文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 4 章 基本平面图形》
4.1 线段、射线、直线
线段、射线、直线相关概念
知识点一
◆1、线段、射线、直线
（1）线段：绷紧的琴弦、筷子可以近似的看作线段.线段有两个端点，不能向任何方向延伸.
（2）射线：射向空中的光可以近似的看作是射线.在几何上，我们把线段向一个方向无限延长就形成了射
线.
射线有一个端点，可以向一个方向延伸.
（3）直线：向远方延伸的铁轨、公路可以近似的看作是直线.在几何上，我们把线段向两个方向无限延长
就形成了直线.直线没有端点，可以向两个方向延伸.
◆2、线段、射线、直线三者的联系：
（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线.
（3）线段和射线都是直线的一部分.
◆3、线段、射线、直线的表示方法、联系与区别
直线 射线 线段
图形
用两个大写字母表示： 用它的端点和射线上 用表示端点的两个大写字母
的另一点来表示：射 表示：线段 AB ( 或线段
直线AB或（直线BA）
1 线OA BA )
表示方法
用一个小写字母表示： 用一个小写字母表 用一个小写字母表示：
示：
2 直线m 线段 a
射线d
端点个数 0个 1个 2个
伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸
1度量 不可度量 不可度量 可度量
◆4、点与直线的位置关系
（1）点在直线上，也可以说直线经过该点.
（2）点在直线外，也可以说直线不经过该点.
示例：点与直线的位置关系
如图，点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 外.
或者说：直线 l 经过点 A， 直线 l 不经过点 B (点 B 不在直线 l 上).
◆5、基本事实：经过两点有且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线.
两点之间线段最短
知识点二
◆1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 .
◆2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
比较两条线段的长短
知识点三
◆比较两条线段的长短
方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较；
方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较；
利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较
图1 图2 图3
①如图1若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB ＜CD.
②如图2若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D重合，那么 AB = CD.
③如图3若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB＞ CD.
2作一条线段等于已知线段
知识点四
◆1、用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规
作图，这就是尺规作图.
◆2、线段的画法：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法：
①画射线AC；②在射线AC上截取AB=a.
◆3、线段的和、差、倍、分
（1）线段的和、差的意义及画法
在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是 a与 b的和，记作AC= a＋b
，如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是a 与b 的差，记作AD= a－b.
（2）线段倍、分的意义：如图，线段 AB 上有 M、N、P 三点，它们的长度关系是：
1 2
AM＝ MN ＝NP=PB，则AN=2AM，AP=3AM，MN= AN，NP= AP等.
2 3
线段的中点及等分点的概念
知识点五
◆1、线段的中点：
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.
◆2、等分线段
（1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点.
1
如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB .
3
3（2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点.
1
如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB .
4
题型一 直线、射线、线段的表示方法
解题技巧提炼
直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表
示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母
表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前
边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端
点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
1．（2023秋•三元区期末）下列各图中，表示“射线CD”的是（ ）
4A． B．
C． D．
2．（2023秋•孝南区期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．线段AB与线段BA是同一条线段
C．射线OA与射线OB是同一条射线
D．射线OA与射线AB是同一条射线
3．（2023秋•卢龙县期中）如图中射线OA与OB表示同一条射线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋•襄城县期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论：
①图中共有2条直线；
②图中共有7条射线；
③图中共有6条线段；
④图中射线BD与射线CD是同一条射线．
其中结论错误的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
5．（2023秋•泊头市期末）如图，已知三点A，B，C画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上述语句画
图正确的是（ ）
5A． B．
C． D．
题型二 点与直线的位置关系
解题技巧提炼
点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明
点在直线外．
1．如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．点B在直线MC上
B．点A在直线BC外
C．点C在线段MB上
D．点M在线段CB的延长线上
2．下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，点C在线段BA上
B．如图2所示，射线BC经过点A
C．如图3所示，延长线段AB到点C
D．如图4所示，图中共有4条射线
3．（2023秋•鞍山期末）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）
6A．点P在直线AB外 B．点C在直线AB外
C．直线AC不经过点M D．直线AC经过点B
4．（2023秋•栾城区期中）下列说法错误的是（ ）
A． 直线l经过点A
B． 直线a，b相交于点A
C． 点C在线段AB上
D． 射线CD与线段AB有公共点
5．（2023秋•朝阳区期末）（1）读语句，并画出图形：三条直线AB，BC，AC两两相交，在射线AB上
取一点D（不与点A重合），使得BD＝AB，连接CD．
（2）在（1）的条件下，回答问题：
①用适当的语句表述点D与直线BC的关系： ；
②若AB＝3，则AD＝ ．
题型三 两条直线相交
解题技巧提炼
两条直线相交：当两条直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公
共点叫做它们的交点.
