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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题12 三角函数与解三角形（单选+填空） （新高考通
用）
一、单选题
1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数
在 上单调递增，在 上单调递减，则 的一
个对称中心可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件可知 ，周期 ，由此可求 ，再由正弦函数性质求其
对称中心.
【详解】因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 且 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，故 ，
由 ，可得 ，
取 ，可得 ，又 ，
所以 是函数 的一个对称中心.故选：B.
2．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据二倍角公式得到 ，从而得到 ，再利用诱导公式求
解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
故选：B
3．（2023·广东广州·统考一模）已知 为第一象限角. ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，两边平方求出 ，判断 的正负并求出，再利用同角
公式计算作答.
【详解】因为 为第一象限角， ，则 ，，
，即 ，解得 ， ，
所以 .
故选：D
4．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将已知等式化简得到 ，再利用角的关系求解即可.
【详解】
，因为
所以 ，所以
故选：B
5．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数
在 上恰有3个零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简得到 ，由 ，
得到 ，由函数零点个数列出不等式组，求出 的取值范围.
【详解】因为 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
因为 在 上恰有3个零点，
所以 ，解得 ．
故选：B．
6．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数 ，将其图象向左平移 个单位长
度，得到函数 的图象． 的顶点都是 与 图象的公共点，则
面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用三角函数平移的性质得到 的解析式，从而作出 的部分
图像，联立 的方程求得 的坐标，再结合图像即可得到 的高为，其底边最短时为 ，从而得解.
【详解】因为将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 ，
所以 ，故 的部分图像如下，
，
不妨记 的图像在 轴正半轴的交点依次为 ，在 轴负半轴的第一个
交点为 ，
由三角函数的性质易得 ，即 的高 是一个定值，其值为 到 的距离，
联立 ，得 ，即 ，
则 ，即 ，故 ，所以 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，
因此要使得 面积最小，只需使得 的底边最短即可，显然 是 与 图象的公共点中，作为 的底边时，长度最小的边长之一，
此时 ，
所以 .
故选：B.
7．（2023·湖南·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位
长度，得到函数 ，函数 的图象关于直线 对称，则函数
的单调增区间可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定 ，根据对称得到 ， ，解不
等式 得到答案.
【详解】 ，函数 的图象关于直线 对称，
得 ，即 ，又 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，故B满足，验证其他选项不满足.
故选：B
8．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数 是区间 上的减函
数，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数 在区间 上是减函数，对 进行分类讨论，
再分别解之即可.
【详解】 函数 是区间 上的减函数，则
①当 时，则 ，则由
得 ，故 ，则 无解.
②当 时，则 ，则由
得 ，故
，则有 .
综上①②知： .
故选：B
9．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数 ，两个等式 ， ，对任意实数x均成立， 在
上单调，则 的最大值为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．13
【答案】C
【分析】根据题意中的两个等式可得 的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函
数的周期性和单调性求得 且 ，依次分析选项求出 得出相
应的解析式，依次验证函数 的单调性即可.
【详解】 ， ， 的一个对称中心为
，
， ， 的对称轴方程 ，
有 ，解得 ，
又 ，所以 ， ，为奇数，
在 上单调，则 ，得 ，
由选项知，需要依次验证 ，直至符合题意为止，
当 时， ，有 ，
得 ，由 得 ，
此时 ，可以验证 在 上不单调，不符合题意；
当 时， ，有 ，得 ，由 得 ，
此时 ，可以验证 在 上单调，符合题意；
综上， 的最大值为15.
故选：C．
10．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在 中，已知 ， ，D为BC
的中点，则线段AD长度的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由余弦定理得到 ，再利用基本不等式得到 ，然后由
求解.
【详解】解：由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
所以 ，
∴ ，当且仅当b=c时等号成立.
因为 ，
所以 ，
，
∴ ，
故选：C．
11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）设 ，函数
满足 ，则α落于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，确定函数的最大值，根据最值和极值的关系，可得方程，利用零点
存在性定理，可得答案.【详解】由题意，可知函数 在 上当 时取得最大值，
且 ，
由于 ，则 ，
由 ， ， ， ，
根据零点存在性定理，可知 ，
故选：C.
