北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.2 三角恒等变换
考点 三角函数式的求值和化简
1
1.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α= ,则cos 2α=( )
3
8 7
A. B.
9 9
7 8
C.- D.-
9 9
答案 B 本题考查三角恒等变换.由sin α=1,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×(1) 2 =1-2=7.故选B.
3 3 9 9
4
2.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α= ,则sin 2α=( )
3
7 2 2 7
A.- B.- C. D.
9 9 9 9
答案 A ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=(4) 2 =16,∴sin 2α=-7.
3 9 9
解后反思 涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换.
3
3.(2017山东文,4,5分)已知cos x= ,则cos 2x=( )
4
1 1 1 1
A.- B. C.- D.
4 4 8 8
答案 D 本题考查二倍角余弦公式.
因为cos x=3,所以cos 2x=2cos2x-1=2×(3) 2 -1=1.
4 4 8
3
4.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α=( )
4
64 48 16
A. B. C.1 D.
25 25 25北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3
1+4×
3 cos2α+4sinαcosα 1+4tanα 4
答案 A 当tan α= 时,原式=cos2α+4sin αcos α= = = =
4 sin2α+cos2α tan2α+1 9
+1
16
64
,故选A.
25
解后反思 将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这
是解决本题的关键.
评析 本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..
1
5.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=- ,则cos 2θ=( )
3
4 1 1 4
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
答案 D 解法一:cos
2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ−sin2θ
cos2θ+sin2θ
=1−tan2θ=4.故选D.
1+tan2θ 5
1 1
解法二:由tan θ=- ,可得sin θ=± ,
3 √10
4
因而cos 2θ=1-2sin2θ= .
5
评析 本题考查化归与转化的能力.属中档题.
6.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )
√3 √3 1 1
A.- B. C.- D.
2 2 2 2
1
答案 D 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°@sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= ,故选D.
2
( 3π)
cos α−
7.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan π,则 10 =( )
5 ( π)
sin α−
5
A.1 B.2 C.3 D.4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
( 3π) [π ( 3π)] ( π) π π
cos α− sin + α− sin α+ sinαcos +cosαsin
10 2 10 5 5 5
答案 C = = = =
sin ( α− π) sin ( α− π) sin ( α− π) sinαcos π −cosαsin π
5 5 5 5 5
π
tanα+tan
5
,
π
tanα−tan
5
( 3π) π
cos α− 3tan
∵tan α=2tan π,∴ 10 = 5 =3.故选C.
5 sin ( α− π) tan π
5 5
1 1
8.(2015重庆文,6,5分)若tan α= ,tan(α+β)= ,则tan β=( )
3 2
1 1 5 5
A. B. C. D.
7 6 7 6
1 1
−
tan(α+β)−tanα 2 3 1
答案 A tan β=tan[(α+β)-α]= = = ,故选A.
1+tan(α+β)·tanα 1 1 7
1+ ×
2 3
9.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=2,则cos2( π)=( )
α+
3 4
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
( π)
( π) 1+cos 2α+ 1−sin2α 2 1
答案 A cos2 α+ = 2 = ,把sin 2α= 代入,原式= .选A.
4 2 3 6
2
评析 本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.
10.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos(π )=3,则sin 2α=( )
−α
4 5
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
25 5 5 25北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 D ∵cos(π )=3,
−α
4 5
∴sin 2α=cos(π )=cos [ (π )]
−2α 2 −α
2 4
=2cos2(π )-1=2×(3) 2 -1=- 7 .故选D.
−α
4 5 25
思路分析 利用诱导公式化sin 2α=cos(π ),再利用二倍角的余弦公式即可得答案.
−2α
2
一题多解 cos(π )=√2(cos α+sin α)=3⇒cos α+sin α=3√2⇒1+sin 2α=18,
−α
4 2 5 5 25
7
∴sin 2α=- .故选D.
25
导师点睛 求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:
(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;
(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.
