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专题八 平面解析几何 １ ９７
8.3 双曲线
学生用书P284
3+ L%' '+C.+40
1 2
3+ 2B 2B ]''] +%+DE
/ 1 2
Y2 Z2
P55 &% YDU 1 B C
B2 C2
3+ /
Z2 Y2
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B2 C2
3+ &% YD &% ZD
B Z Z
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P55 # 2
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1 2 1 2 1 2 1 2
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#D3 Z d C Y Z d B Y
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D C2
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B,C,D
D2 B2 C2
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1 2 1min 2min
2C2
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B
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4
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B
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(7)-%. Y Z 3 B UC % D%. 3,+3
0 0 B2 C2
YY ZZ
/00
B2 C2
学生用书P285
题型 一 双曲线定义的应用及双曲线标准方程的 待定系数法 先确定焦点是在ｘ轴上还是在ｙ轴上 设出
（２） ： ，
标准方程 再由条件确定ａ２ ｂ２ 的值 即 先定型 再定量 如
求法 ， ， ， “ ， ”，
ｘ２ ｙ２
1.应用双曲线定义解题的主要方向：一是判断平面内与两定点 果焦点位置不确定 那么可将双曲线方程设为 λ λ
， ｍ２ －ｎ２ ＝ （ ≠
有关的动点的轨迹是不是双曲线 二是利用定义求焦点三角
； 再根据条件求λ的值．
０），
形的周长 面积等．
， ｘ２ ｙ２
例1 已知Ｆ Ｆ 分别为双曲线Ｃ ａ ｂ 的左
2.求双曲线标准方程的方法 １， ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、
定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线 由双曲线
右焦点 点Ａ在Ｃ上 若 Ｆ Ａ Ｆ Ａ ＡＦ Ｆ ° ＡＦ Ｆ
（１） ： ， ， ， ｜ １ ｜＝２｜ ２ ｜，∠ １ ２＝３０ ，△ １ ２
定义 确定 ａ ｂ 得出ａ２ ｂ２ 写出双曲线方程．
， ２ ，２ ， ， ， 的面积为 则Ｃ的方程为 Ｂ
６ ３， （ ）
１ ９８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
９ ６ ３ ６
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
６ ９ ６ ３
解析 因为 Ｆ Ａ Ｆ Ａ ，
｜ １ ｜＝２｜ ２ ｜
所以 Ｆ Ａ Ｆ Ａ ．
｜ １ ｜＞｜ ２ ｜
又因为点Ａ在Ｃ上， ì ïｙ ｂ ｘ，
ï ＝ ａ
所以 Ｆ Ａ Ｆ Ａ ａ， ï
｜ １ ｜－｜ ２ ｜＝２ 不妨设点Ｂ在第一象限，由íｘ２ ｙ２ ｃ２，
即 Ｆ Ａ Ｆ Ａ ａ， ＋ ＝
所以
２｜
Ｆ
２
Ａ
｜－｜
ａ
２
，
｜
Ｆ
＝２
Ａ ａ．
ï
ï ï
ａ２
＋
ｂ２
＝
ｃ２，
｜ ２ ｜＝２ ｜ １ ｜＝４ îｘ
ＡＦ ＡＦ ＞０
在 ＡＦ Ｆ 中，由正弦定理得 ｜ ２｜ ｜ １｜ ， 得点Ｂ（ａ，ｂ），
△ １ ２ ＡＦ Ｆ ＝ ＡＦ Ｆ
ｓｉｎ∠ １ ２ ｓｉｎ∠ ２ １
ＡＦ ° Ｆ→Ａ →ＡＢ， 点Ａ为线段Ｆ Ｂ的中点，
所以 ｓｉｎ∠ ＡＦ ２ Ｆ １＝ ｜ １ Ａ ｜ Ｆ ｓｉｎ３０ ＝１ ， ∵ １ (ａ ＝ ｃ ｂ ∴ ) １
｜ ２｜ Ａ － ， ，
∴
又 ° ＡＦ Ｆ °， ２ ２
０ ＜∠ ２ １＜１８０ ｂ ｂ ( ｂ ) ａ ｃ
所以 ＡＦ Ｆ °， 将其代入ｙ ｘ得 － ．
∠ ２ １＝９０ ＝－ ａ ＝ － ａ ×