12．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数 ，若对于任
意实数 ，函数 在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 为任意实数，转化为研究函数 在任意一个长度为
的区间上的零点问题，求出函数 在 轴右侧靠近坐标原点处
的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为 ，相邻五个零点之间的距离为 ，
根据相邻四个零点之间的最大距离不大于 ，相邻五个零点之间的距离大于 ，列式
可求出结果.
【详解】因为 为任意实数，故函数 的图象可以任意平移，从而研究函数 在
区间 上的零点问题，即研究函数 在任意一个长度为 的区
间上的零点问题，
令 ，得 ，则它在 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为 ，， ， ， ， ，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为 ， ， ， ， ，
故相邻四个零点之间的最大距离为 ，相邻五个零点之间的距离为 ，
所以要使函数 在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个
零点之间的最大距离不大于 ，相邻五个零点之间的距离大于 ，
即 ，解得 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的 以
及区间 是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
13．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数证明不等式当 时， ，进而得
，再讨论 与 的关系即可判断.
【详解】解：令 ， ，则 在 上恒
成立，
所以，函数 在 上单调递减，
所以，当 时， ，即 ， ；令 ， ，则
，
所以，函数 在 上单调递减，
所以，当 时， ，即 ， ，
所以，当 时，
所以， ，
因为 ，
所以
所以， ，即
，即
所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用 时， ，结合
二倍角公式，比较 与 的关系判断.
二、填空题
14．（2023·浙江·模拟预测）已知函数 ，
， ， 在 上单调，则正整数 的最大值
为____________．【答案】7
【分析】根据 可知直线 为 图象的对称轴，根据
可得 的对称中心为 ，结合三角函数的周期性可得
，再根据 在 上单调，可得 ，当 取到最大值
时，求解 ，检验在 上单调性看是否满足，即可得答案.
【详解】 ，∴直线 为 图象的对称轴，
， 的对称中心为 ，
，
，
．
又 在 上单调， ．
， ，
又 ，
∴当 时， ，因为直线 为 图象的对称轴，所以
， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调，
则正整数 的最大值为7．故答案为：7.
15．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则
的范围是______________．
【答案】
【分析】由 将函数化为
，结合三角函数的性质求出函数的最小值，
再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.
【详解】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
所以 .则 的范围是： .
故答案为：
16．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数
，将 的图像向右平移 个单位长度后的函数 的
图像，若 为偶函数，则函数 在 上的值域为___________.
【答案】
【分析】根据三角函数的变换规则得到 的解析式，再根据 为偶函数求出 的
值，即可求出 的解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为 ，
将 的图像向右平移 个单位长度得到
，
又 为偶函数，所以 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，所以
，
则 .故答案为：
17．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，为测量山高
，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测得 点的仰角
点的仰角 以及 ；从 点测得 ，已
知山高 ，则山高 ________ .
【答案】
【分析】通过直角 可先求出 的值，在 由正弦定理可求 的值，在
中，由 ， ，从而可求得 的值．
【详解】在 中， ， ，所以 ．
在 中， ， ，从而 ，
由正弦定理得， ，因此 ．
在 中， ， ，得 ．
故答案为： ．
18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，角 ， 的终边分
别与单位圆交于点A，B，若直线AB的斜率为 ，则 =______.
【答案】 ##
【分析】根据三角函数的概念表示点的坐标A，B，利用同角的三角函数的基本关系式
求角的三角函数值，再利用二倍角公式及诱导公式化简求值
【详解】由题意 ，所以 .不妨设 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
19．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数 ，若
在区间 上单调递增，则 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先正弦函数的周期性求出 的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出
的具体范围.
【详解】 在 是增函数，∴ ，∴ ， ，
又 ，∴ ，令 ，
则 在 的函数图像如下：
所以欲使得 是增函数，则必须 或者 ，
对于 ，即 ，
对于函数 ，在 时 的值域是 ， ，对于 ，即 ，
对于函数 在 时的值域是 ，即 ， 与 矛盾，
无解；
故答案为： .
20．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 （ ， ）
在区间 内单调，在区间 内不单调，则ω的值为______．
【答案】2
【分析】由函数的单调性列不等式组，解出ω的范围，即可得到答案.
【详解】依题意得 ，即 ．
因为当 时， ，
所以 ( )，则 ，( )，解得：
( ).
