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１ ８４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
专题八 平面解析几何
8.1 直线和圆
学生用书P277
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Z LY CUZ LY C "Y #Z $ 0U"Y #Z $ 0
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学生用书P278
题型 一 对称问题 ì ï ｎ － ｂ ( Ａ )
ïｍ ａ· －Ｂ ＝－１，
1.中心对称 则有í － 解得 ｍ ｎ 即可得对称点 Ｂ 的
ï ａ ｍ ｂ ｎ ， ，
{ｘ ａ ｘ î ïＡ · ＋ ＋ Ｂ · ＋ ＋ Ｃ ＝０，
点Ｐ ｘ ｙ 关于点Ｏ ａ ｂ 的对称点Ｑ ｘ ｙ 满足 ０＝２ － ， ２ ２
（ ， ） （ ， ） （ ０， ０） ｙ ｂ ｙ． 坐标．
０＝２ －
2.轴对称 直线关于直线的对称可以转化为点关于直线的对称问题
（２）
设点Ａ ａ ｂ 关于直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 的对称点 来解决．
（１） （ ， ） ＋ ＋ ＝０（ ＋ ≠０）
为Ｂ ｍ ｎ
（ ， ），
专题八 平面解析几何 １ ８５
例1 （ 湖北八市联考， ）设直线ｌ ｘ ｙ 一束光线从 半径），化简得ａ２ ｂ２，因为ａ ，ｂ ，所以ａ ｂ，又圆心到原点
２０２４ ８ ： ＋ －１＝０， ＝ ＞０ ＞０ ＝
原点Ｏ出发沿射线ｙ ｋｘ ｘ 向直线ｌ射出 经ｌ反射后与ｘ 的距离为 ，即ａ２ ｂ２ ，解得ａ ｂ ，
＝ （ ≥０） ， ２ ＋ ＝２ ＝ ＝１
轴交于点 Ｍ 再次经 ｘ 轴反射后与 ｙ 轴交于点 Ｎ．若 Ｍ→Ｎ ａ ｂ
， ｜ ｜ ＝ 则圆心坐标为（ ， ），半径为｜ ３ － ｜ ３－１，故圆的方程为
１ １ ＝
１３ 则ｋ的值为 Ｂ ３＋１ ２
， （ ）
６ （ｘ ）２ （ｙ ）２ ２－ ３．
－１ ＋ －１ ＝
３ ２ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．２
２ ３ ２
解析 如图，设点Ｏ关于直线ｌ的对称点为Ａ，则Ａ（ ， ），设 题型 三 与圆的切线相关问题
１ １
点Ｎ关于ｘ轴的对称点为Ｎ′，则Ａ，Ｍ，Ｎ′三点共线．
有关圆的切线问题的解法
Z
1.求过圆上一点 ｘ ｙ 的圆的切线方程的方法
（ ０， ０）
" 83+( LU
/ 1 ED% E3( ,
2U*%!3
0 .# Y "
M 83+( LU
/
,3/Y YZ Z
由对称知 ＰＯＢ ＰＡＢ，又 ＰＭＢ ＰＡＢ °， D YB ZC S%1 YUZ
∠ ＝∠ ∠ ＋∠ ＝９０ " +3/ YB YB ZC e
ＰＯＢ ＰＭＢ °，
∴ ∠ ＋∠ ＝９０ ZC S
ＰＭＢ ＰＯＢ， ＰＭＢ ＰＯＢ，
∴ ｓｉｎ∠ ＝ｃｏｓ∠ ｃｏｓ∠ ＝ｓｉｎ∠ 2.求过圆外一点 ｘ ｙ 的圆的切线方程的方法 必有两条切
ＰＭＢ ＰＯＢ （ ０， ０） （
则ｋ ＡＰ＝ｔａｎ∠ ＡＭＢ ＝ ｓｉｎ∠ ＰＭＢ＝ ｃｏｓ∠ ＰＯＢ＝ １ ｋ ，则ＡＰ的方程为 线 ）
ｃｏｓ∠ ｓｉｎ∠
3( U@(LU
ｙ １ （ｘ ），即ｙ １ ｘ １ ， 3/ZZ L YY ULYZ Z
－１＝ ｋ －１ ＝ ｋ ＋１－ ｋ
LY U* 3+C.0
( ) ( )
则Ｍ（ ｋ， ），Ｎ′ ， １ ，则Ｎ ，１ ， " L+/U?/
１－ ０ ０ １－ ｋ ０ ｋ －１ L+U5 3/U
3( U ,3
( )
２
由
｜
Ｍ→Ｎ
｜＝
１３，得（
１－
ｋ）２
＋
１
ｋ －１ ＝
１３， +/Y Y
６ ３６
3( U@(LU
解得ｋ ２ 或ｋ ３ ， 3/ZZ L YY ULYZ Z
＝ ＝
３ ２ " L Y Y U Z + + / U / U * ? !