故 Ｆ ＡＦ °， ２ ２
∠ １ ２＝６０ ｃ
解得ｃ ａ，故ｅ ．
则Ｓ
△ ＡＦ １ Ｆ ２ ＝
１
｜
ＡＦ
１｜｜
ＡＦ
２｜ｓｉｎ６０
°
＝２ ３
ａ２
＝６ ３
，所以ａ２
＝３
， ＝２ ＝ ａ ＝２
２ 解法二 如图，由Ｆ→Ａ →ＡＢ知Ａ为线段Ｆ Ｂ的中点，
则 Ｆ Ｆ ２ （ ｃ）２ ＡＦ ２ ＡＦ ２ ａ２ ａ２ ａ２ ， １ ＝ １
｜ １ ２｜ ＝ ２ ＝｜ １｜ －｜ ２｜ ＝１６ －４ ＝１２ ＝３６
所以ｃ２ ，
＝９
所以ｂ２ ｃ２ ａ２ ，
＝ － ＝６
ｘ２ ｙ２
所以Ｃ的方程为 ．
－ ＝１ Ｏ为线段Ｆ Ｆ 的中点， ＯＡ Ｆ Ｂ，
３ ６ ∵ １ ２ ∴ ∥ ２
故选
Ｂ． Ｆ→Ｂ·Ｆ→Ｂ ，
∵ １ ２ ＝０
Ｆ Ｂ Ｆ Ｂ，
题型 二 双曲线的离心率或取值范围 ∴ １ ⊥ ２
ＯＡ Ｆ Ａ且 Ｆ ＯＡ ＯＦ Ｂ，
求双曲线的离心率或其范围的方法 ∴ ⊥ １ ∠ １ ＝∠ ２
： ＢＯＦ ＡＯＦ ， ＢＯＦ ＯＦ Ｂ，
1.求ａ及ｂ
（
或ｃ
）
的值
，
由 ｅ
＝ ａ
ｃ
或 ｅ２
＝ ａ
ｃ２
２ ＝
ａ２
ａ
＋
２
ｂ２
＝１＋ａ
ｂ２
２
求离
∵
又
∠
易知 ｜ Ｏ
２
Ｂ
＝
｜
∠
＝｜ ＯＦ
１
２｜
∴
＝
∠
ｃ， ∴ △
２
Ｏ
＝
Ｂ
∠
Ｆ ２ 为
２
正三角形，可知 ａ
ｂ
＝ｔａｎ
心率．
ｃ ｂ２
ｂ ° ， ｅ ．
注意 α ，当已知双曲线渐近线的倾斜角α时可 ６０ ＝ ３ ∴ ＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝２
ａ ＝｜ｔａｎ ｜
ｘ２ ｙ２
例3 过双曲线Ｃ ａ ｂ 的右焦点Ｆ作渐近线
直接利用ｅ
( ｂ ) ２
求离心率．
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
＝ １＋ ａ
的垂线 垂足为Ｈ 点Ｏ为坐标原点 若 ＨＯＦ ＨＦＯ 且
， ， ， ｓｉｎ∠ ＞ｓｉｎ∠ ，
2.列出含有ａ
，
ｂ
，
ｃ的齐次方程
（
或不等式
），
借助ｂ２
＝
ｃ２
－
ａ２ 消去
直线ｙ ｘ与双曲线无公共点 则双曲线Ｃ的离心率的取值范
＝２ ，
ｂ 然后转化成关于ｅ的方程 或不等式 求解．
， （ ） 围为 Ａ
（ ）
ｘ２ ｙ２
例2 （ 课标 理， ， 分）已知双曲线Ｃ ａ
２０１９ Ⅰ １６ ５ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞ Ａ．（ ２， ５］ Ｂ．（ ２，＋∞）
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线与Ｃ的两条渐 Ｃ．（１， ５） Ｄ．（ ２， ５）
０， ＞０） 、 １， ２， １ 解析 如图，在 ＯＦＨ中， ＯＦ ｃ， ＦＨ ｂ， ＯＨ ａ，（双曲
△ ｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ｜ ｜＝
近线分别交于Ａ Ｂ两点．若Ｆ→Ａ →ＡＢ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｂ 则Ｃ的离心
， １ ＝ ， １ · ２ ＝０， 线的焦点到其渐近线的距离为ｂ）
率为 ．
２
ｘ２ ｙ２
解析 解法一 双曲线 （ａ ，ｂ ）的渐近线方程
ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０
ｂ
为ｙ ｘ，
＝± ａ
Ｆ→Ｂ·Ｆ→Ｂ ， 因为 ＨＯＦ ＨＦＯ，
∵ １ ２ ＝０ ｓｉｎ∠ ＞ｓｉｎ∠
Ｆ Ｂ Ｆ Ｂ， 所以由正弦定理可知ｂ ａ，即ｂ２ ａ２，
∴ １ ⊥ ２ ＞ ＞
点Ｂ在 Ｏ：ｘ２ ｙ２ ｃ２ 上，如图所示， 所以ｃ２ ａ２ ａ２，即ｃ２ ａ２，得ｅ ．
∴ ☉ ＋ ＝ － ＞ ＞２ ＞ ２
专题八 平面解析几何 １ ９９
又因为直线ｙ ｘ与双曲线无公共点， 该直线与双曲线有且只有 个公共点．
＝２ ∴ １
ｂ ｘ２ ｙ２
所以 （易错：易忽略等号的情况），即ｂ ａ， （ ）（ ）过双曲线 （ａ ，ｂ ）上一点（ｘ ，ｙ ）的切线方
ａ ≤２ ≤２ ２ ｉ ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ ０ ０
结合ａ２ ｂ２ ｃ２，得ｃ２ ａ２，所以ｅ ． ｘ ｘ ｙ ｙ
＋ ＝ ≤５ ≤ ５ 程为 ０ ０ ．
综上， ｅ ．故选
ａ２ －ｂ２ ＝１
２＜ ≤ ５ Ａ．
（ ）证明：当ｎ 时，直线ｌ的斜率不存在，此时Ｔ为双曲线与ｘ
创新考法 ｉｉ ＝０
轴的交点，
例 （ 广东汕头模拟， ）已知点Ｍ ｘ ｙ 为双曲线
ｘ２
ｙ２ 由对称性知，点Ｔ为线段ＰＱ的中点，
２０２４ １８ （ ０， ０） －
２ 当ｎ 时，设Ｐ（ｘ ，ｙ ），Ｑ（ｘ ，ｙ ），线段ＰＱ的中点Ｎ（ｔ，ｓ），