1．（2023秋•汉阳区期末）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（ ）
7A． B．
C． D．
2．（2023秋•天元区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线BC经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
3．（2023春•钢城区期末）如图，下列表述不正确的是（ ）
A．直线AC和直线BC相交于点C
B．点D在直线AB外
C．线段BD和射线AC都是直线CD的一部分
D．直线BD不经过点A
4．直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：
①点B在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC的交
点，以上语句正确的有 （只填写序号）
85．根据下列语句，画出图形．
已知四点A、B、C、D．
①画直线AB；
②连接AC、BD，相交于点O；
③画射线AD、BC，交于点P．
题型四 线段的尺规作图问题
解题技巧提炼
1、尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规
作图.
2、做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，
再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段
等于已知线段．
1．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN，
使MN＝2b﹣a．
2．（2023秋•碑林区校级期末）如图，已知线段a,b,请用尺规求作线段AB，使得AB=2a+b（不写作法，
保留作图痕迹）．
93．尺规作图：如图，已知线段a,b（a＞2b），求作线段AB，使得AB=a﹣2b.（不写作法，但要保留作
图痕迹）
4．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN，使MN＝2b﹣
a．
5．如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图：
（1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
（2）连接BC，并延长BC到E，使CE＝2BC．
题型五 直线的基本事实的应用
10解题技巧提炼
直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
1．（2023秋•越秀区期末）小明想在墙上钉一根细木条，要使细木条固定，至少需钉的钉子个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024•新城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用
数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ）
A．过一点有无数条直线
B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
3．（2023秋•霍林郭勒市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释
的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
4．（2023秋•长垣市期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一
条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
5．（2023秋•慈利县期末）开学整理教室时，卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依
11次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，其运用的数学原理是 ．
题型六 线段的基本事实的应用
解题技巧提炼
1、线段的性质：两点之间线段最短
2、线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段
等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
1．（2023秋•罗庄区期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原
树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
2．（2023秋•晋州市期中）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（
）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2023秋•遵化市期中）下列说法中，不能用“两点之间，线段最短”来解释的有（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③把弯曲的公路改直就能缩短路程．
12A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2024•船营区一模）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学
道理是 ．
5．（2023秋•安乡县期末）如图，从教室到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪，虽然明知不对，
可他们还是要这样做，用我们所学的数学知识可以解释他们的动机： ．
题型七 线段的和、差、倍、分
解题技巧提炼
1、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
2、线段的和、差、倍、分
1
如图，AC＝BC，C为AB 中点，AC= AB，AB＝2AC，D 为CB 中点，则 CD＝
2
1 1
DB= CB= AB，
2 4
AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
1．（2023秋•深圳期末）如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（ ）
13A．A′B′＞AB
B．A′B′＝AB
C．A′B′＜AB
D．没有刻度尺，无法确定
2．（2024•滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（ ）
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定
3．（2023秋•铁西区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC
1 1
C．CD= BC D．CD= AB﹣BD
2 2
4．（2023秋•柘城县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段
关系的式子不正确的是（ ）
A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB
1 1
C．CD＝AD− AB D．AD= （CD+AB）
2 2
1
5．（2023秋•官渡区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①AC+BC＝AB；②AC=
2
AB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判断点C是线段AB中点的有（ ）
A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
6．（2023秋•定远县期末）如图，点 C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有
（ ）
1
①CD＝AD﹣BD；②CD＝AD﹣BC；③2CD＝2AD﹣AB；④CD= AB
3
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
147．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AM＝BN，则
AC＝BD；②若AB＝3BD，则AD＝BM；③AB﹣CD＝2MN；④AC﹣BD＝3（MC﹣DN）．其中正
确的结论是 （填序号）．
题型八 线段的计算问题
解题技巧提炼
1、求线段的长，通常先将待求线段转化成其它线段的和或差，在转化时尽可能
向已知长度的线段或与中点相
关联的线段.