经检验，当ｋ ３ 时，不符合题意，舍去，故ｋ ２ ．故选
＝ ＝ Ｂ． L+U53/U
２ ３ 3( U ,3
+/Y Y
题型 二 圆的方程的求解
注意 在解决过一点求圆的切线问题时，需先判断此点为
ME/ /
圆上点还是圆外点，再根据相应方法解决问题．
7/ U
B C S% & '+ 例3 已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 直线ｌ在两坐标轴上的截距
2" ： ＋ ＋２ －２ ＝０，
/3U
相等且与圆Ｃ相切 则直线ｌ的方程为 ｙ ｘ或ｘ ｙ 或ｘ ｙ
?B C S% & ' E+/ ， ＝ ＋ －２＝０ ＋
．
＋２＝０
解析 圆 Ｃ 的标准方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ，则圆心为
D%3 ,+,3U ＋１ ＋ －１ ＝２
" + 3U Ｃ（ －１ ， １ ），半径为 ２ ，因为直线ｌ的横、纵截距相等，所以直线ｌ
U% 的斜率存在．
,3
当直线ｌ过原点时（易错：容易忽略直线ｌ过原点的情况），设
直线ｌ的方程为ｙ ｋｘ，ｋ ，
例2 （ 湖北武汉联考， ）与直线ｙ ３ｘ和直线ｙ ｘ ＝ ≠０
２０２４ １４ ＝ ＝ ３
３ 由直线ｌ与圆Ｃ相切，
都相切且圆心在第一象限 圆心到原点的距离为 的圆的方程 ｋ
， ２ 得｜－ －１｜ ，解得ｋ ，
ｋ２ ＝ ２ ＝１
为 （ｘ ）２ （ｙ ）２ ２－ ３ ． １＋
－１ ＋ －１ ＝ 所以切线方程为ｙ ｘ；
２ ＝
解析 设圆心坐标为（ａ，ｂ），ａ ，ｂ ， 当直线ｌ不过原点时，设直线ｌ的方程为ｘ ｙ ａ，由直线ｌ与圆
＞０ ＞０ ＋ ＝
ａ
因为所求圆与直线 ｙ ３ ｘ 和直线 ｙ ｘ 都相切，所以 Ｃ相切得｜－１＋１－ ｜ ，解得ａ ，所以切线方程为ｘ ｙ
＝ ＝ ３ ＝ ２ ＝±２ ＋ －２＝
３ １＋１
ａ ｂ ａ ｂ 或ｘ ｙ ．
｜ ３ －３ ｜ ｜ ３ － ｜（直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于 ０ ＋ ＋２＝０
＝ 综上，直线ｌ的方程为ｙ ｘ或ｘ ｙ 或ｘ ｙ ．
３＋９ ３＋１ ＝ ＋ －２＝０ ＋ ＋２＝０
１ ８６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
多想少算 例2 （ 湖南长沙一中月考七， ）已知动点Ｐ在圆Ｍ ｘ
２０２４ １３ ：（ －
例1 （ 湖北华大新高考联盟联考， ）已知实数ａ ｂ满足ａ２ ｍ ＋１） ２ ＋（ ｙ － ｍ ） ２ ＝１ 上 ， 动点Ｑ在曲线ｙ ＝ｌｎ ｘ上．若对任意的ｍ
２０２４ ７ ， ＋
ｂ２ －｜ ａ ｜－｜ ｂ ｜＝０， 则 ｜ ａ ＋ ｂ －３｜ 的最小值与最大值之和为 （ Ｃ ） ∈ Ｒ ，｜ ＰＱ ｜≥ ｎ恒成立 ， 则ｎ的最大值是 ２－１ ．
解析 由题意可知 ＰＱ ＱＭ ｒ ＱＭ ，当且仅当Ｐ，
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ｜ ｜≥｜ ｜－ ＝｜ ｜－１
解析 易知点（ａ，ｂ）在曲线Ｃ：ｘ２
＋
ｙ２
－｜
ｘ
｜－｜
ｙ
｜＝０
上，当ｘ
≥０
Ｑ，Ｍ三点共线时，等号成立，所以求
｜
ＰＱ
｜
的最小值即为求
｜
ＱＭ
｜
( ) ( ) 的最小值，因为 Ｍ的圆心Ｍ（ｍ ，ｍ）在直线ｙ ｘ 上，动点
且ｙ 时，曲线可化为ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ，即 ｘ １ ２ ｙ １ ２ ☉ －１ ＝ ＋１
≥０ ＋ － － ＝０ － ＋ － ＝ Ｑ到直线ｙ ｘ 的距离即为 ＱＭ 的最小值，当动点Ｑ在如图