上的动点． ≠０ １ １ ２ ２
＝１
ｘ ｘ
ì
ï
ｘ２ ｙ２
，
判断直线 ０ ｙ ｙ 与双曲线的公共点个数 并说明理由． ïａ２ －ｂ２ ＝０ æｎ２ ｍ２ö
（１） － ０ ＝１ ， 由í 得ç ÷ｘ２ ｍｘ ａ２ ，
２ ïｍｘ ｎｙ èｂ２ －ａ２ ø ＋２ － ＝０
如果把 的结论推广到一般双曲线 你能得到什么相 ï
（２）（ｉ） （１） ， îａ２ －ｂ２ ＝１
应的结论 请写出你的结论 不必证明
？ ， ； ｍ２ ｎ２
将双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的两条渐近线称为 退化
由
ａ２ －ｂ２ ＝１
将上式整理得ｘ２
－２
ｍｘ
＋
ａ２
＝０
，
（ｉｉ） ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） “
ｘ ｘ
的双曲线 其方程为
ｘ２ ｙ２
请利用该方程证明如下命题 ∴
ｔ
＝
１＋ ２
＝
ｍ，
”， ａ２ －ｂ２ ＝０， ： ２
ｍｔ ｎｓ
又 ，（注意：点Ｎ（ｔ，ｓ）在直线ｌ上）
若Ｔ ｍ ｎ 为双曲线Ｃ上一点 直线ｌ ｍｘ ｎｙ 与Ｃ的两条渐 ∵ ａ２ －ｂ２ ＝１
（ ， ） ， ：ａ２ －ｂ２ ＝１
ｂ２ æｍ２ ö
近线分别交于点Ｐ 、 Ｑ ， 则Ｔ为线段ＰＱ的中点． ∴ ｓ ＝ ｎ è ç ａ２ －１ø ÷ ＝ ｎ，则Ｎ（ｍ，ｎ），
解析 （
１
）直线与双曲线只有
１
个公共点． 点Ｔ与点Ｎ重合，
∴
理由：
∵
点Ｍ（ｘ
０
，ｙ
０
）在双曲线 ｘ２
－
ｙ２
＝１
上，
∴
点Ｔ为线段ＰＱ的中点．
２ 综上，点Ｔ为线段ＰＱ的中点．
ｘ２
０ ｙ２ ， 风向解读
∴ － ０＝１ ①
２
本题考法新颖，不同于以往解析几何大题先求曲线方程的常
由
ì
í
ï
ï
ïｘ
ｘ
２
２
ｘ
－
ｙ２
＝１
，
得
æ
è
ç
ｙ２
０
－
ｘ２
０
ö
ø
÷ｘ２
＋
ｘ
０
ｘ
－
（
１＋
ｙ２
０
）
＝０
，
规
关
套
注
路
常
，
见
而
结
是
论
要
，而
求
忽
证
视
明
结
一
论
个
的
二
由
级
来
结
和
论
证
，教
明
学
，导
过
致
程
学
中
生
师
出
生
现
都
“
易
知
ï ０ ｙ ｙ ２ ４
î － ０ ＝１ 其然，不知其所以然”的现象，本题提示我们在学习过程中要
２
将 式代入，整理得ｘ２ ｘ ｘ ｘ２ ， 注重数学推导过程的学习．
① －２ ０ ＋ ０＝０
Δ ｘ２ ｘ２ ，
∵ ＝４ ０－４ ０＝０
学生用书P120 左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 抛物线ｙ２ ｘ的准线ｌ经过Ｆ
、 １， ２， ＝４ ５ １，
１． 多想少算 （ 全国甲理， ， 分，易）已知双曲线的两个 且ｌ与双曲线的一条渐近线交于点Ａ．若 Ｆ Ｆ Ａ π 则双曲
２０２４ ５ ５ ∠ １ ２ ＝ ，
４
焦点分别为 点 在该双曲线上 则该双曲
（０，４），（０，－４）， （－６，４） ， 线的方程为 Ｄ
（ ）
线的离心率为 Ｃ
（ ） ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ． ２ １６ ４ ４ １６
２． 多想少算 （ 新课标 ， ， 分，易）设双曲线 Ｃ ｘ２ Ｃ．
ｘ２
－ ｙ２ ＝１ Ｄ． ｘ２ －
ｙ２
＝１
２０２４ Ⅰ １２ ５ ：ａ２ － ４ ４
２．（ 浙江， ， 分，易）已知点Ｏ Ａ Ｂ ．设
ｙ２ ２０２０ ８ ４ （０，０）， （－２，０）， （２，０）
ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 作平行于
ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 １， ２， ２ 点Ｐ满足 ＰＡ ＰＢ 且Ｐ为函数ｙ ｘ２图象上的
｜ ｜－｜ ｜＝２， ＝３ ４－
ｙ轴的直线交Ｃ于Ａ Ｂ两点 若 Ｆ Ａ ＡＢ 则Ｃ的 点 则 ＯＰ Ｄ
， ， ｜ １ ｜＝１３，｜ ｜＝１０， ， ｜ ｜＝ （ ）
离心率为 ３ ． ２２ ４ １０
Ａ． Ｂ． Ｃ． ７ Ｄ． １０
２ ２ ５
ｙ２
考点 1 双曲线的定义和标准方程 学生用书P120 ３．（ 课标 文， ， 分，中）设Ｆ Ｆ 是双曲线Ｃ ｘ２
２０２０ Ⅰ １１ ５ １， ２ ： － ＝１
３
的两个焦点 Ｏ 为坐标原点 点 Ｐ 在 Ｃ 上且 ＯＰ 则
１．（ 天津， ， 分，易）已知双曲线 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的 ， ， ｜ ｜ ＝２，
２０２２ ７ ５ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞１） ＰＦ Ｆ 的面积为 Ｂ
△ １ ２ （ ）
