8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_必修2_02.同步练习_同步练习（第三套）_8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系新教材

第八章 立体几何初步 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、基础巩固 1．若直线 平面 ，直线 ，则（ ） A． B． 与 异面 C． 与 相交 D． 与 没有公共点 【答案】D 【详解】 若直线 平面 ，直线 ，则 或 与 异面，故 与 没有公共点 2.空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【详解】 解：取 中点 ，连接 ,由已知得 ， 又 平面 , 所以 平面 ， 因此 , 3.已知直线l和平面α，若 ， ，则过点P且平行于l的直线（ ） A．只有一条，不在平面α内 B．只有一条，且在平面α内 C．有无数条，一定在平面α内 D．有无数条，一定不在平面α内 【答案】B 【详解】 假设过点P且平行于 的直线有两条 与 ，∴ 且 ， 由平行公理得 ，这与两条直线 与 相交与点 相矛盾. 4.如图，在直三棱柱 中，D为 的中点， ， ，则异面 直线BD与AC所成的角为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，取 的中点 ，连接 ， ， 则 , 所以 即为异面直线 与 所成的角或其补角， 由已知可得 ，三角形 为正三角形， 所以 ， 所以异面直线 与 所成的角为 . 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D【详解】 选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面； 选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D正确，由 ， 便得 ，又 ， ，即 . 6．如图，AB C —ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D、F 分别是AB 、AC 的中点，若 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BC=CA=CC ，则BD 与AF 所成角的余弦值是（ ） 1 1 1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 取BC的中点D，连接DF，FD, 1 1 1 ∴DB∥DF 1 1, ∴∠DF A或其补角就是BD 与AF 所成角, 1 1 1 设BC＝CA＝CC ＝2，则AD ，AF ，DF , 1 1 1 在△DF A中，由余弦定理得cos∠DF A ， 1 17.已知平面 平面 ， ，点 ， ，直线 ，直线 ，直线 ， ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示： 由于 ， ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，故A正确， 由于 ， ，所以 ，故B正确， 由于 ， ， 在 外，所以 ，故C正确； 对于D，虽然 ，当 不一定在平面 内，故它可以与平面 相交、平行，不一定垂直，所以D 不正确； 8．已知三条互不相同的直线 和三个互不相同的平面 ，现给出下列三个命题： ①若 与 为异面直线， ，则 ； ②若 ， ，则 ； ③若 ，则 . 其中真命题的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】①中，两平面也可能相交，故①错误； ②中， 与 也可能异面，故②错误； ③中，易知 ，又 ，所以由线面平行的性质定理知 ，同理 ，所以 ， 故③正确. 9.在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连结 交 于点 ，取 的中点 ，连结 ， 因为点 分布是 的中点，所以 ，即异面直线 与 所成角是 或是其 补角， 设 ，则底面边长 ， ，同理 ， ， 中， ， ， 所以 ，所以 ，即异面直线 与 所成角是 . 10.如果直线 平面 ，那么直线 与平面 内的（ ） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交【答案】D 【详解】 根据线面平行的定义，直线 平面 ，则线面无公共点， 对于C，要注意“无数”并不代表所有. 11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥ 平面MNP的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC， ∴AB∥平面MNP，故A成立； 对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N， ∴AB与面MNP不平行，故B不成立；对于C，过M作ME∥AB，则E是中点， 则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交， ∴AB与面MNP不平行，故C不成立； 对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立. 12．在正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F ， G 分别为 BC ， CC 1， BB 1的中点，则（ ）DD AF A． 1 AG// AEF B． 1 平面 10 C．异面直线A 1 G 与 EF 所成角的余弦值为 10 G AEF C AEF D．点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的2倍 【答案】BCD 【详解】 DD//AA AA DD 由于 1 1 ，而 1 与 AF 不垂直，因此异面直线 1 与 AF 不能垂直，则A错误； BC Q GQ AQ 取 1 1的中点 ，连接 ， 1 ， GQ//EF AQ//AE GQ// AEF AQ// AEF 由条件可知： ， 1 ，所以 平面 ， 1 平面 ， 又 GQ  A 1 QQ ， EF  AE  E ，所以平面 A 1 GQ// 平面 AEF ， AG AGQ AG// AEF 又因为 1 平面 1 ，所以 1 平面 ，则B正确； AG AGQ 异面直线 1 与 EF 所成的角为 1 或其补角，AG  AQ 5 QG  2 设正方体的棱长为2，则 1 1 ， ， 10 cosAGQ 由余弦定理知 1 10 ，则C正确； GC FE O GC AEF 对于D，连接 ，与 交于 (也是 与平面 的交点)， GF G C AEF h h 连接 ，设点 与点 到平面 的距离分别为 1， 2， h GO GF 1   2 则h OC EC ， 2 G AEF C AEF 所以点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的2倍，则D正确. 二、拓展提升 13.如图，在正方体 中，E，F， ， 分别为棱AD，AB， ， 的中点.求证： . 【答案】见解析 【详解】 证明：如图,在正方体 中,取 的中点M,连接BM,由题意得 又 ∴四边形 为平行四边形 ∴ 又 ,M分别为 , 的中点,则 而 ∴ ∴四边形 为平行四边形 ∴ 又 ∴ 同理可得 ∴ 与 的两边分别平行,且方向都相反 ∴ .A △BCD E F BC AD 14.如图所示， 是 所在平面外的一点， ， 分别是 ， 的中点. EF ABC （1）判断直线 与平面 的位置关系. （2）判断直线EF 与直线BD的位置关系. AC  BD AC  BD EF BD （3）若 ， ，求 与 所成的角. 【答案】（1）相交；（2）异面；（3）45°. 【详解】 EBC,BC  ABC E ABC F ABC EF ABC 解：（1）因为 面 ，所以 面 ，又 面 ，所以直线 与平面 的位置关系是相交； EF ABC EBD EF BD （2）由（1）得直线 与平面 的位置关系是相交，又 ，所以直线 与直线 的位置关 系是异面； CD G EG FG AC//FG EG//BD （3）取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ， EF EG EF BD 所以相交直线 与 所成的角，即为异面直线 与 所成的角. AC  BD FG  EG 又因为 ，则 . 1 EG  FG  AC 在Rt  EGF 中，由 2 ，所以FEG 45，即异面直线EF 与BD所成的角为45°.ABCABC 15．在直三棱柱 1 1 1中，∠ABC=90°，AB=BC=1. BC （1）求异面直线 1 1与AC所成角的大小； AC A （2）若直线 1 与平面ABC所成角为45°，求三棱锥 1—ABC的体积. 2 【答案】（1）45；（2） 6 ． 【详解】 ABCABC BC //BC BC BCA （1）在直三棱柱 1 1 1中 1 1 ，所以异面直线 1 1与AC所成角为 （或其补角）， BCA 45 又∠ABC=90°，AB=BC=1，所以 ， BC 45 所以异面直线 1 1与AC所成角为 ； ABCABC AA  ABC AC ACA45 （2）在直三棱柱 1 1 1中， 1 平面 ，所以直线 1 与平面ABC所成角为 1 ，AA  AC  2 所以 1 ． 1 1 S  11 ABC 2 2 ， 1 1 1 2 V  AA S   2  所以 A 1 ABC 3 1 △ABC 3 2 6 ．