２ ２ ＝ ＋１ ｜ ｜
( ) 所示位置时动点Ｑ到直线ｙ ｘ 的距离最小．
１ ，是以 １ ，１ 为圆心， ２为半径的圆在第一象限及ｘ，ｙ轴 ＝ ＋１
Z Z Y
２ ２ ２ ２
的正半轴上的部分，根据对称性可知曲线Ｃ：ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ Z Y
＋ －｜ ｜－｜ ｜＝０
ａ ｂ
既关于原点对称，又关于ｘ轴，ｙ轴对称，而ｄ ｜ ＋ －３｜表示曲
＝ Z MOY
２
线Ｃ上的点（ａ，ｂ）到直线ｌ：ｘ ｙ 的距离，如图所示， 2
＋ －３＝０ 0 Y
Z
M
" 对ｙ ｘ求导，得ｙ′ １ ，
Y ＝ｌｎ ＝ ｘ
0
# 由 １ ，得ｘ ，
$ ｘ ＝１ ＝１
则Ｑ（ ， ），则 ＱＭ ，
当点（ａ，ｂ）位于Ａ点时，距离最小，当点（ａ，ｂ）位于Ｂ点时，距离
１ ０ ｜ ｜ｍｉｎ＝ ２
因此 ＰＱ ，
｜ ｜ｍｉｎ＝ ２－１
最大，易求得Ａ点的坐标为（ ， ），ｄ ｜１＋１－３｜ ２， 故ｎ的最大值是 ．
１ １ ｍｉｎ＝ ＝ ２－１
２ ２ 风向解读
则 ａ ｂ ，易求得Ｂ点的坐标为（ ， ），
｜ ＋ －３｜ｍｉｎ＝１ －１ －１
解本题的关键点是解题过程中需要多思考，将问题进行转
ｄ ｜－１－１－３｜ ５ ２，则 ａ ｂ ， 化，从而减少计算量，提高解题速度．本题如果直接运用两点
ｍａｘ＝ ＝ ｜ ＋ －３｜ｍａｘ＝５
２ ２ 间距离公式建立函数关系式求解，会因为变量过多无法求
故 ａ ｂ 的最小值与最大值之和为 ．故选
｜ ＋ －３｜ １＋５＝６ Ｃ． 解，观察题目给出的圆和曲线特点，通过数形结合确定 Ｍ
风向解读 ☉
的圆心Ｍ（ｍ ，ｍ）在直线ｙ ｘ 上，再进一步分析出过曲
本题本质上考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公 －１ ＝ ＋１
线ｙ ｘ上动点Ｑ的切线斜率为 时 ＰＱ 最小，最后结合
式，但是题目设置上需要学生对题干条件进行转化后，才能 ＝ｌｎ １ ｜ ｜
点到直线的距离公式求出 ＰＱ 的最小值，从而得出 ｎ 的最
利用已有知识解决，本题落实“通过材料信息的丰富性、试题 ｜ ｜
大值．
要素的灵活性”的高考命题改革要求，引导学生减少死记硬
背和机械化刷题．
学生用书P110
３．（
２０２３
全国乙文，
１１
，
５
分，中）已知实数ｘ
，
ｙ满足ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
－２
ｙ
则ｘ ｙ的最大值是 Ｃ
创新知识交汇 （ 全国甲理， ， 分，难）已知ｂ是ａ ｃ的 －４＝０， － （ ）
２０２４ １２ ５ ，
等差中项 直线ａｘ ｂｙ ｃ 与圆 ｘ２ ｙ２ ｙ 交于 Ａ Ｂ 两 ３ ２
， ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋４ －１＝０ ， Ａ．１＋ Ｂ．４ Ｃ．１＋３ ２ Ｄ．７
点 则 ＡＢ 的最小值为 Ｃ ２
， ｜ ｜ （ ） ４．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）已知点Ｐ在圆 ｘ ２
２０２１ Ⅰ １１ ５ （ －５） ＋
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．２ ５ ｙ ２ 上 点Ａ Ｂ 则 ＡＣＤ
（ －５） ＝１６ ， （４，０）， （０，２）， （ ）
考点 1 直线和圆的方程 学生用书P110 点Ｐ到直线ＡＢ的距离小于
Ａ． １０
点Ｐ到直线ＡＢ的距离大于
１．（ 北京， ， 分，易）若直线 ｘ ｙ 是圆 ｘ ａ ２ ｙ２ Ｂ． ２