２ ００ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
上两点 下列四个点中 可以为线段ＡＢ中点的是 Ｄ
７ ５ ＝１ ， ， （ ）
Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．２
２ ２ Ａ．（１，１） Ｂ．（－１，２） Ｃ．（１，３） Ｄ．（－１，－４）
４．（ ２０２０ 课标 Ⅲ 理， １１ ， ５ 分，中）设双曲线Ｃ ：ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞ ６．（多选）（ ２０２０ 新高考 Ⅰ ， ９ ， ５ 分，易）已知曲线Ｃ ： ｍｘ２ ＋ ｎｙ Ａ ２ Ｃ ＝ Ｄ １ ．
（ ）
的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 离心率为 ．Ｐ是Ｃ上一点 且 若ｍ ｎ 则Ｃ是椭圆 其焦点在ｙ轴上
０） 、 １， ２， ５ ， Ａ． ＞ ＞０， ，
Ｆ Ｐ Ｆ Ｐ．若 ＰＦ Ｆ 的面积为 则ａ Ａ
１ ⊥ ２ △ １ ２ ４， ＝ （ ） Ｂ． 若ｍ ＝ ｎ ＞０， 则Ｃ是圆 ， 其半径为 ｎ
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ ｍ
５．（
２０２１
浙江，
９
，
４
分，中）已知ａ
，
ｂ
∈
Ｒ
，
ａｂ
＞０，
函数ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
＋
ｂ
Ｃ．
若ｍｎ
＜０，
则Ｃ是双曲线
，
其渐近线方程为ｙ
＝± － ｎ
ｘ
ｘ Ｒ ．若ｆ ｓ ｔ ｆ ｓ ｆ ｓ ｔ 成等比数列 则平面上点 ｓ ｔ
（ ∈ ） （ －）， （ ）， （ ＋） ， （ ，） 若ｍ ｎ 则Ｃ是两条直线
Ｄ． ＝０， ＞０，
的轨迹是 Ｃ
（ ） ｘ２
Ａ．
直线和圆
Ｂ．
直线和椭圆
７．（
２０２２
全国甲理，
１４
，
５
分，易）若双曲线ｙ２
－ｍ２ ＝１（
ｍ
＞０）
的渐
直线和双曲线 直线和抛物线
Ｃ． Ｄ．
６．（ 北京， ， 分，易）已知双曲线Ｃ的焦点为 和
近线与圆ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｙ
＋３＝０
相切
，
则ｍ
＝
３ ．
２０２３ １２ ５ （－２，０） ３
离心率为 则Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
． ８．（ 新高考 ， ， 分，易）已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ
（２，０）， ２，
２
－
２
＝１ ２０２１ Ⅱ １３ ５ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
考点 2 双曲线的几何性质 学生用书P120 ｂ 离心率ｅ 则双曲线Ｃ的渐近线方程为 ｙ ｘ ｙ
＞０）， ＝２， ＝ ３ ， ＝
ｘ ．
ｘ２ ｙ２ － ３
１．（
２０２１
全国甲文，
５
，
５
分，易）点
（３，０）
到双曲线
－ ＝１
的
９．（ 课标 理， ， 分，中）已知Ｆ为双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
１６ ９ ２０２０ Ⅰ １５ ５ ：ａ２ －ｂ２ ＝１
一条渐近线的距离为 Ａ
（ ） ａ ｂ 的右焦点 Ａ为Ｃ的右顶点 Ｂ为Ｃ上的点 且ＢＦ
（ ＞０， ＞０） ， ， ，
９ ８ ６ ４ 垂直于ｘ轴．若ＡＢ的斜率为 则Ｃ的离心率为 ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３， ２
５ ５ ５ ５
２．（ 全国甲理， ， 分，易）已知Ｆ Ｆ 是双曲线Ｃ的两个焦 １０．（ 浙江， ， 分，中）已知双曲线 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ
２０２１ ５ ５ １， ２ ２０２２ １６ ４ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
点 Ｐ为Ｃ上一点 且 Ｆ ＰＦ ° ＰＦ ＰＦ 则Ｃ的
， ， ∠ １ ２＝６０ ，｜ １｜＝３｜ ２｜， ｂ
离心率为 Ａ 的左焦点为Ｆ 过Ｆ且斜率为 的直线交双曲线于点Ａ ｘ
（ ） ， ａ （ １，
４
７ １３ ｙ 交双曲线的渐近线于点Ｂ ｘ ｙ 且ｘ ｘ ．若 ＦＢ
Ａ． Ｂ． Ｃ． ７ Ｄ． １３ １）， （ ２， ２） １＜０＜ ２ ｜ ｜＝
２ ２
ｘ２ ｙ２ ＦＡ 则双曲线的离心率是 ３ ６ ．
３．（ 天津， ， 分，中）已知双曲线 ａ ｂ 的 ３｜ ｜，
