北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
8.2 椭圆
五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅱ,5,5分,易)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意
一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( A )
x2 y2 x2 y2
A. + =1(y>0) B. + =1(y>0)
16 4 16 8
y2 x2 y2 x2
C. + =1(y>0) D. + =1(y>0)
16 4 16 8
x2 y2 ( 3)
2.(2024全国甲理,20,12分,中)设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,点M 1, 在C
a2 b2 2
上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证
明:AQ⊥y轴.
解析 (1)∵MF⊥x轴,且M在C上,
b2 3
∴c=1, = ,结合c2=a2-b2,解得a=2,b=√3,
a 2
x2 y2
∴C的方程为 + =1.
4 3
(2)证明:当直线AB与x轴重合时显然符合题意.
当直线不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=ty+4,A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
{
x=ty+4,
联立 x2 y2 消去x得(4+3t2)y2+24ty+36=0,
+ =1,
4 3
由Δ=(24t)2-4×(4+3t2)×36=144(t2-4)>0,得t2>4,
−24t 36
由根与系数的关系得y +y = ,y y = ,
1 2 4+3t2 1 2 4+3t2
(5 )
∵N为FP的中点,∴N ,0 ,
2
y 2 ( x− 5)
∴直线NB的方程为y= 5 2 ,
x −
2 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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3 y
2
令x=1,解得y Q =- 2 ( x − 5),
2 2
3 y 2x y −5 y +3 y 2t y y +3(y + y )
2 2 1 1 2 1 2 1 2
∴y 1 -y Q =y 1 + 2 ( x − 5)= 2 ( x − 5) = 2 ( x − 5) ,
2 2 2 2 2 2
36 −24t
∵2ty y +3(y +y )=2t· +3· =0,
1 2 1 2 4+3t2 4+3t2
∴y =y ,即AQ⊥y轴.
1 Q
综上,AQ⊥y轴.
( 3) x2 y2
3.(2024新课标Ⅰ,16,15分,中)已知A(0,3)和P 3, 为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.
2 a2 b2
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
9
{ =1,
( 3) x2 y2 b2 {a2=12,
解析 (1)将A(0,3),P 3, 代入椭圆方程 + =1得 解得
2 a2 b2 9 9 b2=9,
+ =1,
a2 4b2
√ b2 1
所以椭圆的离心率e= 1− = .
a2 2
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=3,
1 9
此时S = ×3×3= ,不符合题意.
△ABP 2 2
3
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-3)+ ,
2
3
{y=k(x−3)+ ,
2
联立
x2 y2
+ =1,
12 9
消去y整理得(3+4k2)x2+(12k-24k2)x+36k2-36k-27=0,
设P(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
24k2−12k 36k2−36k−27
则x +x = ,x x = ,
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
6|2k+3|
∴|BP|=√1+k2·√(x +x ) 2−4x x =√1+k2· ,
1 2 1 2 3+4k2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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|3 |
+3k
又点A到直线l的距离d= 2 ,
√1+k2
|3 |
1 1 6|2k+3| +3k 1 3
∴S = |BP|·d= ×√1+k2· · 2 =9,解得k= 或k= ,
△ABP 2 2 3+4k2 2 2
√1+k2
1 3
∴直线l的方程为y= x或y= x-3.
2 2
考点1 椭圆的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,中)已知F ,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|
1 2
9 4
MF |·|MF |的最大值为 ( C )
1 2
A.13 B.12 C.9 D.6
x2
2.(2023全国甲文,7,5分,中)设F ,F 为椭圆C: +y2=1的两个焦点,点P在C上,若⃗PF ·
1 2 5 1
⃗PF =0,则|PF |·|PF |= ( B )
2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.5
x2
3.(2021全国乙文,11,5分,中)设B是椭圆C: +y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大
5
值为 ( A )
5
A. B.√6 C.√5 D.2
2
x2 y2 1
4.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A ,A 分别为C的
a2 b2 3 1 2
左、右顶点,B为C的上顶点.若⃗BA ·⃗BA =-1,则C的方程为 ( B )
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1 D. +y2=1
3 2 2
x2 y2
5.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,点P
1 2
9 6
3
在C上,cos∠F PF = ,则|OP|= ( B )
1 2 5
13 √30 14 √35
A. B. C. D.
5 2 5 2
x2 y2
6.(2022北京,19,15分,中)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2√3.
a2 b2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交
于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
x2
解析 (1)由题意得b=1,c=√3,则a=√12+(√3) 2=2,所以椭圆E的方程为 +y2=1.
4
(2)过点P且斜率为k的直线方程为y-1=k(x+2),设B(x ,y ),C(x ,y ),
1 1 2 2
{y−1=k(x+2),
联立直线和椭圆E的方程得 x2 可得(1+4k2)·x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由
+ y2=1,
4
Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)·(16k2+16k)>0,解得k<0,
−16k2−8k 16k2+16k
根据根与系数的关系可得x +x = ,x x = .