2、当已知几条线段之间的比的关系或倍、分关系时，通常采用设未知数列方程
的方法求解线段的长.
3、当点的位置不确定时，我们要分情况画图分类讨论，确定所有可能的情况，
然后根据中点的概念以及图形进行相关计算．
1．（2023秋•兴隆县期中）如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC
＝6，则CD＝（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
2．已知线段AB＝8cm，点P在直线AB上，AP＝2cm，则线段BP的长是（ ）
A．6cm B．10cm C．12cm D．6cm或10cm
3．（2023秋•深圳期末）如图所示，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6，DB＝4，则CD的
长度是 ．
1
4．（2023秋•九龙坡区期末）线段AB＝12cm，点C在线段AB上，且AC= BC，M为BC的中点，则AM
3
的长为 cm．
5．（2023秋•文山市期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度．
（2）若AB＝6，求MN的长度．
153
6．（2023秋•随县期末）如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，AC= CB，D、E分别为AC、AB
2
的中点，求DE的长．
7．（2023秋•伊川县期末）线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，求DE的长？
（2）若AC＝4cm，求DE的长．
8．（2023秋•河池期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、
AB的中点．求：
（1）求AD的长度；
（2）求DE的长度；
（3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度．
题型九 类比线段计数规律解决实际问题
16解题技巧提炼
n(n−1)
1.直线的条数：过平面上 n（n≥2）个点中的任意两点画直线，最多可以画
2
条
.
n(n−1)
2.线段的条数:线段上共有 n（n≥2）个点（包含两个端点）时，共有条 线
2
段.
n(n−1)
3.交点的个数 ：n（n≥2）条直线相交，最多有 个交点.
2
1．往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（ ）种不同的车票．
A．4 B．8 C．10 D．20
2．（2023秋•定西期末）由西安北站到兰州西站的D2681号动车，运行途中停靠的车站依次是西安北—岐
山—宝鸡南—天水南—定西北—兰州西，则铁路运营公司要为这条线路（往返路线都包括）制作的车票
共 种．
3．（2023秋•振兴区校级期中）某高铁线路为往返于 A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、
D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种
票价．
4．（2023秋•宜城市期末）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点
的线段共有 条．
【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．
【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比
赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
5．（2023秋•宜城市期末）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端
点的线段共有 条．
【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．
【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比
赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
17题型十 动点问题
解题技巧提炼
解决线段的动点运动问题关键是化动为静，以不变应万变，查找突破口（动点速
度，运动的路程等），设出未知数，建立所求的的等量关系式，求出未知数等
等，有时还需要分类讨论.一般的步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求
正解.
1．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是﹣4，﹣2，3．
（1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C
分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒：
①点A、B、C表示的数分别是 、 、 （用含a、t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为d ，点A与点B之间的距离表示为d ，当a为何值时，5d ﹣3d 的
1 2 1 2
值不会随着时间t的变化而改变，并求此时5d ﹣3d 的值．
1 2
2．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，
M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
（1）当PB＝2AM时，求x的值；
（2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP＝ ，请填空并说明理由；
（3）如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN
的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
183．（2023秋•广州期末）如图，线段AB＝20cm，C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线
段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停止．若
P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s．
（1）AC＝ cm．
（2）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求
出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
4．（2023春•罗湖区校级期末）如图，已知数轴上点 A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动
点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
（1）写出数轴上点B所表示的数 ；
（2）点P所表示的数 ；（用含t的代数式表示）；
（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，
说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
195．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线
段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．
（2）【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，
当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．
①点M在运动的过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）．
②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．
③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M
是线段AN的“二倍点”时t的值．
20
