8.4.1平面（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_必修2_02.同步练习_同步练习（第三套）_8.4.1平面新教材

第八章 立体几何初步 8.4.1 平面 一、基础巩固 1．下列命题的符号语言中，不是公理的是（ ） A． ， B． ，且 ，且 C． ， ，且 ， D． ， 【答案】A 【详解】 不是公理， 在 中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线， 故 是公理． 在 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故 是公理； 在 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故 是公理； 2．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】 结合图形可以得出平面 相交于一条直线 ，直线 在平面 内，直线 相交于点A， 结合选项可得C正确； 3．如图所示，正方体 中， 分别为棱 的中点，则在平面 内与平 面 平行的直线( ) A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条 【答案】D 【详解】 平面 与平面 有公共点 ， 由公理3知平面 与平面 必有过 的交线 ， 在平面 内与 平行的直线有无数条， 且它们都不在平面 内， 由线面平行的判定定理可知它们都与平面 平行. 4．下列说法正确的是（ ） A．任意三点确定一个平面 B．梯形一定是平面图形 C．平面 和 有不同在一条直线上的三个交点 D．一条直线和一个点确定一个平面【答案】B 【解析】 A选项，不共线的三点确定一个平面，A错． C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错． D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面． B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对， 5．如图，四棱锥 ， ， 是 的中点，直线 交平面 于点 ， 则下列结论正确的是（ ） A． 四点不共面 B． 四点共面 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】D 【详解】 直线 与直线 交于点 ，所以平面 与平面 交于点O，所以必相交于直线 ，直线 在平面 内，点 故 面 ，故 四点共面，所以A错． 点 若与 共面，则直线 在平面 内，与题目矛盾，故B错． 为中点，所以 ， ，故 ，故C错． 6．下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．四边相等的四边形 【答案】D 【详解】 利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形． 7．在空间四边形 的各边 上的依次取点 ，若 所在直 线相交于点 ，则（ ） A．点 必在直线 上 B．点 必在直线 上 C．点 必在平面 外 D．点 必在平面 内 【答案】B 【详解】 如图：连接EH、FG、BD， ∵EH、FG所在直线相交于点P， ∴P∈EH且P∈FG， ∵EH 平面ABD，FG 平面BCD， ∴P∈⊂平面ABD，且P⊂∈平面BCD， 由∵平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD， 故选B． 8．平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，则 与 的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 【答案】C 【详解】由题意，若三点分布在平面 的同侧，此时平面 平面 ； 若三点分布于平面 的两侧时，此时平面 与平面 相交， 综上可知，平面 与平面 平行或相交，故选C． 9．如图，在正方体 中， 为棱 的中点，用过点 的平面截去该正方体的上 半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 取 中点 ，连接 ．平面 为截面．如下图： 10．在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，那么正方体过 ， ， 的截面图是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【详解】 解：延长 交 的延长线与 ,连 交 于 ,则 为 的中点,延长 交 的延长线与 ,延长 交 的延长线与 , 连接 交 于 ,交 于 ,则易得 , 分别为 , 的中点, 连接 ,则截面为正六边形 为所求截面. 如图所示: 11．如图所示，ABCD－ABC D 是长方体，O是BD 的中点，直线AC交平面ABD 于点M，则下列结 1 1 1 1 1 1 1 1 1 论正确是( ) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A 不共面 1 C．A，M，C，O不共面 D．B，B，O，M共面 1 【答案】A 【详解】 连接AC ，AC，则AC ∥AC， 1 1 1 1 ∴A，C ，A，C四点共面， 1 1 ∴AC 平面ACC A， 1 1 1 ∵M∈⊂A 1 C，∴M∈平面ACC 1 A 1 ，又M∈平面AB 1 D 1 ， ∴M在平面ACC A 与平面ABD 的交线上， 1 1 1 1同理O在平面ACC A 与平面ABD 的交线上． 1 1 1 1 ∴A，M，O三点共线． 12．下列说法中正确的个数是（ ） ①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②平行四边形可以确定一个平面； ③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④若 ，且 ，则 在 上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确； 对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确； 对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确； 对于④，由公理可得，若 ，则 ，故④正确. 二、拓展提升 13．如图所示，在空间四面体 中， 分别是 ， 的中点， 分别是 ， 上的 点，且 .求证：（1） 四点共面； （2）直线 共点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】 （1）连接 ， ， 分别是 的中点， . 又 ， ， ， 四点共面. （2）易知 与直线 不平行，但共面，∴设 ，则 平面 ， 平面 . ∵平面 平面 ， ，∴直线 共点. 14.已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角． 【答案】(1)证明见解析；(2) 45°. 【详解】 (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以 A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线． (2)解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线 EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝ AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成 的角为45°. ABCDABC D AA 15．如图所示，在正方体 1 1 1 1中， E 为 AB 的中点， F 为 1的中点. E,C,D,F 求证：（1） 1 四点共面； CE,DF,DA （2） 1 三线共点. 【答案】（1）见证明 （2）见证明 【详解】EF,AB,DC 证明：（1）连接 1 1 . E，F AB AA ∵ 分别是 和 1的中点， 1 EF∥AB,EF  AB ∴ 1 2 1 . AD∥BC∥BC,AD =BC =BC 又 1 1 1 1 1 1 1 1 ， ADCB ∴四边形 1 1 是平行四边形， ABPCD ∴ 1 1， EF∥CD ∴ 1， EF CD ∴ 与 1确定一个平面， E,C,D,F ∴ 1 四点共面． 1 EF  CD （2）由（1）知， EF∥CD ，且 2 1， 1 ∴直线 D 1 F 与 CE 必相交，设 D 1 F  CE  P . DF  AADD PDF ∵ 1 平面 1 1 ， 1 ， P AADD ∴ 平面 1 1 . CE  ABCD PEC 又 平面 ， ，P ABCD P ABCD AADD ∴ 平面 ，即 是平面 与平面 1 1 的公共点， ABCD AADD AD 又平面 平面 1 1 ， ∴PAD， CE,DF,DA ∴ 1 三线共点．