文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题19解析几何中的定值、定点和定线问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2．（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【分析】（1）由题意得到关于 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点 ， 的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知
条件，已得到 的关系，进而得直线 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形
的性质即可确定满足题意的点 的位置.
【详解】（1）由题意可得： ，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)［方法一］：通性通法
设点 ，
若直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
可得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
根据 ,代入整理可得：
，所以 ，
整理化简得 ，
因为 不在直线 上，所以 ，
故 ，于是 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
由 得： ，
得 ，结合 可得： ，
解得： 或 （舍）.
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 ，
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 ，
若 与 重合，则 ，故存在点 ，使得 为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为 ，设直线
的方程为 ．将直线 方程与椭圆方程联立得 ，即，化简得 ，即
．
设 ，因为 则 ，即 ．
代入直线 方程中得 ．则在新坐标系下直线 过定点 ，则在原坐标系下直线
过定点 ．
又 ，D在以 为直径的圆上． 的中点 即为圆心Q．经检验，直线 垂直于x轴时也成
立．
故存在 ，使得 ．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为 ，即 ．设直线 的方程为 ，直线 的方程
为 ，直线 的方程为 ．由题意得 ．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线 可表示为
（其中 为系数）．
用直线 及点A处的切线可表示为 （其中 为系数）．
即 ．
对比 项、x项及y项系数得将①代入②③，消去 并化简得 ，即 ．
故直线 的方程为 ，直线 过定点 ．又 ，D在以 为直径的圆上．
中点 即为圆心Q．
经检验，直线 垂直于x轴时也成立．故存在 ，使得 ．
［方法四］：
设 ．
若直线 的斜率不存在，则 ．
因为 ，则 ，即 ．
由 ，解得 或 （舍）．
所以直线 的方程为 ．
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 ．
令 ，则 ．
又 ，令 ，则 ．
因为 ，所以 ，
即 或 ．当 时，直线 的方程为 ．所以直线 恒过 ，不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，所以直线 恒过 ．
综上，直线 恒过 ，所以 ．
又因为 ，即 ，所以点D在以线段 为直径的圆上运动．
取线段 的中点为 ，则 ．
所以存在定点Q，使得 为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点 ，再
根据平面几何知识可知定点 即为 的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线 的方程为 ，再通过与椭圆方程
联立，构建齐次式，由韦达定理求出 的关系，从而可知直线过定点 ，从而可知定点 即为 的中点，
该法是本题的最优解；
方法三：设直线 ，再利用过点 的曲线系，根据比较对应项系数可求出 的关系，从而
求出直线过定点 ，故可知定点 即为 的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解 以及
的计算．
3.（2020·全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得：
，问题得解.
（2）方法一：设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点
的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，当 时，可表示出直线
的方程，整理直线 的方程可得： 即可知直线过定点 ，当 时，直线 ：
，直线过点 ，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：（2）[方法一]：设而求点法
证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
当 时，
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
所以直线 过定点 ．当 时，直线 ： ，直线过点 ．
故直线CD过定点 ．
[方法二]【最优解】：数形结合
设 ，则直线 的方程为 ，即 ．
同理，可求直线 的方程为 ．
则经过直线 和直线 的方程可写为 ．
可化为 ．④
易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有 ，代入④式可得
．
故 ，可得 或 ．
其中 表示直线 ，则 表示直线 ．
令 ，得 ，即直线 恒过点 ．
【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属
于难题.
第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，
二次曲线系的应用使得计算更为简单.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，选择题、填空题、解答题三种题型均有，主要考查以下几个
方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二
是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查抛物线、双曲线的几何性质；四是考查直线与圆锥曲线（椭圆、抛物线较多）位置关系问题，
综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.
近几年，小题多用于考查抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等，命题角度呈现较强的灵活性；解答
题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及三角形面积、参数范围、最值、定值、定点、定直线等问题，命题方
向多变，难度基本稳定.近两年，直线与与双曲线的位置关系的主观题连续出现！
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 定点问题
【核心知识】
动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y
＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，
得出定点．
【典例分析】
典例1. （2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知椭圆 ： ，四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆 上.
(1)求 的方程；
(2)若斜率存在且不为0的直线 经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：
直线BD过x轴上的定点.【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.
（2）设直线 ， ， ，则 ，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定
理计算直线BD与x轴的焦点坐标即可.
【详解】（1）根据椭圆对称性，点 ， 必在椭圆上，
则 不在椭圆上， 在椭圆上，
，解得
所以 的方程为
（2）由（1）得右焦点 ，
设直线 ， ， ，则
联立 ，消去 得 ，
则
又直线 ，
令 得又
即 时， ，
直线BD过x轴上的定点 .
