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第八章 立体几何初步
8.5.2 直线与平面平行
一、基础巩固
1.如果直线 平面 ，那么直线 与平面 内的（ ）
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
【答案】D
【详解】
根据线面平行的定义，直线 平面 ，则线面无公共点，
对于C，要注意“无数”并不代表所有.
2．如图，四棱锥 中， ， 分别为 ， 上的点，且 平面 ，则
A． B． C． D．以上均有可能
【答案】B
【详解】
四棱锥 中， ， 分别为 ， 上的点，且 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
由直线与平面平行的性质定理可得： ．3.已知正方体的棱 上存在一点 （不与端点重合），使得 平面 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
如图，设 ， 可得面 面 ，
∵ 平面 ，根据线面平行的性质可得 ，
∵ 为 的中点，∴ 为 中点，∴ ．
4.如图，在四面体 中，截面 是正方形，则在下列命题中，错误的为
A． B． 截面
C． D．异面直线 与 所成的角为
【答案】C
【详解】因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
5.如果直线 直线n，且 平面 ，那么n与 的位置关系是
A．相交 B． C． D． 或
【答案】D
【详解】
直线 直线 ,且 平面 ，
当 不在平面 内时，平面 内存在直线 ，
符合线面平行的判定定理可得 平面 ，
当 在平面 内时，也符合条件，
与 的位置关系是 或 ，
6．如图，在正方体ABCD-ABC D 中，已知E，F，G分别是线段AC 上的点，且AE＝EF＝FG＝GC .
1 1 1 1 1 1 1 1
则下列直线与平面ABD平行的是（ ）
1
A．CE B．CF C．CG D．CC
1
【答案】B
【详解】
如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接AO，CF，
1在正方体ABCD-ABC D 中，由于 ，
1 1 1 1
又OC＝ AC，可得： ，即四边形AOCF为平行四边形，
1
可得：AO∥CF，又AO⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，
1 1 1 1
可得CF∥平面ABD，
1
7.在正方体 中，下面四条直线中与平面 平行的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图所示，易知 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 .8.① ；② 平面 ；③ 平面 ；④ 平面 ；⑤ 平面
.其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
矩形 的对角线 与 交于点O，所以O为 的中点，在 中，M是 的中点，所以
是中位线，
故 .又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 .
因为点M在 上，所以 与平面 、平面 相交，所以④⑤错误.
故正确的结论为①②③，共有3个.
9.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或重合
【答案】C
【详解】
设α∩β＝l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．
又∵b⊂α，c⊄α，
∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，∴c∥l．
∴a∥l．
10．如图，在长方体 中， 、 分别是棱 和 的中点，过 的平面
分别交 和 于点 、 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
【答案】A
【详解】
在长方体 中， ， 、 分别为 、 的中点， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 平面 ， ，
又 ， ，
11.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥
平面MNP的图形是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，
∴AB∥平面MNP，故A成立；
对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，
∴AB与面MNP不平行，故B不成立；对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，
则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，
∴AB与面MNP不平行，故C不成立；
对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.
12.在正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F ， G 分别为 BC ， CC 1， BB 1的中点，则（ ）
DD AF
A． 1
AG//
B． 1 平面 AEF
10
C．异面直线A 1 G 与 EF 所成角的余弦值为 10G AEF C AEF
D．点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的2倍
【答案】BCD
【详解】
DD//AA AA DD
由于 1 1 ，而 1 与 AF 不垂直，因此异面直线 1 与 AF 不能垂直，则A错误；
BC Q GQ AQ
取 1 1的中点 ，连接 ， 1 ，
由条件可知： GQ//EF ， A 1 Q//AE ，所以 GQ// 平面 AEF ， A 1 Q// 平面 AEF ，
又 GQ A 1 Q Q ， EF AE E ，所以平面 A 1 GQ// 平面 AEF ，
AG AGQ AG//
又因为 1 平面 1 ，所以 1 平面 AEF ，则B正确；
AG AGQ
异面直线 1 与 EF 所成的角为 1 或其补角，
AG AQ 5 QG 2
设正方体的棱长为2，则 1 1 ， ，
10
cosAGQ
由余弦定理知 1 10 ，则C正确；
GC FE O GC AEF
对于D，连接 ，与 交于 (也是 与平面 的交点)，
连接 GF ，设点 G 与点 C 到平面 AEF 的距离分别为 h 1， h 2，
h GO GF
1 2
则h OC EC ，
2
G AEF C AEF
所以点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的2倍，则D正确.二、拓展提升
13．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ．点E是棱PC的中点，平面
与棱PD交于点F．
(1)求证: 平面 ；
(2) 求证： ；
【答案】（1）证明见解析；(2) 证明见解析.
【详解】
(1)因为底面 是菱形，所以 ，
因为 面 ， 面 ，所以 面 ．
(2)由(1)可知 面 ，
因为 四点共面，且平面 平面 ，
所以 ．
14.如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 是以 为斜边的
等腰直角三角形，且平面 平面 .（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】
（1）证明： ， 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）取 中点 ，连接 ， ，则 .
又平面 底面 ，
平面 ，
就是直线 与平面 所成的角.
由勾股定理可求得 ， ， ，
.
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
15．如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，点 ， 分别为 ，
的中点．（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取 的中点 ，连接 、 ，由已知结合三角形中位线定理可得 且
，得四边形 为平行四边形，从而可得 ，再由线面平行的判定可得 平面
；（Ⅱ）利用等积法可得： ，代入棱锥体积公式可得点 到平面 的距离．
试题解析：（Ⅰ）证明：取点 是 的中点，连接 ， ，则 ，且 ，
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 平面 ，所以点 到平面 的距离与 到平面 的距离是相等
的，故转化为求点 到平面 的距离，设为 ．利用等体积法： ，即 ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
