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单元提升卷 10 平面解析几何
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．经过点 ，且与直线 垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到所求直线的斜率 ，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意知，直线 的斜率为 ，
因为所求直线与直线 垂直，所以所求直线的斜率满足 ，即 ，
又因为所求直线过点 ，所以方程为 ，即 .
故选：C.
2．椭圆 的焦点为 ，上顶点为 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由 ，得 为等边三角形，则可得 ，所以 ，再由椭圆方程求得
，代入可求出 的值
【详解】由 ，得 ，则 ，
因为椭圆 的焦点为 ，上顶点为 ， ，
所以 为等边三角形，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故选：C
3．已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】应用点线距离公式及几何法求圆的弦长公式列方程求半径即可.
【详解】由圆心为原点，则圆心到直线距离 ，又 ，
所以 .
故选：C
4．已知双曲线 ： 的左､右焦点分别是 ， ， 是双曲线 上的一点，且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据且 ， ， ，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a即
可.
【详解】解：设双曲线 的半焦距为 .
由题意，点 在双曲线 的右支上， ， ，
由余弦定理得 ，
解得 ，即 ， ，
根据双曲线定义得 ，
解得 ，
故双曲线 的离心率 .
故选：D
5．在平面直角坐标系 中，抛物线 为 轴正半轴上一点，线段 的垂直平分线 交 于
两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
【答案】A
【分析】线段 的垂直平分线 交 于 两点,结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形
为菱形,可设 点坐标,通过几何关系求出 点坐标,在代入抛物线方程即可求解.
【详解】因为线段 的垂直平分线 交 于 两点，
所以结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形 为菱形.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设点 且 则线段 的垂直平分线 方程为 ，
令 与 轴交于点 ,又 ，
则在直角三角形 中
继而可得 ，
所以 点坐标为 ，
代入抛物线 ，可得 ，解得 ，
直角三角形 中 ,
所以四边形 的周长为 .
故选：A.
6．已知离心率为 的椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 为该椭圆上位于 轴上方一
点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，若 ，则直线 的斜率为
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由离心率可求出 ，可得出 ，设 ，则 ，可得出 、 的
方程，即可得到 、 的坐标，再根据 求出 .
【详解】由 ，得 ，则 、 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
直线 的方程为 ，则 的坐标为 ，
直线 的方程为 ，则 的坐标为 ，
所以 ，解得 或 ．
故选：C.
7．已知A，B是圆C： 上的两个动点，且 ，若 ，则点P到直线AB
距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】D
【分析】设P、C到直线AB的距离分别为 ，根据题意结合垂径定理可得 ，再根据
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结合几何关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆C： 的圆心 ，半径 ，
则 ，
设P、C到直线AB的距离分别为 ，
因为 ，解得 ，
分别过P、C作 ，垂足分别为 ，再过C作 ，垂足为 ，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，
则 ，
当且仅当 ，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，
所以点P到直线AB距离的最大值为7.
故选：D.
8．2022年12月4日20点10分，神舟十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十四号返回舱
成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位 和
一个移动拍摄机位 .根据当时气候与地理特征，点 在拋物线 （直线 与地平线重合，
轴垂直于水平面.单位：十米，下同. 的横坐标 ）上， 的坐标为 .设 ，线段 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】分别交 于点 ， ， 在线段 上.则两固定机位 ， 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ， ，根据条件 ， ，得出坐标间的关系，表
示直线 的方程，求出 恒过的定点即为点 ，计算 即可.
【详解】设 ， ， ， ， ，
根据条件有 ， ， ,
， .
∴ ， .
由题意 互不相等，把 ， ， 分别代入上两式化简得 ，
，消去 得 .
的方程是 ，即 ，
∴ 的方程为 ，则 ，
∴ 经过定点 .
所以点 的坐标为 . ，
即两固定机位 的距离为 .
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离
之比为定值 的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆．在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，点 的轨迹为曲线 ，下列结论
正确的是（ ）
A．曲线 的方程为
B．直线 与曲线 有公共点
C．曲线 被 轴截得的弦长为
D． 面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】通过阿氏圆的定义结合 ，设 ，从而可以得到曲线C的方程；
通过计算圆心到直线 的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；
计算圆心到 轴的距离 ，结合 ，得到曲线 被 轴截得的弦长 ，从而判断C的正确性；
的长度确定，所以 面积的最大值即为点 到 距离的最大值，从而判断C的正确性.