２０２１ ８ ５ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ４
ｘ２ ｙ２
右焦点与抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点重合．抛物线的准线交 １１．（ 全国甲文， ， 分，中）记双曲线Ｃ ａ ｂ
＝２ （ ＞０） ２０２２ １５ ５ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
双曲线于Ａ Ｂ两点 交双曲线的渐近线于Ｃ Ｄ两点．若 ＣＤ
， ， ， ｜ ｜ 的离心率为 ｅ 写出满足条件 直线 ｙ ｘ 与 Ｃ 无公共
＞０） ， “ ＝２
ＡＢ 则双曲线的离心率为 Ａ
＝ ２｜ ｜， （ ） 点 的ｅ的一个值 （答案不唯一，在（ ， ］范围内取值均
” ２ １ ５
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．３ 可） ．
４．（ 课标 ，文 ，理 ， 分，中）设Ｏ为坐标原点 直线ｘ ａ
２０２０ Ⅱ ９ ８ ５ ， ＝ ｘ２ ｙ２
１２．（ 新课标 ， ， 分，中）已知双曲线Ｃ ａ
与双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的两条渐近线分别交于Ｄ
２０２３ Ⅰ １６ ５ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ，
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ａ在Ｃ上 点Ｂ在ｙ轴
Ｅ两点．若 ＯＤＥ的面积为 则Ｃ的焦距的最小值为 Ｂ
０， ＞０） 、 １， ２， ，
△ ８， （ ）
上 Ｆ→Ａ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ａ ２ Ｆ→Ｂ 则Ｃ的离心率为 ３ ５ ．
Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．３２ ， １ ⊥ １ ， ２ ＝－ ２ ，
３ ５
ｙ２
５．（ 全国乙，文 ，理 ， 分，中）设Ａ Ｂ为双曲线ｘ２
２０２３ １２ １１ ５ ， －
９
学生用书P122 ２．（ 安徽合肥一模， ）双曲线Ｃ ｘ２
ｙ２
的焦距为 则Ｃ
２０２４ ４ ： －ｂ２ ＝１ ４，
ｙ２
１．（ 浙江丽水、湖州、衢州二模， ）双曲线ｘ２ ｍ 的渐近线方程为 Ｂ
２０２４ ２ －ｍ２ ＝１（ ＞０） （ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ
的渐近线方程为ｙ ｘ 则ｍ Ｄ Ａ． ＝± １５ Ｂ． ＝± ３
＝±２ ， ＝ （ ）
ｙ １５ｘ ｙ ３ｘ
１ ２ Ｃ． ＝± Ｄ． ＝±
Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．２ １５ ３
２ ２
ｘ２ ｙ２
３．（ 湖南长沙 月调研， ）已知双曲线Ｃ ｂ
２０２４ ３ ４ ： －ｂ２ ＝１（ ＞０）
４
专题八 平面解析几何 ２ ０１
的一个焦点到一条渐近线的距离为 则双曲线Ｃ的离心率为 θ可能是第一象限角
２， Ａ．
Ｂ θ可能是第四象限角
（ ） Ｂ．
点 可能在Ｃ上
３ ３ ５ Ｃ． （１，０）
Ａ． Ｂ． ２ Ｃ． Ｄ． ３ 点 可能在Ｃ上
２ ２ Ｄ． （０，１）
ｘ２ ｙ２ １１．（ 北京清华附中统练二， ）请写出一个焦点在ｙ轴上
４．（ 甘肃兰州一诊， ）已知双曲线Ｅ ａ ｂ ２０２４ １２ ，
２０２４ ５ １：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
ｙ２
且与直线ｙ ｘ没有交点的双曲线的标准方程 ｘ２
ｘ２ ｙ２ ＝２ ： － ＝１
与双曲线Ｅ 的离心率相同 双曲线Ｅ 的顶点 ４
０） ２： － ＝１ ， １ （答案不唯一） ．
１６ ９
是双曲线Ｅ
２
的焦点
，
则双曲线Ｅ
１
的虚轴长为
（
Ｂ
） １２．（ 华大新高考联盟联考， ）关于双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ
２０２４ １２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（
１５ １５ ２４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１０ ｂ 四位同学给出了四个说法
４ ２ ５
＞０， ＞０）， ：
５．（ ２０２４ 山东聊城一模， ５ ）设Ｆ １， Ｆ ２ 是双曲线Ｃ ：ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ 小 小 明 红 ： 双 双 曲 曲 线 线 Ｃ Ｃ 的 的 实 焦 轴 点 长 到 为 渐近 ８； 线的距离为