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
y −1 (y −1)x
直线AB的斜率k = 1 ,则直线AB的方程为y= 1 +1,令y=0,可得点M的横坐
AB x x
1 1
x
标x = 1 ,
M 1−y
1
x
同理可得点N的横坐标x = 2 ,
N 1−y
2
| x x | | x x |
则|MN|= 1 − 2 = 1 − 2
1−y 1−y −k(x +2) −k(x +2)
1 2 1 2
|1( x x ) | |1 x (x +2)−x (x +2)|
= 2 − 1 = · 2 1 1 2
k x +2 x +2 k x x +2(x +x )+4
2 1 1 2 1 2
| 1 2√(x +x ) 2−4x x |
= · 1 2 1 2 =2.
k x x +2(x +x )+4
1 2 1 2
| √ (−16k2−8k) 2 16k2+16k|
2 −4·
1
1+4k2 1+4k2
所以 · =2,
k 16k2+16k −16k2−8k
+2· +4
1+4k2 1+4k2
|√−k| 1
化简可得 = ,解得k=-4,
k 2
故k的值为-4.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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x2 y2
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C : + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦
1 a2 b2 2
点重合,C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A,B两点,交C 于
1 2 1 2
4
C,D两点,且|CD|= |AB|.
3
(1)求C 的离心率;
1
(2)设M是C 与C 的公共点.若|MF|=5,求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
解析 (1)由已知可设C 的方程为y2=4cx,其中c=√a2−b2.
2
b2 b2
不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为 ,- ;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,
a a
2b2
故|AB|= ,|CD|=4c.
a
4 8b2 c (c) 2 c c 1
由|CD|= |AB|得4c= ,即3× =2-2 .解得 =-2(舍去)或 = .
3 3a a a a a 2
1
所以C 的离心率为 .
1 2
x2 y2
(2)由(1)知a=2c,b=√3c,故C : + =1.
1 4c2 3c2
x2 y2 x2 4x
设M(x ,y ),则 0 + 0 =1,y2=4cx ,故 0 + 0=1.①
0 0 4c2 3c2 0 0 4c2 3c
(5−c) 2 4(5−c)
由于C 的准线为x=-c,所以|MF|=x +c,而|MF|=5,故x =5-c,代入①得 + =1,
2 0 0 4c2 3c
即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
x2 y2
所以C 的标准方程为 + =1,C 的标准方程为y2=12x.
1 36 27 2
考点2 椭圆的几何性质
x2 x2
1.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C : +y2=1(a>1),C : +y2=1的离心率分别为e ,e .若
1 a2 2 4 1 2
e =√3e ,则a= ( A )
2 1
2√3
A. B.√2
3
C.√3 D.√6
x2
2.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F ,F ,直线y=x+m与
1 2
3
C交于A,B两点,若△F AB面积是△F AB面积的2倍,则m= ( C )
1 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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2 √2
A. B.
3 3
√2 2
C.- D.-
3 3
x2 y2
3.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关
a2 b2
1
于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 ( A )
4
√3 √2
A. B.
2 2
1 1
C. D.
2 3
x2 y2
4.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点
a2 b2
P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( C )
[√2 ) [1 )
A. ,1 B. ,1
2 2
( √2] ( 1]
C. 0, D. 0,
2 2
x2 y2
5.(2022新高考Ⅱ,16,5分,中)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A,B两点,l与x
6 3
轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则l的方程为 x + √2 y -2 √2 =0 .
x2 y2
6.(2021全国甲,文16,理15,5分,中)已知F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上
1 2
16 4
关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F F |,则四边形PF QF 的面积为 8 .
1 2 1 2
x2 y2
7.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆 + =1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F 的直
a2 b2 1 2 1
( 1 ) 2
线和圆 x− c +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF ⊥x轴,则该直线的斜率是
2 2
2√5 √5
,椭圆的离心率是 .
5 5
x2 y2
8.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C: + =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为
a2 b2
1
F ,F ,离心率为 .过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是
1 2 2 1 2
13 .北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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三年模拟
练速度
x2 y2
1.(2024辽宁辽阳一模,1)若P为椭圆C: + =1上一点,F ,F 为C的两个焦点,且|PF |
1 2 2
121 96
=8,则|PF |= ( C )
1
A.10 B.12 C.14 D.16
x2 √2
2.(2024湖北七市州3月调研,4)已知椭圆C: +y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为
m 2
”的 ( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
x2 y2
3.(2024东北三省三校一模,4)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a>b>0)的左
a2 b2
顶点和上顶点分别为A,B,过椭圆C左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D.若
⃗OD=2⃗DB,则椭圆C的离心率为 ( D )
1 √3 1 2
A. B. C. D.
2 2 3 3
x2 y2
4.(2024广东一模,6)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 、F ,P为椭圆C
a2 b2 1 2
上一点,且|PF |=4|PF |,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( D )
1 2
[1 2) [2 3) [2 ) [3 )
A. , B. , C. ,1 D. ,1
5 5 5 5 5 5
x2 y2
5.(2024贵州六校联盟联考(三),8)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
a2 b2 1 2
过点F 的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若|F Q|∶|F P|∶|F Q|=1∶3∶5,则该椭圆的离心率为
2 2 1 1
( A )
√2 √2 √3 √3
A. B. C. D.
2 3 2 3
x2 y2
6.(2024湖南长沙雅礼中学月考八,7)已知点O为坐标原点,椭圆 + =1的左、右焦点
9 5
分别为F ,F ,点P在椭圆上,设线段PF 的中点为M,且|OF |=|OM|,则△PF F 的面积为(
1 2 1 2 1 2
A )