【详解】设 ，
对于选项A，因为 ，所以 ，化简得 ，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为 ，所以圆心为 ，半径为 ，计算圆心 到直线
的距离为 ，
所以直线 与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线 的圆心在 轴上，所以被 轴截得的弦即为直径，所以曲线 被 轴截得的弦长为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故C正确；
对于选项D，因为 ， ，所以 ,故 ，
而曲线C为 ，所以 ，即 的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD
10．抛物线 焦点为 ，且过点 ，直线 ， 分别交 于另一点 和 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线CD过定点
C． 上任意一点到 和 的距离相等D．
【答案】CD
【分析】根据抛物线过点 得到 ，即可判断选项C和D；
根据已知条件直接求出C，D点的横坐标从而计算直线CD的斜率和方程，进而判断A和B选项.
【详解】抛物线 过点 ，所以 ， ，故D正确；
所以抛物线 ， 上任意一点到 和准线 的距离相等，故C正确；
设 ， ，设 ，则 ，
所以 的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，
当 时， ，得 ，
代换 ，得到 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故A错误；
直线CD： ，即 ，不过定点，
故B错误.
故选：CD
11．已知椭圆 ： （ ）， ， 分别为其左、右焦点，椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆
上，点 在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率 的取值范围为
B．不存在点 ，使得
C．当 时， 的最大值为
D． 的最小值为1
【答案】ABC
【分析】A：根据点 在椭圆内部可得 ，从而可得 的取值范围，从而可求离心率的取值
范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和 ，利用椭圆定义将 化为 ，数形结合即
可得到答案；D：利用 可得
，利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由已知可得， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，故A正确；
对于B，由 可知，点 为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；
对于C，由已知 ， ，所以 ， ．
又 ，则 ．
根据椭圆的定义可得 ，
所以 ，
由图可知， ，
所以
当且仅当 ， ， 三点共线时，取得等号．
故 的最大值为 ，故C正确；
对于D，因为 ，
所以
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以， 的最小值为 ，故D错误．
故选：ABC
【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.
12．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过
双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知 分别
为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点 作直线 交 轴于点 ，
交 轴于点 .则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．点 的坐标为
C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得 ，进而结合双
曲线方程，即可得出点 的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点 为 的中点.进
而得出 ，结合双曲线的定义，即可判断C项；由 ，代入利用基本不等
式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得 ， ，所以 的渐近线方程为 ，故A项正确；
对于B项，设 ，则 ，整理可得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ，所以有 ，解得 ，所以点 的坐标为
，故B项错误；
对于C项，如上图，显然 为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知， 平分 ，延长 与 的延长线交于点 .
则 垂直平分 ，即点 为 的中点.
又 是 的中点，所以， ，故C项正确；
对于D项， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以，四边形 面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 分别为 的上下顶点， 为 的右顶点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则 的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意求出 即可得解.
【详解】 ，
则 ①，
又 ，所以 ②，
由①②解得 ，
所以 的方程为 .
故答案为： .
14．过 作圆 与圆 的切线，切点分别为 ， ，若
，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】利用圆切线的性质，结合代入法、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】圆 ，显然 ，半径为1，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】圆 ，显然 ，半径为2，
因为 是分别是圆 ，圆 的切线，
所以 ，
因为 ，
所以有 ，
即 ，
化简，得 代入 中，
得 ，
所以当 时， 的最小值 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用圆的切线性质得到等式 .
15．已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过 的直线与圆 相切于点 ，与
双曲线的右支交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据题意画出草图，由 为 中点， ，故过 做 构造相似三角形，根据相
切找到 长度，根据相似找到 的长度，进而找到 的长度，根据双曲线定义找到
长度，在直角三角形 中，用勾股定理即可找到 之间的关系，再根据 ，即可得
到离心率.
【详解】由题知，记右焦点为 ，过 做 如图所示，
与圆 相切，
， ，
， ，
为 中点， ，
故 ，且相似比为 ，
即 ， ，
，
， ，
在双曲线 中，有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
， ，
为直角三角形，
，
即 ，
化简可得 ，上式两边同时平方，将 代入可得 ，
则 ，即离心率 .
故答案为：
16．已知点 是抛物线 上的一点， 是 的焦点， 是 的中点， ，则 的
最小值为 .
【答案】 /
【分析】设点 ，由向量坐标运算可得 ，利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】依题意， ，设 ，则 ，
因为 在抛物线 上，所以得 ，
即 ，由 ，得 ，
， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ， ，则 ， ，
当 即 时， ， ；
当 即 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
此时 .
