文档内容
8.3 实数及其简单运算【10 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 无理数】..................................................................................................................................................1
【必考点1 无理数的定义】......................................................................................................................................1
【知识点2 实数的概念及分类】..............................................................................................................................2
【必考点2 实数的分类】..........................................................................................................................................2
【知识点3 实数与数轴的关系】..............................................................................................................................3
【必考点3 实数在数轴上的表示】..........................................................................................................................3
【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】.................................................................................................4
【必考点5 实数的性质综合运用】..........................................................................................................................5
【知识点4 实数的运算】..........................................................................................................................................6
【必考点6 实数的混合运算】..................................................................................................................................6
【必考点7 实数的新定义运算】..............................................................................................................................6
【知识点5 实数大小比较】......................................................................................................................................7
【必考点8 无理数的大小比较】..............................................................................................................................7
【必考点9 无理数的估算】......................................................................................................................................8
【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】...............................................................................................8
【知识点1 无理数】
1.定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.
2.常见的无理数形式：
①开方开不尽的数，如 ， 等；
②化简后含有π的数，如π， ；
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…
【必考点1 无理数的定义】
22 1
【例1】在实数❑√4， ，− ，0.
3
⋅ 0
1
⋅， ，√3 9，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无
7 3
π
理数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【变式1】实数3.14，
❑√3
，√38，0，
5.6
. ，−
3
π，❑√9，−
1
，√3−16，﹣2.5656656665⋯（相邻两个5之
2 5 3
间6的个数逐次加1）．其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
22 2π
【变式2】在 ， ，❑√2，−❑√3，√3−8，−❑√16，3.14，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数
7 3
逐次加1）中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1
【变式3】已知实数：❑√2， ， ，0，3.1415926，√35，0.
2
⋅
5
⋅，❑√(−4) 2，0.1010010001…（两个1之间依
3
π
次多一个0），则无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【知识点2 实数的概念及分类】
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按定义分：实数
按符号分：实数
【必考点2 实数的分类】
【例1】把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
π 22
①− ，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥ ，
3 7
1
⑦−|− |．
3
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．【变式1】把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
11 π
①− ，②√32，③1−❑√4，④0，⑤❑√0.4，⑥√3−125，⑦− ，⑧0.13030030003•••（相邻的
12 4
两个3之间依次多1个0），⑨ ⋅⋅，⑩3.14．
0.23
（1）整数集合：{ }：
（2）分数集合：{ }，
（3）无理数集合：{ }．
【变式2】把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
11 π
①− ，②√32，③1−❑√4，④0，⑤−❑√0.4，⑥√3−125，⑦− ，⑧0.13030030003…（相邻的
12 4
两个3之间依次多1个0），⑨ . .，⑩3.14．
0.23
（1）负实数集合： ；
（2）分数集合： ；
（3）无理数集合： ．
【变式3】将下列各数填在相应的集合里．
5
√3512， ，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（每两个3之间依次多1个0），0， ，√3 9，❑√(−7) 2
11
π
，❑√0.1．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
整数集合：{ …}．
【知识点3 实数与数轴的关系】
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴
上的点是一一对应的.
【必考点3 实数在数轴上的表示】
【例1】如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和❑√3，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所
对应的实数为（ ）A．2❑√3−1 B．1+❑√3 C．2+❑√3 D．2❑√2+1
【变式1】如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（ ）
A．0 B．❑√2−1 C．√3−9 D．
【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系π ，它是“数形结合”的基础、
如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E
在点A左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．﹣1.5 B．1−❑√5 C．−❑√5 D．2−❑√5
【变式3】如图，已知线段OA，OB的长度分别是1，❑√3，以原点为圆心，分别以OA，OB的长为半径画
弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则a﹣b的值为（ ）
A．1−❑√3 B．−1+❑√3 C．−1−❑√3 D．1+❑√3
【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】
【例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简： ．
❑√a2−|a+b|+|b−c|+√3 b3=
【变式1】已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：
．
❑√a2+√3 b3+|b+c|−❑√(a−b−c) 2=
【变式2】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请化简 ．
|c|−❑√(a−b) 2−❑√(b−c) 2+√3 b3【变式3】实数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）化简： ，|a+b|＝ ；
❑√a2=
1
（2）先化简再求值：❑√(a+1) 2+❑√(b−2) 2，其中a是 的一个平方根，b是3的算术平方根．
4
【必考点5 实数的性质综合运用】
【例1】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B，点A表示−❑√2，设点B所表示的
数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且|2c+d|与❑√d+4互为相反数，求3c+d的值；
（3）在数轴上还有E点表示实数x，且1＜x＜m，化简： ．
|x−1|+❑√(x−2) 2
【变式1】如图，在数轴上，点A表示的数❑√5，若把点A向左平移4个单位得到的点为B，设点B所表示
的数为m
（1）实数m的值是 ；
（2）求（4+m）2+|m+1|的值；
1
（3）在数轴上有一点C表示的实数是c，若BC= AB，求实数c的值．
2
【变式2】已知一个数m的两个平方根分别为a和a−2❑√10．
（1）求m的值；
（2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧
且满足BA＝2AM，求b−3❑√10+28的立方根．
【变式3】如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示❑√3，设点A所表示的
数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与❑√d−4互为相反数，求2c+2d的平方
根．
【知识点4 实数的运算】
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任
意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算
结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.