２０２２ ３ ４ ２ ＋ －１＝０ （ － ） ＋ ＝１
当 ＰＢＡ最小时 ＰＢ
的一条对称轴 则ａ Ａ Ｃ． ∠ ，｜ ｜＝３ ２
， ＝ （ ）
当 ＰＢＡ最大时 ＰＢ
１ １ Ｄ． ∠ ，｜ ｜＝３ ２
Ａ． Ｂ．－ Ｃ．１ Ｄ．－１ ５．（ 全国甲文， ， 分，易）设点Ｍ在直线 ｘ ｙ 上
２ ２ ２０２２ １４ ５ ２ ＋ －１＝０ ，
２．（
２０２０
课标
Ⅲ
文，
８
，
５
分，中）点
（０，－１）
到直线ｙ
＝
ｋ
（
ｘ
＋１）
距离 点
（３，０）
和
（０，１）
均在
☉
Ｍ上
，
则
☉
Ｍ的方程为 （ｘ
－１
）２
＋
（ｙ
＋
的最大值为
（
Ｂ
） １
）２
＝５
．
６．（ 全国乙，文 ，理 ， 分，中）过四点
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２ ２０２２ １５ １４ ５ （０，０），（４，０），
专题八 平面解析几何 １ ８７
中的三点的一个圆的方程为 （ｘ ）２ （ｙ ）２ ９．（ 新课标 ， ， 分，易）已知直线ｘ ｍｙ 与 Ｃ ｘ
（－１，１），（４，２） －２ ＋ －３ ２０２３ Ⅱ １５ ５ － ＋１＝０ ☉ ：（
( ) ( )
２ ２
或（ｘ ）２ （ｙ ）２ 或 ｘ ４ ｙ ７ ６５或 ２ ｙ２ 交于Ａ Ｂ两点 写出满足 ＡＢＣ的面积为 ８ 的
＝１３ －２ ＋ －１ ＝５ － ＋ － ＝ －１） ＋ ＝４ ， ， “△ ”
３ ３ ９ ５
( )
ｘ ８ ２ （ｙ ）２ １６９（写出一个即可） ． ｍ的一个值 或 或 １ 或 １ （写出一个即可） ．
－ ＋ －１ ＝ ２ －２ －
５ ２５ ２ ２
１０．（ 新高考 ， ， 分，中）设点Ａ Ｂ ａ 若直
考点 2 直线与圆、圆与圆的位置关系 ２０２２ Ⅱ １５ ５ （－２，３）， （０， ），
线ＡＢ关于ｙ ａ对称的直线与圆 ｘ ２ ｙ ２ 有公共
＝ （ ＋３） ＋（ ＋２） ＝１
学生用书P110 [ ]
点 则ａ的取值范围是 １ ，３ ．
，
１．（ 新课标 ， ， 分，易）过点 与圆ｘ２ ｙ２ ｘ ３ ２
相 ２ 切 ０２ 的 ３ 两条直 Ⅰ 线的 ６ 夹 ５ 角为α 则 （０ α ，－２） ＋ －４ － Ｂ １＝０ １１．（ ２０２２ 新高考 Ⅰ ， １４ ， ５ 分，中）写出与圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ 和 （ ｘ －３） ２ ＋
， ｓｉｎ ＝ （ ） ｙ ２ 都相切的一条直线的方程 ｘ （或 ｘ ｙ
（ －４） ＝１６ ＝－１ ３ ＋４ －５＝
１５ 或 ｘ ｙ ） ．
Ａ．１ Ｂ． ０ ７ －２４ －２５＝０
４ １２．（ 全国甲，文 ，理 ， 分，难）抛物线Ｃ的顶点为坐
２０２１ ２１ ２０ １２
１０ ６ 标原点Ｏ 焦点在ｘ轴上 直线ｌ ｘ 交Ｃ于Ｐ Ｑ两点 且
Ｃ． Ｄ． ， ， ： ＝１ ， ，
４ ４
ＯＰ ＯＱ．已知点Ｍ 且 Ｍ与ｌ相切．
２．（ 课标 文， ， 分，中）已知圆ｘ２ ｙ２ ｘ 过点 ⊥ （２，０）， ☉
２０２０ Ⅰ ６ ５ ＋ －６ ＝０， （１，２） 求Ｃ Ｍ的方程
的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 Ｂ （１） ，☉ ；
（ ） 设Ａ Ａ Ａ 是Ｃ上的三个点 直线Ａ Ａ Ａ Ａ 均与 Ｍ
（２） １， ２， ３ ， １ ２， １ ３ ☉
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 相切．判断直线Ａ Ａ 与 Ｍ的位置关系 并说明理由．
ｘ２ ｙ２ ２ ３ ☉ ，