综上所述， 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；
（2）由中点坐标公式求得中点 坐标，再由两点间距离公式计算可得；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】（1）法一：由两点式写方程得 ，即 ；
法二：直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，即 ；
（2）设 的坐标为 ，则由中点坐标公式可得 ，故 ，
所以 ；
（3）直线AB的斜率为 ，
所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为 ，
故AB边的高所在直线方程为 ,化为一般式可得： .
18．已知点 ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作曲线 的两条切线分别交抛物线于 ， 两点，求直线 的斜率.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据线段的数量关系，结合两点距离公式，即可得动点 的轨迹 的方程；
（2）由题意可设切线方程为 ，联立轨迹 的方程，根据 求k值，再将所得两切线方程
与抛物线联立求 ， 纵坐标，结合 求斜率.
【详解】（1）设 ，由 ， ， ，
∴可得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故动点 的轨迹 为 ；
（2）由题意知，切线斜率存在且不为 ，设切线方程为 ，
联立 ，得 ，化简得 ，
，解得 ，
∴切线方程为 和 ，
联立 ， ，解得 ， ，
∴ .
【点睛】关键点点睛：
（1）设动点，根据题设，应用两点距离公式求轨迹；
（2）设切线方程(注意斜率是否存在)，根据与轨迹 相切有 求斜率，再求两切线与抛物线的交点纵
坐标，应用两点式求斜率
19．已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点
的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为 ，设 ， ，联立椭圆方程结合韦达定理可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的关系，再由易知向量线性关系转化 ，计算即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
由离心率为 得 ，从而 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）
设 ， ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，同理可得， ．
因为 ， ．
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 是定值 .
20．（ 2023·河南开封·统考三模）已知抛物线E： 的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐
标为5，O为坐标原点， ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所
在直线方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据抛物线的定义结合条件求解即可；
（2）根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）∵H纵坐标为5，不妨设在第一象限内，
∴ ，过H做 轴于M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
∴所以抛物线E的方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
设 ， ，AB中点 ，
由 ，
， ， ，
，
∴ ，
则
∴ ，
∵AB的中点到准线的距离等于 ，
∴当 最小时，AB的中点到准线的距离最短．
∵ ，
当且仅当 时，解得 ，则 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线AB的方程为 或 .
【点睛】关键点睛：根据抛物线的定义，结合抛物线弦长公式、基本不等式是解题的关键.
21．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点，点 在第一象限，
为坐标原点．
(1)设 为抛物线 上的动点，求 的取值范围；
(2)记 的面积为 的面积为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求出抛物线 的焦点坐标，准线方程，设点 ，求出 关于 的函数关系，再利用
二次函数性质求解作答.
（2）设出直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，抛物线 的焦点 ，准线方程 ，设 ，
则 ，
因此 ，
而 ，即有 ，则当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 的取值范围是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，
由 消去 并整理得 ，显然 ，
设 ， ，则 ，即 ，
令 为点 ，于是 的面积为 ， 的面积为 ，
因此 ，当且仅当 ，即 时取等
号，
所以 的最小值为 .
22．已知双曲线 是其左、右两个焦点． 是位于双曲线 右支上一点，平面内还存在
满足 ．
(1)若 的坐标为 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，试判断 是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若 位于双曲线上，试用 表示 ，并求出 时 的值．
【答案】(1)
(2) 在双曲线上；理由见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3) ；
【分析】（1）根据双曲线方程求出 的坐标，由 及向量的坐标运算，求出点 的坐标，再利
用点 在双曲线上即可求解；
（2）根据 及向量的线性运算，得出 及点 在双曲线上，求出点 的坐标，根据
，求出点 的坐标，结合点与双曲线的位置关系即可求解；
（3）根据 及向量的坐标运算，得出点 的坐标，利用点 在双曲线上及向量的数量积的坐标
运算即可求解.
【详解】（1）∵ ，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
将 代入双曲线方程 中，化简得 ，
解得 或 （舍去）.
所以 的值为 .
（2）由（1）知， ，
，
设 ，则 ，
因为点 在双曲线上，所以 ①，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②，
联立①②，得 ，所以 ，
设 ,所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
将点 代入双曲线方程 中，即 ，
所以Q在双曲线上
（3）由（1）知， ，
设 ， ，则
因为 ，
所以 ，解得 ，所以 ,
因为点Q在双曲线上，所以 即 ，
化简得 ， ，
∴ ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入 ，解得 .
所以 的值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
