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第八章 立体几何初步 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台的中截面的面积为( ).
A.10 B.8 C.9 D.
2、(4分)已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合，设集合
，则T表示的区域的面积为( )
A. B.π C. D.
3、(4分)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体
积为( )
A.π B. C. D.
4、(4分)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C.2 D.
5、(4分)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且
，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则 的最小值为(
)
A. B.3 C.4 D.
6、(4分)若把一个高为10cm的圆柱的底面画在 平面上，则圆柱的高应画成( )
A.平行于 轴且大小为10cm
B.平行于 轴且大小为5cm
C.与 轴成45°且大小为10cm
D.与 轴成45°且大小为5cm
7、(4分)用斜二测画法画水平放置的 时，若 的两边分别平行于x轴、y轴，且 ，
则在直观图中 ( )A.45° B.135° C.45°或135° D.90°
8、(4分)下列命题中假命题是( )
A.如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么
B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
C.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
D.如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
9、(4分)如图所示，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，侧棱 ， ，
则它的五个面中，互相垂直的共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
10、(4分)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为
，则三棱锥 体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共25分)
11、(5分)如图，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形， ，
，D是 的中点，点F在线段 上，当 ____________时， 平面 .
12、(5分)如图所示的直观图 ，其平面图形的面积为_______.13、(5分)在棱长为4的正方体 中，E，F分别是BC和 的中点，经过点A，
E，F的平面把正方体 截成两部分，则截面与 的交线段长为________.
14、(5分)已知l，m是平面 外的两条不同直线，给出下列三个论断：
① ；② ；③ .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
________________.
15、(5分)已知四棱锥 的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面 底面ABCD，且
，则该四棱锥 的外接球的表面积为______________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)如图所示， 平面ABC，点C在以AB为直径的 上，点E为线段PB的中点，点
M在 上，且 .
（1）求证：平面 平面PAC；
（2）求证：平面 平面PCB.
17、(9分)如图，四棱锥 中， 底面 分别为PC，DC的
中点， .
(1)证明：平面 平面EBF.
(2)求三棱锥 的体积.
18、(9分)如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形， ，
平面 平面ABCD，点M为PC上一点.(1)若 平面MBD，求证：点M为PC中点.
(2)求证：平面 平面PCD.
19、(9分)如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形， 为等边三角形，平面
平面 ，
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证： 平面PAD.
(2)求证： 平面PCD.
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.参考答案
1、答案：C
解析：设圆台的上、下底面半径分别为 、 ，圆台中截面的半径为 ，则 ，
，解得 ， ，所以 ，所以 .
2、答案：B
解析：设O为 的中心，连接PO，AO，在正三角形ABC中， ，在
中， ，当 时，连接OQ，根据勾股定理可得
，易知Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，由于集合 ，
故集合T表示的区每的面积为π，故选B.
3、答案：B
解析：由圆柱的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，知球的直径为2，因此球的半径
.因为圆柱的高 ，所以圆柱的底面半径为 .由圆柱体的
体积公式得 .故选B.
4、答案：C
解析：依题意可知，半圆的弧长为 ，圆心角的弧度数为 ，由弧长公式可得该圆锥的母
线长为 .
5、答案：A
解析：如图，将 绕AB旋转到 的位置，并且点P在CB的延长线上，连接PG，交AB
于点F，此时 最小.
由已知可知轴截面ABCD是边长为2的正方形，所以 .在 中，由余弦定理得 ，
.故选A.
6、答案：A
解析：
7、答案：C
解析：
8、答案：D
解析：因为平面 内任意一点可以是交线上一点，所以过这一点的垂线不一定垂直于平面 .故
选D.
9、答案：C
解析：因为 ， ，所以 ， ，所以
， .因为 ，所以 底面ABCD.因为 平面PAB， 平面
PAD，所以平面 平面ABCD，平面 平面ABCD.因为四边形ABCD是正方形，所以
平面PAD，可得平面 平面PAD， 平面PAB，可得平面 平面PBC，
平面PAD，可得平面 平面PCD.故选C.