： ３；
ｂ 的左 右焦点 Ｐ是Ｃ上的一点 若Ｃ的一条渐近线的
０， ＞０） 、 ， ，
小强 双曲线Ｃ的离心率为 ３
倾斜角为 ° 且 ＰＦ ＰＦ 则Ｃ的焦距等于 Ｄ ： ；
６０ ， ｜ １｜－｜ ２｜＝２， （ ） ２
小同 双曲线Ｃ上的点到焦点距离的最小值为 ．
Ａ．１ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．４ ： １
ｘ２ ｙ２ 若这 位同学中只有 位同学的说法错误 则说法错误的是
６．（ 江西重点中学协作体一模， ）已知双曲线Ｃ ４ １ ，
２０２４ ５ ：ａ２ －ｂ２ ＝１ ｘ２ ｙ２
小强 双曲线Ｃ的方程为 ． 第一空的横线上填
ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｍ为Ｆ 关于渐近 ； － ＝１ （
（ ＞０， ＞０） ， １、 ２， １ １６ ９
ＭＦ 小明 小红 小强 或 小同
线的对称点．若｜ １｜ 且 ＭＦ Ｆ 的面积为 则 Ｃ 的方 “ ”“ ”“ ” “ ”）
ＭＦ ＝２， △ １ ２ ８， １３．（ 甘肃一诊， ）若曲线Ｃ ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ ｍ ｎ 经
｜ ２｜ ２０２４ １４ ： ＋ ＝１（ ≠０， ≠ ）
程为 Ｃ 过 这三点中的两点 则曲线Ｃ
（ ） （６，－ １５），（－２， ３），（４，０） ，
ｙ２ ｘ２
Ａ．
ｘ２
－ ＝１ Ｂ． －
ｙ２
＝１ 的离心率可能为 ３３或 ７或 ３（只写一个即可） 写出一
４ ４ （
３ ２ ２
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
个即可 ．
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ ）
２ ８ ４ １６ ｘ２ ｙ２
７．（ 安徽师大附中二模， ）已知Ｆ Ｆ 是双曲线
ｘ２ ｙ２ １４．（
２０２４
山东临沂一模，
１３
）已知Ｆ
１，
Ｆ
２
是双曲线Ｃ
：ａ２ －ｂ２ ＝１
２０２４ ５ １， ２ ａ２ －ｂ２ ＝１
ａ ｂ 的左 右焦点 点Ｐ ｔ ｔ ｔ 在 Ｃ 上
ａ ｂ 的左 右焦点 若双曲线上存在点 Ｐ 满足Ｐ→Ｆ （ ＞０， ＞０） 、 ， （ ３ ， ）（ ＞０） ，
（ ＞０， ＞０） 、 ， ２· Ｆ Ｆ Ｐ 则Ｃ的离心率为 ．
Ｐ→Ｆ ａ２ 则双曲线离心率的最小值为 Ｄ ｔａｎ∠ １ ２ ＝２＋ ３， ２
１＝－２ ， （ ）
学生用书P123
Ａ． ６ Ｂ． ５ Ｃ．２ Ｄ． ３
８．（多选）（ ２０２４ 河北邯郸三调， ９ ）已知双曲线Ｃ ：λ ｘ２ － ｙ２ λ＝１， 则 １．（ ２０２４ 广西南宁一模， ６ ）已知双曲线Ｅ ：ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０）
＋６ ３－
ＡＣ 的右焦点为Ｆ 右顶点为Ａ 过点Ｆ的直线与双曲线Ｅ的一条
（ ） ， ，
λ的取值范围是 渐近线交于点Ｐ 与其左支交于点Ｑ 且点Ｐ与点Ｑ不在同一
Ａ． （－６，３） ， ，
Ｃ的焦点可在ｘ轴上也可在ｙ轴上 象限 直线ＡＰ与直线ＯＱ Ｏ为坐标原点 的交点在双曲线Ｅ
Ｂ． ， （ ）
Ｃ的焦距为 上 若Ｐ→Ｑ Ｐ→Ｆ 则双曲线Ｅ的离心率为 Ｂ
Ｃ． ６ ， ＝－２ ， （ ）
Ｃ的离心率ｅ的取值范围为
Ｄ． （１，３） ７
９．（多选）（ 福建九地市质量检测（三）， ）双曲线 Ｃ
ｘ２ Ａ． ３ Ｂ．２ Ｃ．
３
Ｄ．３
２０２４ ９ ：ａ２ － ２．（ 山东青岛一模， ）已知Ａ Ｂ 设点Ｐ是圆
２０２４ ８ （－２，０）， （２，０），
ｙ ａ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０） 的左 、 右焦点分别为Ｆ １， Ｆ ２， 且Ｃ的两条渐近线 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 上的点 ， 若动点 Ｑ 满足Ｑ→Ｐ · Ｐ→Ｂ ＝ ０， Ｑ→Ｐ ＝
３ æ Ｑ→Ａ Ｑ→Ｂ ö
的夹角为θ 若 Ｆ Ｆ ｅ ｅ为Ｃ的离心率 则 ＡＢＤ λç ÷ 则Ｑ的轨迹方程为 Ａ
， ｜ １ ２｜＝２ （ ）， （ ） è Ｑ→Ａ ＋ Ｑ→Ｂ ø， （ ）
ａ ｜ ｜ ｜ ｜
Ａ． ＝１ ｙ２ ｘ２
ｘ２ ｙ２
θ π Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
Ｂ． ＝ ３ ３
３ ｘ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ． ｅ ＝ ２ Ｃ． ＋ ｙ２ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