３．（ ２０２３ 全国甲，文 ９ ，理 ８ ， ５ 分，中）已知双曲线Ｃ ：ａ２ －ｂ２ ＝１ 解析 （１） 由题意可设抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０），
则Ｐ Ｑ的坐标为 ｐ ＯＰ ＯＱ
ａ ｂ 的离心率为 Ｃ的一条渐近线与圆 ｘ ２ ｙ ， （１，± ２ ），∵ ⊥ ，
（ ＞０， ＞０） ５， （ －２） ＋（ －
３）
２
＝１
交于Ａ
，
Ｂ两点
，
则
｜
ＡＢ
｜＝ （
Ｄ
） ∴
Ｏ→Ｐ
·
Ｏ→Ｑ
＝１－２
ｐ
＝０，∴
ｐ
＝
１
，
２
５ ２ ５ ３ ５ ４ ５ 抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ∴ ＝
５ ５ ５ ５ Ｍ的圆心为 Ｍ与直线ｘ 相切 Ｍ的半
４．（
２０２０
课标
Ⅲ
理，
１０
，
５
分，中）若直线ｌ与曲线ｙ
＝
ｘ和圆ｘ２
＋
∵
径
☉
为 Ｍ的
（
方
２，
程
０）
为
，☉
ｘ ２ ｙ２ ．
＝１ ，∴ ☉
１，∴ ☉ （ －２） ＋ ＝１
ｙ２
＝
１ 都相切
，
则ｌ的方程为
（
Ｄ
） （２）
直线Ａ
２
Ａ
３
与
☉
Ｍ相切．理由如下
：
５ 设Ａ ｙ２ ｙ Ａ ｙ２ ｙ Ａ ｙ２ ｙ 直线Ａ Ａ Ａ Ａ 均与
１（ ０， ０）， ２（ １， １）， ３（ ２， ２），∵ １ ２， １ ３
ｙ ｘ ｙ ｘ １ Ｍ相切 ｙ ｙ ｙ
Ａ． ＝２ ＋１ Ｂ． ＝２ ＋ ☉ ，∴ ０≠±１， １≠±１， ２≠±１，
２
ｙ ｙ
由Ａ Ａ 的坐标可得直线 Ａ Ａ 的方程为 ｙ ｙ ０－ １ ｘ
Ｃ． ｙ ＝ ２ １ ｘ ＋１ Ｄ． ｙ ＝ ２ １ ｘ ＋ ２ １ １， ２ １ ２ － ０＝ｙ２ ０－ ｙ２ １ （ －
５．（ ２０２０ 课标 Ⅰ 理， １１ ， ５ 分，中）已知 ☉ Ｍ ： ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ｘ －２ ｙ －２＝０， ｙ２ ０）， 整理 ， 得ｘ －（ ｙ ０＋ ｙ １） ｙ ＋ ｙ ０ ｙ １＝０， 由于直线Ａ １ Ａ ２ 与 ☉ Ｍ相
直线ｌ ：２ ｘ ＋ ｙ ＋２＝０， Ｐ为ｌ上的动点．过点Ｐ作 ☉ Ｍ的切线ＰＡ ， 切 Ｍ 到直线 Ａ Ａ 的距离 ｄ ｜２＋ ｙ ０ ｙ １｜ 整理得
ＰＢ 切点为Ａ Ｂ 当 ＰＭ ＡＢ 最小时 直线ＡＢ的方程为 ，∴ １ ２ ＝ ｙ ｙ ２ ＝１，
， ， ， ｜ ｜·｜ ｜ ， １＋（ ０＋ １）
Ｄ ｙ２ ｙ２ ｙ ｙ ｙ２
（ ） （ ０－１） １＋２ ０ １＋３－ ０＝０，①
ｘ ｙ ｘ ｙ 同理可得 ｙ２ ｙ２ ｙ ｙ ｙ２ ．
Ａ．２ － －１＝０ Ｂ．２ ＋ －１＝０ ，（ ０－１） ２＋２ ０ ２＋３－ ０＝０②
ｘ ｙ ｘ ｙ 观察 得ｙ ｙ 是关于ｙ的一元二次方程 ｙ２ ｙ２ ｙ ｙ
Ｃ．２ － ＋１＝０ Ｄ．２ ＋ ＋１＝０ ①②， １， ２ （ ０－１） ＋２ ０
６．（ 全国乙理， ， 分，难）已知 Ｏ的半径为 直线 ＰＡ ì ｙ
２０２３ １２ ５ ☉ １， ï ｙ ｙ ２ ０
与 Ｏ相切于点Ａ 直线ＰＢ与 Ｏ交于Ｂ Ｃ两点 Ｄ为ＢＣ的 ï １＋ ２＝－ｙ２ ，
☉ ， ☉ ， ， ｙ２ 的两根 í ０－１
中点．若
｜
ＰＯ
｜＝ ２，
则→ＰＡ
·
Ｐ→Ｄ的最大值为
（
Ａ
）
＋３－ ０＝０ ，∴ ï
ïｙ ｙ ３－
ｙ２
０．
（∗）
î １ ２＝ｙ２
１ ２ １
０－１
Ａ． ＋ Ｂ． ＋ ２ 同理 得直线Ａ Ａ 的方程为ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ
２ ２ ２ ， ２ ３ －（ １＋ ２） ＋ １ ２＝０，
