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3.3.1 抛物线及其标准方程 -B提高练
一、选择题
1．（2020·海南琼山中学高二月考）抛物线的焦点为椭圆 的下焦点，顶点在椭圆中心，
则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·福建莆田一中高二期中）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一
个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆
的直径为 ，镜深 ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）
A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米
3.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B.若△ABF
为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )
1
A.y2= x B.y2=x C.y2=2x D.y2=4x
2
4．（2020·乌市一中高二月考）如图，正方体 的棱长为1，点M在棱 上，且，点P是平面 上的动点，且动点P到直线 的距离与点P到点M的距离的平方
差为1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
5．（多选题）（2020·山东高三期末）已知点 为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为（
）
A． B．
C． （ ） D． （ ）
6. （多选题）已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点
.若 为 的中点，则（ ）
A． 的准线方程为 B． 点的坐标为
C． D．三角形 的面积为 （ 为坐标原点）
二、填空题
7.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 _．
8.（2020·北京大兴区高二期末）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
且一个焦点在抛物线 的准线上，则该双曲线的方程为_ _．
9. （2020·江苏南京高二期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线
的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流
孔ABC所在抛物线的方程为_________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 ___________ .
10.（2020·山东泰安实验中学高二月考）以下四个命题:
①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线;
|a|
②抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是 ;
4
③直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x,y),B(x,y),则|AB|=x +x +p;
1 1 2 2 1 2
④正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则此正三角形的边长为
4√3p.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题
11. （2020·上海徐汇·高二期末）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如
图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为
抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
．观测点 实时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；
（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变
轨指令？
12.（2020·全国高二课时练）已知M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)过点F作相互垂直的两条直线l,l,曲线C与l 交于点P,P,与l 交于点Q,Q,
1 2 1 1 2 2 1 2
1 1 1
试证明: + = .
|P P | |Q Q | 4
1 2 1 2