10、答案：B
解析：如图所示，点M为 的中心，点E为AC的中点，点O为球心，显然当 平面
ABC时，三棱锥 的体积最大.因为球的半径为4，所以 .因为 为等边三
角形且面积为 ，所以 ，解得 .因为点M为 的中心，所以
.在 中，根据勾股定理可知，
，所以 ，所以三棱锥 体
积的最大值为 .故选B.11、答案：a或2a
解析：由已知得 是等腰直角三角形， ，D是 的中点， . 平面
平面 ，平面 平面 ， 平面 .又 平面
， .若 平面 ，则 .设 ，则 ，
， ， ，解得 或2a.
12、答案：6
解析：由直观图可知其对应的平面图形AOB中， ，
所以 .
13、答案：
解析：如图，连接AE并延长交DC延长线于M，连接FM交 于G，连接EG并延长交 延长
线于N，连接NF并延长交 于H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截
面，因为E为BC的中点，所以 ，因为 ，所以 ，所以
，所以 ,因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以截面与 的交线段长为
，故答案为： .14、答案：若 ， ，则 （答案不唯一）
解析：由题意可得到以下三个命题.
（1）若①②，则③，即若 ， ，则 ，不成立.
（举反例）如图， ，l， 且 ， ，显然l与 并不垂直.
（2）若①③，则②，即 ， ，则 ，成立.
若 ， ，则 或 .又已知m为平面 外的直线，
则 成立.
（3）若②③，则①，即 ， ，则 ，成立.
如图，若 ，则在 内存在直线n与m平行，即 且 .又 ， .
又 ， .
15、答案：
解析：设正方形ABCD的中心为 ，三角形PAB的外心为G，取AB的中点E，连接EG， ，
，则 ， ，分别以EG， 为邻边作平行四边形 ，如图.因为侧面
底面ABCD， ，所以 .则 平面ABCD， 平面PAB，则
，所以点O就是该四棱锥外接球的球心.由 ， ，
，解得 .设该四棱锥的外接球半径为R，在 中，
，则四棱锥 的外接球的表面积为
.故答案为 .16、答案：（1）见解析（2）见解析
解析：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点,
所以 .
因为 平面PAC, 平面PAC，
所以 平面PAC.
因为 , 平面PAC, 平面PAC，
所以 平面PAC.
因为 平面MOE, 平面MOE, ，
所以平面 平面PAC.
（2）因为点C在以AB为直径的 上，
所以 ，即 .
因为 平面ABC, 平面ABC，
所以 .
因为 平面PAC, 平面PAC, ，
所以 平面PAC.
因为 平面PCB，
所以平面 平面PCB.
17、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)由已知F为CD的中点，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以四边形ABFD为平行四边形，所以 ，
又因为 平面PAD， 平面PAD，
所以 平面PAD，
在 中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以 ，
因为 平面 平面PAD，所以 平面PAD，因为 ，所以平面 平面EBF.
(2)由已知E为PC中点，
，
又因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以三棱锥 的体积 .
18、答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)连接AC交BD于O，
连接OM，如图所示；
因为 平面 平面PAC，
平面 平面 ，
所以 .
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，所以M是PC的中点.
(2)在 中， ，
所以 ，
所以 ，所以 .
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 ，所以 .
又因为平面 平面ABCD，
且平面 平面 平面ABCD，
所以 平面PCD.因为 平面MBD，
所以平面 平面PCD.
19、答案：(1)见解析.
(2)见解析.
(3)正弦值为 .
解析：(1)连接BD，易知 ，
又由 ，故 ，
又因为 平面 平面PAD，
所以 平面PAD.
(2)取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得 ，
又因为平面 平面PCD，平面 平面 ，
所以 平面PAC，
又 平面PAC，故 ，
又因为 ，
所以 平面PCD.
(3)连接AN，由(2)中 平面PAC，可知 为直线AD与平面PAC所成的角.
因为 为等边三角形， 且N为PC的中点，
所以 ，又 ，
在 中， ，
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 .