ｙ ｙ
７．（ Ｃ 多 ．１＋ 选 ２ ）（ ２０２１ 新高考 Ⅱ ， １１ ， ５ 分， Ｄ 中 ．２ ） ＋ 已知 ２ 直线ｌ ： ａｘ ＋ ｂｙ － ｒ２ ＝０ 则点Ｍ （２，０） 到直线Ａ ２ Ａ ３ 的距离ｄ′ ＝ １ ｜ ＋ ２ （ ＋ ｙ １ １ ＋ ２ ｙ ｜ ２） ２ ， 把 （∗）
与圆Ｃ ： ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ ， 点Ａ （ ａ ， ｂ ）， 则下列说法正确的是 （ ＡＢＤ ） ３－ ｙ２ ０
Ａ． 若点Ａ在圆Ｃ上 ， 则直线ｌ与圆Ｃ相切 代 入 得 ｄ′
２＋ｙ２
０－１ ｜２（
ｙ２
０－１）＋３－
ｙ２
０｜
， ＝ ＝ ＝
若点Ａ在圆Ｃ内 则直线ｌ与圆Ｃ相离 æ ｙ ö２ ｙ２ ２ ｙ ２
Ｂ． ， ç ２ ０ ÷ （ ０－１） ＋（－２ ０）
Ｃ．
若点Ａ在圆Ｃ外
，
则直线ｌ与圆Ｃ相离
１＋è－ｙ２
０－１
ø
若点Ａ在直线ｌ上 则直线ｌ与圆Ｃ相切 ｙ２ ｙ２
Ｄ． ， ｜ ０＋１｜ ｜ ０＋１｜ ．
８．（ ２０２２ 天津， １２ ， ５ 分，易）若直线 ｘ － ｙ ＋ ｍ ＝０（ ｍ ＞０） 被圆 （ ｘ － ｙ４ ０＋２ ｙ２ ０＋１ ＝ ｜ ｙ２ ０＋１｜ ＝１
２ ｙ ２ 截得的弦长等于ｍ 则ｍ的值为 ． 直线Ａ Ａ 与 Ｍ相切．
１） ＋（ －１） ＝３ ， ２ ∴ ２ ３ ☉
１ ８８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
学生用书P112 过Ａ点作圆Ｃ的切线 则切线长为
Ｄ． ， １５
１．（ ２０２４ 辽宁大连三校一模， ４ ）过点 （－１，１） 和 （１，３）， 且圆心在 １０．（ ２０２４ 浙江杭州二模， １２ ）写出与圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ 相切且方向向
ｘ轴上的圆的方程为 Ｄ 量为 的一条直线的方程 ｙ ｘ 或ｙ ｘ （写
（ ） （１， ３） ＝ ３ ＋２ ＝ ３ －２
ｘ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２ 出一个即可） ．
Ａ． ＋ ＝４ Ｂ．（ －２） ＋ ＝８
Ｃ．（ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝５ Ｄ．（ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝１０ １１．（ ２０２４ 山东烟台、德州高考诊断性考试， １２ ）若圆 （ ｘ － ｍ ） ２ ＋（ ｙ
２．（ ２０２４ 山东泰安一轮检测， ３ ）在平面内 ， Ｍ ， Ｎ 是两个定点 ， Ｐ －１） ２ ＝１ 关于直线ｙ ＝ ｘ对称的圆恰好过点 （０，４）， 则实数ｍ
是动点 若Ｍ→Ｐ Ｎ→Ｐ 则点Ｐ的轨迹为 Ｄ 的值为 ．
， · ＝４， （ ） ４
椭圆 抛物线 １２．（ 东北三省四市质量检测， ）已知 Ａ Ｂ
Ａ． Ｂ． ２０２４ １３ （－１，０）， （－４，
直线 圆 ＰＢ ＰＡ 若平面内满足到直线ｌ ｘ ｙ ｍ 的距
Ｃ． Ｄ． ０），｜ ｜＝２｜ ｜， ：３ ＋４ ＋ ＝０
３．（ 广东一模， ）过Ａ Ｂ Ｃ 三点的圆与 离为 的点Ｐ有且只有 个 则实数ｍ ．
２０２４ ４ （－１，０）， （０，３）， （９，０） １ ３ ， ＝ ±５
ｙ轴交于Ｍ Ｎ两点 则 ＭＮ Ｄ
， ， ｜ ｜＝ （ ） 学生用书P112
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．６ １．（ 山东聊城一模， ）已知Ｐ是圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 外的动点 过
