北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.3 直线、平面平行的判定与性质
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.(2017课标Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这
四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
答案 A B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,AB∥MQ,且
AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面
MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.
2.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角
形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
解析 本题主要考查空间点、线、面的位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力
和运算求解能力.
1
(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF= AD.
2
1
又因为BC∥AD,BC= AD,所以EF∥BC且EF=BC,
2
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,
第 1 页 共 8 页第 1 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
因此CE∥平面PAB.
(2)分别取BC,AD的中点为M,N.
连接PN交EF于点Q,连接MQ.
因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,
在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN,
由BC∥AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=√2得CE=√2,
1
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=√3得QH= ,
4
1
在Rt△MQH中,QH= ,MQ=√2,
4
√2
所以sin∠QMH= .
8
√2
所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 .
8
方法总结 1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l∥α)
①线面平行的判定定理:在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α.
②面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α.
2.求线面角的方法.
①定义法:作出线面角,解三角形即可.
②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.
第 2 页 共 8 页第 2 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
例:求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法求d),由
d
sin θ= 得结论.
AB
最好是画出图形,否则容易出错.
3.(2016课标Ⅲ文,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M
为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
2
解析 (1)证明:由已知得AM= AD=2,
3
1
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN= BC=2.(3分)
2
又AD∥BC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)
1
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 PA.(9分)
2
取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE= = .
√AB2-BE2 √5
由AM∥BC得M到BC的距离为√5,
1
故S = ×4×√5=2√5.
△BCM
2
1 PA 4√5
所以四面体N-BCM的体积V = ·S · = .(12分)
N-BCM 3 △BCM 2 3
第 3 页 共 8 页第 3 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
评析 本题考查了线面平行的判定,考查了三棱锥的体积,考查了空间想象能力.线段的中点问题一般应用三
角形的中位线求解.
4.(2015课标Ⅱ文,19,12分)如图,长方体ABCD-ABCD 中,AB=16,BC=10,AA=8,点E,F分别在AB,DC
1 1 1 1 1 1 1 1 1
上,AE=DF=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
1 1
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解析 (1)交线围成的正方形EHGF如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=AE=4,EB=12,EM=AA=8.
1 1 1
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH= =6,AH=10,HB=6.
√EH2-EM2
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为9(7 ).
也正确
7 9
5.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
√3
(2)设AP=1,AD=√3,三棱锥P-ABD的体积V= ,求A到平面PBC的距离.
4
解析 (1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.
因为ABCD为矩形,
所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,
所以EO∥PB.
第 4 页 共 8 页第 4 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
1 √3
(2)V= PA·AB·AD= AB.
6 6
√3
又V= ,
4
3
所以AB= ,
2
√13
所以PB=√AB2+PA2= .
2
作AH⊥PB交PB于H.
由题设知BC⊥平面PAB,
因为AH⊂平面PAB,
所以BC⊥AH,
又BC∩BP=B,
故AH⊥平面PBC.
PA·AB 3√13
又AH= = ,
PB 13
3√13
所以A到平面PBC的距离为 .
13
思路分析 (1)由线线平行证出线面平行;
(2)首先由题设求出AB,然后过A作AH⊥PB于H,证明AH就是A到平面PBC的距离,通过解三角形求解即
可.
6.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2√17,点G,E,F,H
分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
第 5 页 共 8 页第 5 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 (1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,
因此GH∥EF.
(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面
GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
1 1
从而KB= DB= OB,即K为OB的中点.
4 2
1 1
再由PO∥GK得GK= PO,即G是PB的中点,且GH= BC=4.
2 2
由已知可得OB=4 ,PO= = =6,
√2 √PB2-OB2 √68-32
所以GK=3.
GH+EF 4+8
故四边形GEFH的面积S= ·GK= ×3=18.
2 2
评析 本题考查线面平行与垂直关系的转化,同时考查空间想象能力和逻辑推理能力,解题时要有较强的分
析问题、解决问题的能力.
7.(2013课标Ⅱ文,18,12分)如图,直三棱柱ABC-ABC 中,D,E分别是AB,BB 的中点.
1 1 1 1
第 6 页 共 8 页第 6 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(1)证明:BC∥平面ACD;
1 1
(2)设AA=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-ADE的体积.
1 1
解析 (1)证明:连接AC 交AC于点F,
1 1
则F为AC 中点.
1
由D是AB中点,连接DF,则BC∥DF.
1
因为DF⊂平面ACD,BC⊄平面ACD,
1 1 1
所以BC∥平面ACD.
1 1
(2)因为ABC-ABC 是直三棱柱,
1 1 1
所以AA⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,
1
所以CD⊥AB.
又AA∩AB=A,于是CD⊥平面ABBA.
1 1 1
由AA=AC=CB=2,AB=2√2得
1
∠ACB=90°,CD=√2,AD=√6,DE=√3,AE=3,
1 1
故AD2+DE2=AE2,即DE⊥AD.
1 1 1
1 1
所以V = × ×√6×√3×√2=1.
C-A 1 DE 3 2
思路分析 (1)利用线面平行的判定定理在平面ACD内找出一条直线与直线BC 平行即可;
1 1
(2)先证明CD⊥平面ABBA,再根据题目给的条件算出三棱锥C-ADE的高和底面面积,利用三棱锥的体积
1 1 1
公式计算即可.
第 7 页 共 8 页第 7 页 共 8 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
一题多解 证明第(1)问时,也可以利用面面平行的性质,即:取AB 的中点G,连接CG,GB,因为
1 1 1
GB∥AD,CG∥CD,CG⊂平面GBC,GB⊂平面GBC,且CG∩GB=G,AD⊂平面ACD,CD⊂平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ACD,AD∩CD=D,所以平面GBC∥平面ACD.又BC⊂平面GBC,所以BC∥平面ACD.
1 1 1 1 1 1 1 1
第 8 页 共 8 页
