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2.6.2 双曲线的几何性质(1) -B提高练
一、选择题
1. （2020·安徽无为中学高二期末）设双曲线 的渐近线方程为 ，则
的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由双曲线的几何性质可得，双曲线 的渐近线方程为 ，又因为
渐近线方程为 ，即 ，故 ，选C．
2．（2020山东泰安一中高二月考）若双曲线 的焦距等于10，则实数m的值等于（
）
A．20 B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，方程化为 ，双曲线的焦点在x轴上，则 ，依题
意有 ，解得 ；当 时，方程化为 ，双曲线的焦点在y轴
上，则 ，依题意有 ，解得 .综上， .故选：
C
3．（2020·沙坪坝重庆八中期中）已知双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线距离为 ，则双曲线 实轴长（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，双曲线的一个渐近线为 即 ，
设双曲线的的右焦点为 ，则 ，所以焦点到渐近线的距离
，又离心率 ，所以 ，所以双曲线 实轴长 .
x2 y2 y2 x2
4.（2020大连二四中高二月考）我们把方程分别为 - =1和 - =1的双曲线称为共轭双曲
a2 b2 b2 a2
线,则共轭双曲线有相同的( )
A.离心率 B.渐近线 C.焦点 D.顶点
【答案】B
【解析】共轭双曲线 x2 y2 =1 和 y2 x2 =1 的 c= ,设 a>0,b>0,可得它们的焦点分别为
- - √a2+b2
a2 b2 b2 a2
b c c
(±c,0),(0,±c),渐近线方程均为y=± x,离心率分别为 和 ,它们的顶点分别为(±a,0),(0,±b).
a a b
5. （多选题）（2020·南京市天印高级中学高二月考）已知双曲线 的右焦点
为 ，点A坐标为 ，点P双曲线左支上的动点，且 的周长不小于14，则双
曲线C的离心率可能为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】ABC
【解析】由右焦点为 ，点 的坐标为 ， ，
的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得 的最小值不小于 9又 为双曲线的左焦点，可得 ， ，
当 ， ， 三点共线时， 取最小值 ，所以 ，即 ，因为
，
可得 ．故选： ．
6．（多选题）（2020·山东泰安实验中学高二月考）把方程 表示的曲线作为函数
的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．函数 的图象不经过第三象限 B．函数 在R上单调递增
C．函数 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数 不存在零点
【答案】ACD
【解析】由题意，方程 ，
当 时， ，表示椭圆在第一象限的部分；
当 时， ，表示双曲线在第四象限的部分；当 时， ，表示双曲线在第二象限的部分；
当 时， ，此时不成立，舍去，其图像如图所示，可得该函数的图象不经
过第三象限，所以A是正确的；由函数的图象可得，该函数在 为单调递减函数，所以B不正确；
由图象可得，函数 的图象上的点 到原点的距离的最小的点在 的图象上，
设点 ，则点 满足 时， ，即
则 ，当 时， ，所以C正确；
令 ，可得 ，即 ，
则函数 的零点，即为函数 与 的交点，
又由直线 为双曲线 和 渐近线，
所以直线 与函数 没有交点，即函数 不存在零点，
所以D是正确的.故选：ACD.
二、填空题7．已知双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为_________.
【答案】
【解析】由题意可得： ，则实轴长为： ，虚轴长为 ，
由题意有： ，解得： ，代入 可得双曲线方程为
.
8．（2020·全国高二课时练）已知双曲线 的左焦点为 ，顶点 ， 是双
曲线 右支上的动点，则 的最小值等于__________.
【答案】6
【解析】结合题意，绘制图像：
根据双曲线的性质可知 ，得到 ，所以
，而 ，所以，所以最小值为6.
x2 y2
9.(2019全国高考)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|
4 2
=|PF|,则△PFO的面积为__________.
3√2
【答案】
4
【解析】由已知可得a=2,b= ,则c= ,∴F( ,0).
√2 √a2+b2=√6 √6
√6 √2 √2 √6 √3
∵|PO|=|PF|,∴x = .又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y= x上,∴y = × = .
P P
2 2 2 2 2
1 1 √3 3√2
∴S = |OF|·|y |= ×√6× = .
△PFO 2 P 2 2 4
10. （2020·山东潍坊三中高二月考）设双曲线 ， ， 是双曲线 上
关于坐标原点对称的两点， 为双曲线 上的一动点，若 ，则双曲线 的离心率为
__________.
【答案】
【解析】由题意，设 ， ，则 ，所以
，因为 ， ，
所以两式相减可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 .
三、解答题
11. （2020·江苏省如皋中学高二月考）已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 为 轴上一定点， 为双曲线右支上一点，求线段 长的最小值.
【解析】（1）因为 ，则双曲线的实轴、虚轴相等
所以可设双曲线方程为
因为双曲线过点（4， ），所以 ，即
所以双曲线方程为
（2）设 ，
令
①当 即 时，当 时， ，
②当 即 时，当 时， ，
12．（2020·全国高二课时练）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F，F 为左、右焦点，且|MF |＋|MF |＝6 ，试判别△MF F 的形状．
1 2 1 2 1 2
【解析】 (1)椭圆方程可化为 ，焦点在x轴上，且c＝ ，
故设双曲线方程为 ，
则有 解得a2＝3，b2＝2.所以双曲线的标准方程为 .
(2)不妨设M点在右支上，
则有|MF |－|MF |＝2 ，又|MF |＋|MF |＝6 ，
1 2 1 2
故解得|MF |＝4 ，|MF |＝2 ，又|FF|＝2 ，
1 2 1 2
因此在△MF F 中，|MF |边最长，而
1 2 1
cos ∠MF F＝ ，
2 1
所以∠MF F 为钝角，故△MF F 为钝角三角形．
2 1 1 2
