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3.3.2 抛物线的简单几何性质（1） -B提高练
一、选择题
1．（2020·江苏省江浦高级中学月考）过点 的抛物线的标准方程是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】C
【解析】设焦点在 轴上的抛物线的标准方程为 ，将点 代入可得 ，故抛物线
的标准方程是 ；设焦点在 轴上的抛物线的标准方程为 ，将点 代入可得
，故抛物线的标准方程是 ．综上可知，过点 的抛物线的标准方程是
或 ．故选：C.
2．（2020·江苏省响水中学高二期中）已知抛物线 上一点 到其准线及对称轴的
距离分别为3和 ，则 （ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
【答案】B
【解析】因为抛物线 上一点 到其准线及对称轴的距离分别为3和 ，
所以 ，即 ，代入抛物线方程可得 ，整理得 ，解得 或 .故选：B.
3.（2020·广西南宁二中高二月考）已知 是抛物线 上的一点， 是抛物线
的焦点， 为坐标原点，若 ， ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过 向 轴作垂线，设垂足为 ，∵ ， ，∴ ， ，
，将 点的坐标代入 ，得 ，故 的方程为 .
4．（2020·河南洛阳高二月考）已知点 为抛物线 ： 上一点，且点 到 轴的
距离比它到焦点的距离小3，则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】由题得，抛物线的准线方程为 ，由抛物线的定义可知，点 到焦点的距离等于它
到准线的距离，所以点 到 轴的距离比它到准线 的距离小3，于是得 ，所以 ．
5．（多选题）（2020·全国高二课时练）点 到抛物线 的准线的距离为2，则a的值
可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】抛物线 的准线方程为 ，因为点 到抛物线 的准线的距离为2，所以 ，解得 或 ，故选AB．
6. （多选题）（2020·重庆八中高二期中）设 是抛物线 上两点， 是
坐标原点，若 ，下列结论正确的为（ ）
A． 为定值 B．直线 过抛物线 的焦点
C． 最小值为16 D． 到直线 的距离最大值为4
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，所以
，故A正确；对于B，设直线 ，代入 可得 ，
所以 ，即 ，所以直线 过点 ，而抛物线 的焦点为 ，
故B错误；对于C，因为 ，当 时，等号成
立，
又直线 过点 ，所以 ，故C正确；对于D，因为直线 过点
，所以 到直线 的距离最大值为4，故D正确.故选：ACD.
二、填空题
7．（2020·重庆市广益中学校高二期末）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上
一点 满足 ，则抛物线 的方程为__________.
【答案】
【解析】设抛物线的准线为 ，作 直线 于点 ，交 轴于 由抛物线的定义可得：，结合 可知： ，即 ，据此可知抛物
线的方程为： .
8.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2√2,则点A到抛物线的准线的距离为
_________.
3
【答案】
2
1
【解析】由抛物线y2=2x,其准线方程为x=- ,∵AB垂直于x轴,|AB|=2√2,A到y轴的距离为√2,假设
2
1 3
A在y轴上侧,即y=√2,代入抛物线y2=2x,求得x=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+ = .
2 2
1
9．（2020·青海高二期末）已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+ y2+3的最小值是 .
2
【答案】3
1
【解析】因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+ y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,
2
z最小,其值为3.
x2 y2
10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线 - =1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角
3 3
形,则p= .
【答案】6
【解析】抛物线的焦点坐标F( p),准线方程为y=-p.将y=-p代入x2 y2 =1得|x|=√ p2.要使
0, - 3+
2 2 2 3 3 4
√ p2
△ABF为等边三角形,则tan 3+ ,解得p2=36,p=6.
π |x| 4 √3
= = =
6 p p 3
三、解答题
11. （2020·全国高二课时练）设P是抛物线 上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线 的距离为 ，求 的最小值；
（2）若 ，求 的最小值.
【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为 ，准线方程为 .由已知及抛物线的定义，可知 ，
于是问题转化为求 的最小值.
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时， 取得最小值，
最小值为 ，即 的最小值为 .
（2）把点B的横坐标代入 中，得 ，因为 ，所以点B在抛物线的内部.
过B作 垂直准线于点Q，交抛物线于点 （如图所示）.
由抛物线的定义，可知 ，
则 ，
所以 的最小值为4.
12.（2020·重庆八中高二期中）在平面直角坐标系 中，平面上的动点 到点 的距离与
它到直线 的距离相等.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与点 的轨迹 交于两个不同点 、 .若点 ，且 ，
求直线 的方程.
【解析】（1）依据题意动点 到 的距离等于 到直线 的距离，
由抛物线定义知点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，所以点 的轨迹 的方程为 ；-
（2）由于过点 的直线 与点 的轨迹 交于两个不同点 、 ，
则直线 不与 轴重合，
设直线 的方程为 ，
设点 、 ，
联立 ，整理得 ，则 ，
由韦达定理得 ， ，
，则
，解得 .
所以，直线 的方程为 ，即 .