典例2.（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆 的右焦点为F，P，Q分别为右
顶点和上顶点，O为坐标原点， （e为椭圆的离心率）， 的面积为 ．
(1)求E的方程；
(2)设四边形 是椭圆E的内接四边形，直线 与 的倾斜角互补，且交于点 ，求证：直线 与
交于定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知求得 得椭圆方程；
（2）题意说明A与D，B与C分别关于x轴对称，设 ， ，则 ， ，利用直
线方程求得 与 的交点坐标（用 表示），设直线 的方程为 ，代入椭圆方程后应用
韦达定理得 ，把它代入 与 的交点坐标得常数，从而得证结论．
【详解】（1）∵ ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴ ， ，∴椭圆E的方程为 ．
（2）∵直线 与 的倾斜角互补，且交于点 ，
∴直线 与 关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．
设 ， ，则 ， ，
∴直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立解得 ， ，
∴直线 与 交于点 ．
设直线 的方程为 ，
与椭圆E的方程 联立得 ，
由题意得， ，解得 ，
又 ， ，
∴ ，
∴直线 与 交于定点 ．
【点睛】方法点睛：椭圆中的定点问题，一般设动点坐标为 ，利用此坐标求得直线的交点坐
标，再证此交点坐标为常数即可，然后引入参数，设出直线 方程，与椭圆方程联立后消元应用韦达定理得（或 ），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直
线方程后，观察直线方程得定点．
典例3.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线
有两个不同交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 ，使得 ， 且 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线过 可求得抛物线方程，设 ，与抛物线方程联立，由 可得
的范围，并确定韦达定理结论；根据 可求得 且 ，由此可确定 的范围；
（2）易知 在 轴上，设 ，利用向量数乘的坐标运算可得 ， ，求得 方程后，
令 可推导得到 ，同理得到 ，代入 中，整理后代入韦达定理的结论可构造方程求得 的值，
从而确定定点.
【详解】（1） 抛物线 经过点 ， ，解得： ， 抛物线 ；
由题意知：直线 斜率存在，设 ， ， ，
由 得： ，
，解得： 或 ；
， ， ， ，又直线 与 轴相交于 两点，
，
即 ，解得： 且 ；
综上所述：直线 斜率的取值范围为 .
（2）设点 ， ，
由 ， ， 知： 共线，即 在 轴上，
则可设 ， ， ，
， ， ，同理可得： ，
， 直线 ，
令 得： ，同理可得： ，
， ，
由（1）知： ， ，
，解得： ，
存在定点 满足题意.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中存在定点满足某条件的问题，求解此类问题的基本思路
如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式或构造方程；
④化简所得函数式或方程，整理可得定点坐标.
【规律方法】
解答直线和曲线过定点问题的基本思路:
（1）把直线或曲线方程中的变量 当作常数看待，把方程一端化为零.既然是过定点，那么这个方程就要对
任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 的方程组，这个方程组的解所确
定的点就是直线或曲线所过的定点.
（2）由直线方程确定定点，若得到了直线的点斜式方程: ，则直线必过定点 ，若
得到了直线的斜截式方程: ，则直线必过定点 .
考向二 定值问题
【核心知识】
定值问题常见解法：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值.
【典例分析】
典例4.（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知O为坐标原点，M是椭圆 上的一个动点，点N
满足 ，设点N的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程．
(2)若点A，B，C，D在椭圆 上，且 与 交于点P，点P在 上．证明： 的面积为定
值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用相关点法即得；（2）由题可得A，B分别为 的中点，进而可得C，D都在直线 上，然后利用弦长公式及
三角形面积公式结合条件即得.
【详解】（1）设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即曲线 的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
由 ，可知A，B分别为 的中点，
所以 ，
则 ，作差可得 ．
因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以C，D都在直线 上，联立 ，可得 ，
即 ，
点P到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ，
即 的面积为定值．
典例5.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，且点 在双曲线
C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M，N在双曲线C上，且 ，直线 不与y轴平行，证明：直线 的斜率 为定值.
【答案】(1)
(2)直线 的斜率 为定值
【分析】(1)根据离心率公式确定 ，再根据双曲线经过点 即可求解；
(2)利用韦达定理用坐标表示出 ,进而可求解.
【详解】（1）由题可得离心率 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以双曲线方程为 ，
又因为双曲线过点 ，所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 .（2）设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
则 得 ，
，得 ，
，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 即 ，
得 或 ，
若 ，则直线 的方程为 ，
即 过点 ，不符合题意，
若 ，则 ，满足 ，
综上直线 的斜率 为定值 .
