角 的正弦值．
例26．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房
结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴
将 ， ， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面
开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个
顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是
多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 .
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 ；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.
例27．（2023·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间
的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在
该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率
均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个
面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．变式48．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，定义一种
运算： ，在平行六面体 中，
， ， .
(1)证明：平行六面体 是直四棱柱；
(2)计算 ，并求该平行六面体的体积，说明 的值与平行六面体
体积的关系.
变式49．（2023·全国·高三专题练习）（1）如图，对于任一给定的四面体 ，找出依次排列的四个
相互平行的平面 ， ， ， ，使得 ，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个
正四面体 的四个顶点满足： ，求该正四面体 的体积．
变式50．（2023·全国·高三专题练习）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α
相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一
半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，
直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M， ，
．(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， 关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
变式51．（2023·湖南·校联考模拟预测）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；
如图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ， ， ， ，二面角
的大小为 ，则 ．
（1）当 、 时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，四棱柱 中，平面 平面 ， ， ，
①求 的余弦值；
②在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由．
