曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
8.3 直线、平面垂直的判定与性质
考点 直线、平面垂直的判定与性质
1.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
··· ···
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
··· ···
答案 D 若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行
于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α
内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直
的性质定理知m∥n,故D正确.
2.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
答案 A 对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可
能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相
交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.
3.(2015广东,6,5分)若直线l 和l 是异面直线,l 在平面α内,l 在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列
1 2 1 2
命题正确的是( )
A.l与l,l 都不相交
1 2
B.l与l,l 都相交
1 2
C.l至多与l,l 中的一条相交
1 2
D.l至少与l,l 中的一条相交
1 2
答案 D 解法一:如图1,l 与l 是异面直线,l 与l平行,l 与l相交,故A,B不正确;如图2,l 与l 是异面直
1 2 1 2 1 2
线,l,l 都与l相交,故C不正确,选D.
1 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解法二:因为l分别与l,l 共面,故l与l,l 要么都不相交,要么至少与l,l 中的一条相交.若l与l,l 都不相交,则
1 2 1 2 1 2 1 2
l∥l,l∥l,从而l∥l,与l,l 是异面直线矛盾,故l至少与l,l 中的一条相交,选D.
1 2 1 2 1 2 1 2
4.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
答案 B 若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故
C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.
5.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l,l,l,l,满足l⊥l,l⊥l,l⊥l,则下列结论一定正确的是
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
( )
A.l⊥l
1 4
B.l∥l
1 4
C.l 与l 既不垂直也不平行
1 4
D.l 与l 的位置关系不确定
1 4
答案 D 由l⊥l,l⊥l 可知l 与l 的位置不确定,
1 2 2 3 1 3
若l∥l,则结合l⊥l,得l⊥l,所以排除选项B、C,
1 3 3 4 1 4
若l⊥l,则结合l⊥l,知l 与l 可能不垂直,所以排除选项A.故选D.
1 3 3 4 1 4
评析 本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.
6.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
答案 C 对于选项A、B、D,均能举出m∥α的反例;对于选项C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,故
选C.
7.(2013课标Ⅱ理,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β且l∥α曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
答案 D 若α∥β,则m∥n,这与m、n为异面直线矛盾,所以A不正确,α与β相交.将已知条件转化到正方体
中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D.
导师点睛 对于此类题,放入正方体中判断起来比较快捷.
8.(2013广东理,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
答案 D 若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,故A错;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,也可能异面,
故B错;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又知
n∥β,故α⊥β,所以D项正确.
9.(2011辽宁理,8,5分)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(
)
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案 D ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.
其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥SB.故A正确.易知B正确.
设AC与DB交于O点,连接SO.
则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,
又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确.
由排除法可知选D.
评析 本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线角的概念.属中档题.
10.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
答案 C ∵α∩β=l,∴l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.
11.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
答案 ②③④
解析 若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β可能平行或相交,故①错误;②显然成立;若α∥β,m⊂α,则m与β无公共点,
因而m∥β,故③正确;由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确.
π 1
12.(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= AD=a,E是AD的中点,O
2 2
是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△ABE的位置,得到四棱锥A-BCDE.
1 1
(1)证明:CD⊥平面AOC;
1
(2)当平面ABE⊥平面BCDE时,四棱锥A-BCDE的体积为36√2,求a的值.
1 1
解析 (1)证明:在题图1中,
1
因为AB=BC= AD=a,E是AD的中点,
2
π
∠BAD= ,所以BE⊥AC.
2
即在题图2中,BE⊥AO,BE⊥OC,
1
又AO∩OC=O,
1
从而BE⊥平面AOC,
1
又CD∥BE,
所以CD⊥平面AOC.
1
(2)由已知,平面ABE⊥平面BCDE,
1
且平面ABE∩平面BCDE=BE,
1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
又由(1)知,AO⊥BE,
1
所以AO⊥平面BCDE,
1
即AO是四棱锥A-BCDE的高.
1 1
√2 √2
由题图1知,AO= AB= a,平行四边形BCDE的面积
1
2 2
S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A-BCDE的体积为
1
1 1 √2 √2
V= ×S×AO= ×a2× a= a3,
1
3 3 2 6
√2
由 a3=36√2,得a=6.
6
评析 本题首先借“折叠”问题考查空间想象能力,同时考查线面垂直的判定及面面垂直性质的应用.
13.(2015福建,20,12分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且
PO=OB=1.
(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(3)若BC=√2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
解析 (1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面,
所以PO⊥AC.
因为DO∩PO=O,
所以AC⊥平面PDO.
(2)因为点C在圆O上,
所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.
1
又AB=2,所以△ABC面积的最大值为 ×2×1=1.
2
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,
1 1
故三棱锥P-ABC体积的最大值为 ×1×1= .
3 3
(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
所以PB= = .同理,PC= ,所以PB=PC=BC.
√12+12 √2 √2
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
又因为OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分PB,
√2 √6 √2+√6
即E为PB中点.从而OC'=OE+EC'= + = ,
2 2 2
√2+√6
亦即CE+OE的最小值为 .
2
解法二:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以∠OPB=45°,PB= = .同理PC= .
√12+12 √2 √2
所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
所以在△OC'P中,由余弦定理得:
OC'2=1+2-2×1×√2×cos(45°+60°)
=1+2-2 (√2 1 √2 √3)=2+ .
√2 × − × √3
2 2 2 2
√2+√6
从而OC'=√2+√3= .
2
√2 √6
所以CE+OE的最小值为 + .
2 2
评析 本题主要考查直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、
运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.
14.(2014福建文,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
(1)求证:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,
∴CD⊥平面ABD.
(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.
∵AB=BD=1,
1
∴S = .
△ABD
2
∵M是AD的中点,
1 1
∴S = S = .
△ABM
2
△ABD
4
由(1)知,CD⊥平面ABD,
∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,
1 1
因此V =V = S ·h= .
A-MBC C-ABM
3
△ABM
12
解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,
又平面ABD∩平面BCD=BD,
如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,
1 1
则MN⊥平面BCD,且MN= AB= ,
2 2
又CD⊥BD,BD=CD=1,
1
∴S = .
△BCD
2
∴三棱锥A-MBC的体积V =V -V
A-MBC A-BCD M-BCD