５ ６ ２
Ｃ的一条渐近线的斜率为 ｘ２ ｙ２
Ｄ． ３ ３．（ 广东深圳一调， ）已知双曲线Ｅ ａ ｂ
１０．（多选）（ 湖南部分学校大联考（二）， ）已知θ Ｒ 双曲线 ２０２４ ８ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
２０２４ １０ ∈ ，
Ｃ
：
ｘ２
ｃｏｓ
θ
＋
ｙ２
ｓｉｎ２
θ
＝１，
则
（
ＢＤ
）
的左
、
右焦点分别为Ｆ
１，
Ｆ
２，
过点Ｆ
２
的直线与双曲线Ｅ的右
２ ０２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
支交于Ａ Ｂ 两点 若 ＡＢ ＡＦ 且双曲线 Ｅ 的离心率为 设过点Ｆ 的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 异于Ｃ的两顶点
， ， ｜ ｜ ＝｜ １｜， （ｉｉ） ２ ， （ ），
则 ＢＡＦ Ｄ Ｃ在点Ａ Ｂ处的切线交于点Ｅ 线段ＡＢ的中点为Ｄ 证明 Ｏ
２， ｃｏｓ∠ １＝ （ ） ， ， ， ： ，
Ｄ Ｅ三点共线．
，
３ ７ ３ １ １
Ａ．－
８
Ｂ．－
４
Ｃ．
８
Ｄ．－
８ 解析 设Ｐ ｘ ｙ 则
ｘ２Ｐ ｙ２Ｐ
．
ｙ２ （１） （ Ｐ， Ｐ）， ａ２ －ｂ２ ＝１
４．（ 山东泰安一轮检测， ）已知Ｆ是双曲线Ｃ ｘ２ 的
２０２４ ８ ： － ＝１ ｂ
８ 不妨令直线ＰＭ的方程为ｙ ｙ ｘ ｘ 直线ＰＮ的方程
－ Ｐ＝ ａ （ － Ｐ），
右焦点 Ｐ 是 Ｃ 左支上一点 Ａ 当 ＡＰＦ 周长最小
， ， （０，６ ６）， △
ｂ
时 该三角形的面积为 Ｄ 为ｙ ｙ ｘ ｘ ． 分
， （ ） － Ｐ＝－ ａ （ － Ｐ） （１ ）
Ａ．３６ ６ Ｂ．２４ ６ Ｃ．１８ ６ Ｄ．１２ ６ ( ｂ ) ( ｂ )
５．（ 东北三省三校第二次联考， ）双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ 的 令ｘ ＝０， 得Ｍ ０，－ ａ ｘ Ｐ＋ ｙ Ｐ ， Ｎ ０， ａ ｘ Ｐ＋ ｙ Ｐ ，
２０２４ ８ ： － ＝１
右焦点为Ｆ
，
双曲线Ｃ上有两点Ａ
，
Ｂ关于直线
１
ｌ
：
２
３
ｘ
＋
４
ｙ
－８＝０
所以
｜
ＯＭ
｜ ·｜
ＯＮ
｜ ＝
ｙ
Ｐ－
ｂ
ａ
ｘ
Ｐ
·
ｙ
Ｐ＋
ｂ
ａ
ｘ
Ｐ
＝
ｙ２Ｐ－ａ
ｂ２
２
ｘ２Ｐ
＝
对称
，
则
｜
→ＦＡ
＋
Ｆ→Ｂ
｜＝ （
Ｂ
）
ａ
ｂ２
２
ｘ２Ｐ－ ｂ２
－ａ
ｂ２
２
ｘ２Ｐ
＝
ｂ２
＝１
．
（３
分
）
Ａ．２ ２ Ｂ．４ ２ Ｃ．２ ３ Ｄ．４ ３
６．（多选）（ 安徽皖江名校联盟联考， ）已知双曲线Ｃ
ｘ２ 设
△
Ｆ
１
ＰＦ
２
的内切圆
（
圆心为 Ｉ
）
分别与 ＰＦ
１，
ＰＦ
２，
Ｆ
１
Ｆ
２
切于
２０２４ １０ ：ａ２ － 点Ｒ Ｓ Ｔ
， ， ，
ｙ２ 则 ａ ＰＦ ＰＦ ＰＲ ＲＦ ＰＳ ＳＦ
ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ ．经 ２ ＝｜｜ １｜－｜ ２｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ｜＋｜ １｜－｜ ｜－｜ ２｜ ｜ ＝
ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 １， ２，｜ １ ２｜＝４ ７ ＲＦ ＳＦ ＴＦ ＴＦ
｜｜ １｜－｜ ２｜｜＝｜｜ １｜－｜ ２｜｜，
过Ｆ 的直线ｌ与Ｃ的左右两支分别交于Ｐ Ｑ 且 ＰＱＦ 为 所以Ｔ为Ｃ的顶点 因为ＩＴ ｘ轴 所以Ｉ的横坐标为 ａ
１ ， ， △ ２ ， ⊥ ， ± ，
等边三角形 则 ＢＤ
， （ ） 所以ａ ．
＝ ３
ｘ２ ｙ２
双曲线Ｃ的方程为 ｘ２
Ａ． － ＝１ 故Ｃ的标准方程为 ｙ２ ． 分
８ ２０ － ＝１ （６ ）
３
ＰＦ Ｆ 的面积为
Ｂ．△
以ＱＦ
１
为
２
直径的圆
８
与
３
以实轴为直径的圆相交
ì ï
ï
ｘ２
－
ｙ２
＝１，
Ｃ． １ 由í３ 得 ｙ２ ｘ２ ｘ２ ｘ ｘ ｙ２
以ＱＦ 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 （２）（ｉ） ïｘｘ （３ ０－ ０） ＋６ ０ －９－９ ０＝０，
Ｄ． ２ ï ０ ｙｙ
７．（多选）（ 重庆二诊， ）已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
î
３
－ ０＝１，
２０２４ １１ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， 结合ｘ２ ｙ２ 得ｘ２ ｘ ｘ ｘ２ 所以Δ ｘ２ ｘ２ ．