令k＝0，则1≤ω≤2，而 ，故 ，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符
合题意．
故答案为：2
21．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知函数
在 上恰有3个零点，则ω的最小值是
________.【答案】
【分析】化简函数解析式可得 ，结合正弦型函数的性质求
其零点，结合条件列不等式求ω的最小值.
【详解】因为 ，
所以
所以 .
令 ，可得 ，
所以 或 ，
所以 或 ， ，
所以函数 的正零点由小到大依次为 ， ， ， ， ，
因为函数 在 上恰有3个零点，
所以 ， ，
所以
所以故ω的最小值是 .
故答案为： .
22．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数 在
区间 上单调递增，则 的取值范围是___．
【答案】【分析】将 变形，求出 单调递增区间，将 包含于 单调递增区间列
式即可.
【详解】解： ，
令 ， ，所以 ， ．即 单调递
增区间为 ， ，
所以只需 ， ，解得 ， ，
则 ，解得 ，又 ，所以 ，所以 ，即 的取值
范围是 ．
故答案为： .
23．（2023·山东菏泽·统考一模）设 均为非零实数，且满足
，则 __________.
【答案】1
【分析】先将原式化简得到 ，再令 ，
即可得到 ，从而求得结果.【详解】由题意可得， ，
令 ，则 ，
即 ，
所以 ，即
故
故答案为:
24．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）函数 在 上单调
递增，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】 恒成立，导函数转化为二次函数与正弦函数的复合函数所对应的不
等式.
【详解】因为
所以 ，又因为函数 在 上单调递增
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
也是 在 上恒成立
，只需要满足 时对应的函数值都不大零即可.
则只需要满足 ，即
故答案为：25．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知 ，则
___________.
【答案】 ##
【分析】先利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式将等式转化为
，解之即可.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，整理得 ，
则 ，解得 或 （舍去），
所以 ，即 .
故答案为： .
26．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数 （其中 ， ）.
T为 的最小正周期，且满足 .若函数 在区间 上恰有2
个极值点，则 的取值范围是______.【答案】
【分析】根据题意可得 为 的一条对称轴，即可求得 ，再以
为整体分析可得 ，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得： 的最小正周期 ，
∵ ，且 ，则 为 的一条对
称轴，
∴ ，解得 ，
又∵ ，则 ，
故 ，
∵ ，则 ，
若函数 在区间 上恰有2个极值点，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx
中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝ ，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.27．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若正数 满足 ，且
，则 的值为______.
【答案】 ##
【分析】利用和差化积公式和诱导公式化简 ，得出
，再利用倍角公式与和差公式化简 ，再利用
弦切互化即可求解.
【详解】依题意，
因为
所以
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
所以
.
故答案为： .
28．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）若关于x的方程
恰有三个解 ，则______.
【答案】
【分析】将方程 恰有三个解转化为函数
与 有且仅有三个不同的交点，再利用当 与
相切时及诱导公式即可求解.
【详解】方程 有且仅有三个不同实根，等价于
与 有且仅有三个不同的交点，
而 恒过 ，且 ，即 也过
，
① 、 部分图象如下：直线与曲线相切，恰好有3个交点，
且 ，
则 ，消 ，得 ，由诱导公式，得 ，
即 ；
②如下图， 在两虚线之间时恰好有3个交点，且 ，但此
时 不合题设；
综上， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：将方程 恰有三个解转化为函数
与 有且仅有三个不同的交点，再利用当 与
相切时即可求解.
29．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数 的图象向
左平移 个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标
不变，得到函数 ，已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
__________.
【答案】
【分析】根据函数图像平移变换，写出函数 的解析式，再由函数 在区间 上单调递增，列出不等式组求出 的取值范围即可
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象,
再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象，
函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 ，①
又 ，
所以 ，解得 ，②
由①②可得 ，
故答案为: .
30．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）函数 在 上的值域
为 ，则 的值为______．
【答案】 ##2.5
【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及 求出 ，分类讨论求出 ，即可求
解.
【详解】因为 ， ，
所以当且仅当 且 时 ，
所以 ,又 ，所以
所以 ，易知 在 上单调递减，在 单调递增，
所以当 时， ，不满足题意；
当 时，因为 ，所以 ，
注意到 ，且 在 单调递增，
所以 ，所以
故答案为： .
【点睛】利用三角函数求值的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件选择合适的公式进行化简计算；
（3）合理地利用函数图像和性质.