４．（ 广东广州天河二模， ）若直线ａｘ ｂｙ 与圆Ｏ ｘ２ ｙ２ ２０２４ ８ ： ＋ ＝１ ，
２０２４ ６ ＋ ＝１ ： ＋ ＝
点Ｐ作圆Ｃ的两条切线 设两切点分别为Ａ Ｂ 当→ＰＡ Ｐ→Ｂ的
相切 则圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ １ 与圆Ｏ Ｂ ， ， ， ·
１ ， （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ） 值最小时 点Ｐ到圆心Ｃ的距离为 Ａ
４ ， （ ）
外切 相交
Ａ． Ｂ． ４ ３
Ａ． ２ Ｂ． ２ Ｃ． ２ Ｄ．２
内切 没有公共点
Ｃ． Ｄ． ２．（ 辽宁葫芦岛一模， ）已知Ｑ为圆Ａ ｘ ２ ｙ２ 上动
２０２４ ８ ：（ －１） ＋ ＝１
５．（ 云南昆明一中、宁夏银川一中联考， ）过点Ｐ 作
２０２４ ５ （－２，０） 点 直线ｌ ｍｘ ｎｙ ｍ ｎ 和直线ｌ ｎｘ ｍｙ ｍ ｎ ｍ
圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ 的两条切线 切点分别为Ａ Ｂ 则四边形 ， １： － ＋３ ＋２ ＝０ ２： ＋ －６ ＋ ＝０（ ，
： ＋ －４ －４＝０ ， ， ， ｎ Ｒ ｍ２ ｎ２ 的交点为Ｐ 则 ＰＱ 的最大值是 Ａ
ＰＡＣＢ的面积为 Ｃ ∈ ， ＋ ≠０） ， ｜ ｜ （ ）
（ ）
Ａ．６＋ ５ Ｂ．４－ ５ Ｃ．５＋ ５ Ｄ．１＋ ５
Ａ．４ Ｂ．４ ２ ３．（多选）（ 广东汕头一模， ）如图 ＯＡ是连接河岸ＡＢ与
２０２４ １１ ，
Ｃ．８ Ｄ．８ ２ ＯＣ的一座古桥 因保护古迹与发展的需要 现规划建一座新
６．（ 贵州六校联盟联考（三）， ）过点Ａ 的直线ｌ与 ， ，
２０２４ ７ （－６，－８） 桥ＢＣ 同时设立一个圆形保护区．规划要求
圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 相交于不同的两点Ｍ Ｎ 则线段ＭＮ的中点Ｐ ， ：
： ＋ ＝９ ， ，
的轨迹是 Ｄ Z
（ ） #
一个半径为 的圆的一部分
Ａ． １０ "
一个焦距为 的椭圆的一部分 N .
Ｂ． 一条过原点的 １０ 线段 0 N $ Y
Ｃ．
一个半径为 的圆的一部分
Ｄ． ５
７．（ 山东济南一中等校阶段性检测， ）已知Ｐ是圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 新桥ＢＣ与河岸ＡＢ垂直
２０２４ ５ ： ＋ ① ；
＝９
上的动点
，
点Ｑ满足Ｐ→Ｑ
＝（３，－４），
点Ａ
（１，１），
则
｜
ＡＱ
｜
的
②
保护区的边界为一个圆
，
该圆与ＢＣ相切
，
且圆心Ｍ在线段
最大值为 Ｃ
ＯＡ上
；
（ ）
古桥两端Ｏ和Ａ到该圆上任意一点的距离均不少于 ．
③ ８０ ｍ
Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ． ２９＋３ Ｄ． ３０＋３
经测量 点Ａ Ｃ分别位于点Ｏ正北方向 正东方向
８．（多选）（ 黑龙江齐齐哈尔一模， ）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ ， 、 ６０ｍ、 １７０ｍ
２０２４ ９ １：（ －３） ＋
Ｃ ｘ２ ｙ ａ ２ 则下列结论正确的有 ＢＣＤ 处 ＢＣＯ ４ ．根据图中所给的平面直角坐标系 下列结
＝１， ２： ＋（ － ） ＝１６， （ ） ，ｔａｎ∠ ＝ ，
若圆Ｃ 和圆Ｃ 外离 则ａ ３