０－３ ０＝３， －２ ０ ＋ ０＝０， ＝４ ０－４ ０＝０
的左 右焦点分别为Ｆ ｃ Ｆ ｃ 直线ｌ ｂｘ ａｙ ｂｃ 分
＞０） 、 １（－ ，０）， ２（ ，０）， ： ＋ － （８ ）
与Ｃ相交于点Ｍ 与Ｃ的一条渐近线相交于点Ｎ．记Ｃ的
ｘｘ
＝０ ，
所以直线 ０ ｙｙ 与Ｃ相切． 分
离心率为ｅ 以下说法正确的是 ＡＣ － ０＝１ （１０ ）
， （ ） ３
若ＮＦ ＮＦ 则ｅ 由题易得直线ＡＢ的斜率不为
Ａ． １⊥ ２， ＝２ （ｉｉ） ０，
若ＭＦ ＭＦ 则ｅ 设直线ＡＢ的方程为ｘ ｔｙ 代入ｘ２ ｙ２
Ｂ． １⊥ ２， ＝２ ２ ＝ ＋２， －３ ＝３，
Ｃ． 若
若
｜ Ｎ
Ｍ
Ｆ
Ｆ
２｜＝２｜ Ｍ
Ｍ
Ｆ
Ｆ
２｜， 则
则
ｅ
ｅ
＝ ２ 得
其
（
中
ｔ２
{
－
ｔ２
３
－
）
３
ｙ
≠
２ ＋
０
４
，
ｔｙ ＋１＝０，
Ｄ． ｜ １｜≥５｜ ２｜， ≥ ２
ｘ２ ｙ２
Δ
＝１６
ｔ２
－４（
ｔ２
－３）＝１２（
ｔ２
＋１）＞０，
８．（ 湖南长沙雅礼中学月考六， ）已知双曲线Ｃ
２０２４ １４ ：ａ２ －ｂ２ ＝
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则ｙ ｙ －４
ｔ
ｙ ｙ １ ． 分
ａ ｂ Ｆ为右焦点 过点Ｆ作ＦＡ ｘ轴 交双曲线于第
（ １， １）， （ ２， ２）， １＋ ２＝ｔ２
－３
， １ ２＝ｔ２
－３
（１１ ）
１（ ＞０， ＞０）， ， ⊥ ，
由 知 Ｃ在点Ａ Ｂ处的切线方程分别为ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ
一象限内的点Ａ ， 点Ｂ与点Ａ关于原点对称 ， 连接ＡＢ ， ＢＦ ， 当 （ｉ） ， ， １ －３ １ ＝３， ２ －
ｙ ｙ ． 分
３ ２ ＝３ （１２ ）
ＡＢＦ取得最大值时 双曲线的离心率为 ６＋ ２ ．
ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ
∠ ， ２ 两式联立 得ｘ ３（ ２－ １） ３（ ２－ １） ３（ ２－ １）
， ＝ｘ ｙ ｘ ｙ ＝ ｔｙ ｙ ｔｙ ｙ ＝ ｙ ｙ
９．（ ２０２４ 湘豫名校联考模拟， １８ ）已知Ｏ为坐标原点 ， 双曲线Ｃ ： １ ２－ ２ １ （ １＋２） ２－（ ２＋２） １ ２（ ２－ １）
ｘ２ ｙ２ ３ ｘ
ａ２ －ｂ２ ＝１（
ａ
＞０，
ｂ
＞０）
的左
、
右焦点分别为Ｆ
１，
Ｆ
２，
过Ｃ上一点
３ ｙ ２
１－３ ｘ
１－２
ｔｙ
１＋２－２
ｔ
即Ｅ
(
３
ｔ )
．
＝ ， ＝ ｙ ＝ ｙ ＝ ｙ ＝ ， ，
Ｐ作Ｃ的两条渐近线的平行线 分别交ｙ轴于Ｍ Ｎ两点 且 ２ ３ １ ２ １ ２ １ ２ ２ ２
， ， ， ｔ
所以直线ＯＥ的方程为ｙ ｘ． 分
ＯＭ ＯＮ Ｆ ＰＦ 内切圆的圆心到ｙ轴的距离为 ． ＝ （１５ ）
｜ ｜·｜ ｜＝１，△ １ ２ ３ ３
求Ｃ的标准方程．
ì
（１） {ｘ ｔｙ ïｘ －６
ｘｘ ＝ ＋２， ï ＝ｔ２ ，
设点Ｑ ｘ ｙ 为Ｃ上一点 试判断直线 ０ ｙｙ 与 由 ｔ 解得í －３
（２）（ｉ） （ ０， ０） ， － ０＝１ ｙ ｘ ï ｔ
３ ＝ ， ïｙ －２
Ｃ的位置关系 并说明理由 ３ î ＝ｔ２ ，
， ； －３
专题八 平面解析几何 ２ ０３
æ ｔö
即直线ＡＢ与ＯＥ的交点为Ｄ ç －６ －２ ÷．
１èｔ２ ，ｔ２ ø
－３ －３
ｙ ｙ ｔ ｔ
又ｙ １＋ ２ －２ ｘ ｔｙ ｔ －２ －６
Ｄ＝ ＝ｔ２ ， Ｄ＝ Ｄ＋２＝ ·ｔ２ ＋２＝ｔ２ ，
２ －３ －３ －３
æ ｔö
即Ｄç －６ －２ ÷．所以Ｄ与Ｄ 重合．
èｔ２ ，ｔ２ ø １
－３ －３
故Ｏ Ｄ Ｅ三点共线． 分
， ， （１７ ）
学生用书P124
创新知识交汇 （ 湖北十堰调研， ）数学课本 人教 版
２０２４ １４ 《 Ａ
必修第二册 第 页介绍了 祖暅原理 幂势既同 则积不容
》 １２１ “ ”： ，
异．用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两个几何
体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截
， ，
面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等．如图 这是某
， １，
细腰鼓形工艺品 上 下对称 其轴截面近似为图 中的实线
（ 、 ）， ２
ｘ２ ｙ２
图形 两段曲线是双曲线Ｃ ｂ 的一部分 内部虚
， ： －ｂ２ ＝１（ ＞０） ，
２
线为双曲线Ｃ的渐近线．若该工艺品的底面圆的直径为 高为
４，
则 ｂ 利用祖暅原理可求得该工艺品的体积为
４ ２， ＝ ２ ２ ；
３２ ２π ．
３
图 图
１ ２