11.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .
答案 √2;1
解析 ∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin( π)+1,∴A= ,b=1.
√2 2x+ √2
4
12.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan( 5π)=1,则tan α= .
α−
4 5
3
答案
2
解析 本题主要考查两角差的正切公式.
5π
tanα−tan
( 5π) 4 tanα−1 1
tan α− = = = ,
4 5π 1+tanα 5
1+tanαtan
4
3
解得tan α= .
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13.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin( π)=3,则tan( π)= .
θ+ θ−
4 5 4
4
答案 -
3
解析 解法一:∵sin( π)=√2×(sin θ+cos θ)=3,
θ+
4 2 5
3√2
∴sin θ+cos θ= ①,
5
7
∴2sin θcos θ=- .
25
∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,
4√2
∴sin θ-cos θ=-√1−2sinθcosθ=- ②,
5
√2 7√2 1
由①②得sin θ=- ,cos θ= ,∴tan θ=- ,
10 10 7
∴tan( π)=tanθ−1=-4.
θ−
4 1+tanθ 3
解法二:∵( π)+(π )=π,
θ+ −θ
4 4 2
∴sin( π)=cos(π )=3,
θ+ −θ
4 4 5
π
又2kπ- <θ<2kπ,k∈Z,
2
π π π
∴2kπ- <θ+ <2kπ+ ,k∈Z,
4 4 4
∴cos( π)=4,∴sin(π )=4,
θ+ −θ
4 5 4 5
(π )
sin −θ
∴tan(π )= 4 =4,
−θ
4 (π ) 3
cos −θ
4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
∴tan( π)=-tan(π )=-4.
θ− −θ
4 4 3
评析 本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.
π π
14.(2016四川理,11,5分)cos2 -sin2 = .
8 8
√2
答案
2
π π π √2
解析 由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .
8 8 4 2
1
15.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)= ,则tan β的值为 .
7
答案 3
1
−(−2)
tan(α+β)−tanα 7
解析 tan β=tan[(α+β)-α]= = =3.
1+tan(α+β)tanα 1
1+ ×(−2)
7
16.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是 .
√6
答案
2
√6
解析 sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=√2sin(15°+45°)=√2sin 60°= .
2
17.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是 .
答案 -1
解析 由sin α+2cos α=0得tan α=-2.
2sin αcos α-cos2α=2sinαcosα−cos2α=2tanα−1= 2×(−2)−1 =−5=-1.
sin2α+cos2α tan2α+1 (−2) 2+1 5
18.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2.
(1)求tan( π)的值;
α+
4
sin2α
(2)求 的值.
sin2α+sinαcosα−cos2α−1
解析 (1)因为tan α=2,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
π
tanα+tan
( π) 4 2+1
所以tan α+ = = =-3.
4 π 1−2×1
1−tanα·tan
4
sin2α
(2)因为tan α=2,所以
sin2α+sinαcosα−cos2α−1
2sinαcosα
=
sin2α+sinαcosα−(cos2α−sin2α)−(sin2α+cos2α)
2sinαcosα 2tanα 2×2
= = = =1.
sin2α+sinαcosα−2cos2α tan2α+tanα−2 22+2−2
19.(2014江苏,15,14分)已知α∈(π ),sin α=√5.
,π
2 5
(1)求sin(π )的值;
+α
4
(2)求cos(5π )的值.
−2α
6
解析 (1)因为α∈(π ),sin α=√5,
,π
2 5
2√5
所以cos α=-√1−sin2α=- .
5
故sin(π )=sinπcos α+cosπsin α
+α
4 4 4
=√2×( 2√5)+√2×√5=-√10.
−
2 5 2 5 10
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×√5×( 2√5)=-4,
−
5 5 5
cos 2α=1-2sin2α=1-2×(√5) 2 =3,
5 5
所以cos(5π )=cos5πcos 2α+sin5πsin 2α
−2α
6 6 6