Ａ． １ ２ ， ＞４ 论中 正确的是 ＡＣ
若圆Ｃ 和圆Ｃ 外切 则ａ ， （ ）
Ｂ． １ ２ ， ＝±４ 新桥ＢＣ的长为
当ａ 时 圆Ｃ 和圆Ｃ 有且仅有一条公切线 Ａ． １５０ ｍ
Ｃ． ＝０ ， １ ２ 圆心Ｍ可以在点Ａ处
当ａ 时 圆Ｃ 和圆Ｃ 相交 Ｂ．
Ｄ． ＝－２ ， １ ２ 圆心Ｍ到点Ｏ的距离至多为
Ｃ． ３５ ｍ
９．（多选）（ 湖南邵阳第一次联考， ）设点Ｐ ｘ ｙ 为圆Ｃ ｘ２
２０２４ ９ （ ， ） ： 当ＯＭ长为 时 圆形保护区的面积最大
Ｄ． ２０ ｍ ，
＋
ｙ２
＝１
上一点
，
已知点Ａ
（４，０），
Ｂ
（５，０），
则下列结论正确的有
４．（ 大湾区二模， ）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 圆Ｃ经过
２０２４ １４ ，
ＡＤ
（ ） 点Ｏ 和点Ａ 与ｘ轴正半轴相交于点Ｂ．若在第一
（０，０） （０，４），
ｘ ｙ的最大值为
Ａ． ＋ ２
象限内的圆弧ＡＢ上存在点Ｐ 使 ＯＰＡ ２ ５ 则圆Ｃ的
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ的最小值为 ， ｃｏｓ∠ ＝ ，
Ｂ． ＋ －４ －４ ８ ５
存在点Ｐ 使得 ＰＢ ＰＡ 标准方程为 （ｘ ）２ （ｙ ）２ ．
Ｃ． ， ｜ ｜＝ ２｜ ｜ －４ ＋ －２ ＝２０
专题八 平面解析几何 １ ８９
５．（ 湖北黄冈中学四模， ）已知圆Ｃ ｘ２ ｙ ２ 和圆 ２． 新定义理解 （ 江苏苏锡常镇一调， ） 莱莫恩
２０２４ １３ ： ＋（ －２） ＝１ ２０２４ ７
Ｄ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ Ｍ Ｎ分别是圆Ｃ Ｄ上的动点 Ｐ为ｘ 定理指出 过 ＡＢＣ 的三个顶点 Ａ Ｂ Ｃ 作它的外
： ＋ －６ －１０ ＋３０＝０， 、 、 ， （Ｌｅｍｏｉｎｅ） ： △ ， ，
轴上的动点 则 ＰＭ ＰＮ 的最小值是 ． 接圆的切线 分别和ＢＣ ＣＡ ＡＢ所在直线交于点Ｐ Ｑ Ｒ 则
， ｜ ｜＋｜ ｜ ５８－３ ， ， ， ， ， ，
６．（ 安徽师大附中二模， ）若实数ｘ ｙ满足ｘ２ ｙ２ 则 Ｐ Ｑ Ｒ三点在同一条直线上 这条直线被称为三角形的
２０２４ １４ ， ＋ ＝２５， ， ， ， Ｌｅｍ⁃
ｘ ｙ ｘ ｙ的最大值为 ． 线．在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若三角形的三个顶点坐标
５０＋８ ＋６ ＋ ５０＋８ －６ ６ １０ ｏｉｎｅ ，
分别为Ａ Ｂ Ｃ 则该三角形的 线
（０，１）， （２，０）， （０，－４）， Ｌｅｍｏｉｎｅ
学生用书P113
的方程为 Ｂ
（ ）
１． 多想少算 （ 黑龙江双鸭山第三十一中学等校二模， ） ｘ ｙ ｘ ｙ
２０２４ ６ Ａ．２ －３ －２＝０ Ｂ．２ ＋３ －８＝０
已知点Ｐ是圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 上的动点 点Ａ ｘ ｙ ｘ ｙ
：（ －２） ＋（ － ３） ＝１ ， （１，０）， Ｃ．３ ＋２ －２２＝０ Ｄ．２ －３ －３２＝０
Ｂ 则当 ＰＡＢ最大时 ＰＡＢ Ｂ ３． 概念深度理解 （ 浙江丽水、湖州、衢州教学质量检测，
（０， ３）， ∠ ，ｓｉｎ∠ ＝ （ ） ２０２４
）已知圆Ｃ ｍｘ２ ｍ ｙ２ ａｘ ａ 若对于任意的ａ
３ １３ ： ＋（２ －１） －２ － －２＝０， ∈
Ａ． Ｂ．１ Ｒ 存在一条直线被圆Ｃ所截得的弦长为定值ｎ 则ｍ ｎ
２ ， ， ＋ ＝ ７＋
．
３ ６＋ ２ １
Ｃ． Ｄ．
４ ４