典例6.（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知双曲线 的焦距为 ， ， 为的左、右顶点，点 为 上异于 ， 的任意一点，满足 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的右焦点 且斜率不为0的直线 交 于两点 ， ，在 轴上是否存在一定点 ，使得 为
定值？若存在，求定点 的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点 ，使得 为定值
【分析】(1)根据 可得 ，结合 即可求解；(2)利用韦达定理表示出 即可求解.
【详解】（1）设 ， ， ，则 ，
又因为点 在双曲线上，所以 .
于是 ，对任意 恒成立，
所以 ，即 .
又因为 ， ，
可得 ， ，所以双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为： ， ， ，由题意可知 ，
联立 ，消 可得， ，则有 ， ，
假设存在定点 ，
则
令 ，解得 ，
此时 ，
所以存在定点 ，使得 为定值
【总结提升】
解答定值问题的两大途径
(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、
分母约分得定值．
考向三 定线问题
【核心知识】
定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定
义法、消参法、交轨法等．
【典例分析】
典例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线 焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，
AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为 ， ，求 的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
【答案】(1)4；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.
（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.
（1）
抛物线 的焦点 ，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为： ，
由 消去x并整理得， ，设点 ， ，则 ， ，
矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为 ， ，
所以 ．
（2）
由（1）得 ， ， ， ，
于是得直线MN的方程为： ，直线CD的方程为： ，
由 消去y并整理得： ，而 ，因此有 ，即直线MN与直线CD交点在直线 上.
所以线MN与直线CD交点在定直线 上.
【点睛】方法点睛：涉及用过定点 的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：
；
若直线l不垂直于y轴，可设其方程为： .
典例8.（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知双曲线E的中心在坐标原点，对称轴为x轴、y轴，渐近线方程为
，且过点 ．
(1)求E的方程；
(2)过平面上一点M分别作E的两条渐近线的平行线，分别交E于P、Q两点，若直线PQ的斜率为2，证明：
点M在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可设双曲线E的方程为 ，又因为E过点 ，代入即可得出求出E的方
程；
（2）设 ，联立 和 求出 的坐标，即可表示出直线
的斜率，即可证明.
【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为 ，
所以可设双曲线E的方程为 ，
因为E过点 ，所以 ， ，所以E的方程为 ；（2）设 ，联立 解得
联立 解得
不妨设 ，
，
所以 ，所以 ，所以点M在定直线y＝x上．
典例9.（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知双曲线 过
点 ，且双曲线C的渐近线方程为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线C的两支分别于A，B两点，直线l与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直
线l使得坐标原点O在以 为直径的圆上且满足 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说
明理由．【答案】(1)
(2)没有，理由见解析
【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线即可联立求解，
（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，进而根据弦长公式求解 ,根据两点距离求解 ，根据已知条
件建立方程求解即可.
【详解】（1）由题意有 ， ，①
将点 代入双曲线方程得 ，②
联立①②解得 ，
故双曲线C的方程为
（2）假设满足题意的直线l存在．
易知直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，
， ，
联立 ，整理得 ，
且 ，
解得 且 ．
由韦达定理有
则，
因为M为直线 与渐近线 的交点，
联立 ，解得 ，
∴M点的坐标为 ，同理可得N点的坐标为 ，
则 ，
由题知， ，
即 ，
整理得 ．①
因为原点O在以 为直径得圆上，
∴ ， ， ，
，
整理得 ．②
联立①②得 ， ，无解，故没有满足条件的直线l．
典例10.（2022秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，
渐近线方程为 ．
(1)求双曲线 的方程；(2)已知点 是双曲线 的右支上异于顶点 的任意点，点 在直线 上，且 ， 为 的中点，
求证：直线 与直线 的交点在某定曲线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据右焦点和渐近线方程，可列出关于 的方程，进而求解即可；
（2）先设出 和直线 与直线 的交点，先表示出 坐标，再由 ，列出方程组，最后消参可得
定曲线方程.
【详解】（1）解：由于双曲线右焦点为 ，渐近线为 ，
所以 ， ，
解得 ，
所以双曲线 的方程为：
（2）证明：设 ，直线 与直线 的交点为 ，
设直线 为 ，
由题可知： ，
联立 ，化简得 ，
所以 ，由 可得 ，
那么 ，所以 ，
由于 是 中点，所以 ，
因为 ，所以 且 ，解得 ，
因为直线 与直线 的交点为 ，
根据斜率相等可得 ，
代入 的坐标得
化简得 ，
将两式相乘得 ，即为 ，
所以直线 与直线 的交点在定曲线 上.
【总结提升】
1.公共弦方程的确定，往往利用“点差法”；
2.研究点在定直线上问题，可以选定参数，确定含参数直线方程.