【必考点6 实数的混合运算】
【例1】计算：
（1） ；
(π−3.14) 0+❑√(−2) 2−√3−27
√ 1
（2）❑√9+❑√(−4) 2×❑2 +√3−64−(−1) 2025．
4
【变式1】计算：
（1） ．
(−3) 2+2×(❑√2−1)−|−2❑√2|
（2） ．
−22−(√3−8+8)+❑√(−6) 2−|❑√7−3|
【变式2】计算：
（1） ；
❑√25+|❑√2−1|+√3−27−(−1) 2024
√16
（2）−12+(√3−64+8÷❑ )×(−3) 2．
25
【变式3】计算下列各式的值：
1
（1）❑√2(❑√2+2)+|3−2❑√2|+❑√3( −❑√3)；
❑√3
（2）❑ √ 1 24 − √ 3 8 +(❑√5) 2+√3 (−4) 3．
25 125【必考点7 实数的新定义运算】
【例1】对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b= { b(a≤b) )，则
❑√7
★（
❑√2
★
❑√3
）＝（
❑√a2−b2 (a＞b)
）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【变式1】对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}
＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知，min{❑√15，x}＝x，min{❑√15，y}=❑√15，且x和y为两个连续
正整数，则❑√4x+ y的算术平方根为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【变式2】对于实数a、b，定义max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}
＝b．例如：max{1，﹣2}＝1．已知max{❑√29，a}=❑√29，max{❑√29，b}＝b，且a和b为两个连续正
整数，则ab﹣（❑√29）2的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【变式3】对任意两个实数a，b定义两种运算：a b {a(若a≥b))，a b {b(若a≥b))，并且定义
= =
b(若a＜b) a(若a＜b)
⊕ ⊗
运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，[（﹣2） 3] 2＝2．那么（
❑√5 2） √327等于（ ） ⊕ ⊗ ⊕ ⊗
A．⊕❑√5 ⊗ B．3 C．6 D．3❑√5
【知识点5 实数大小比较】
1.利用数轴比较实数大小
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小。
2.无理数大小的比较
估算法：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．例
如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
【必考点8 无理数的大小比较】
❑√2−1 1
【例1】比较大小：❑√2 √33； ；﹣7 −❑√50．
3 3
❑√6+1 3
【变式1】比较大小： （”用“＞”“＜”“＝”填空）．
2 2
【变式2】比较大小：√36 2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【变式3】比较大小：﹣3❑√5 ﹣5❑√2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【必考点9 无理数的估算】
【例1】若a﹣1＜❑√13＜a，且a为整数，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例2】估计❑√81−❑√7的值在下列哪两个整数之间（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定
【变式1】设n为正整数，且n＜❑√66−1＜n+1，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】若a，b均为正整数，且a＞❑√13，b＞√3 9，则a+b的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式3】正整数a、b分别满足√354＜a＜√3 96，❑√3＜b＜❑√7，则ba＝（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【变式4】已知7+❑√15的整数部分是a，15−❑√7的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A．12−❑√7 B．13−❑√7 C．14−❑√7 D．15−❑√7
【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】
【例1】阅读材料
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算❑√14的近似值．
小明的方法：∵❑√9＜❑√14＜❑√16，设❑√14=3+k（0＜k＜1），
∴ ，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k，
(❑√14) 2=(3+k) 2
5 5
解得，k≈ ，∴❑√14≈3+ ≈3.83．
6 6
问题：（1）请你依照小明的方法，估算❑√30的近似值．
（2）已知非负整数a、b、m，若a＜❑√m＜a+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算❑√m的近似值（用含
a、b的代数式表示）．
【变式1】阅读与思考：
【阅读理解】：明明同学在探索❑√126的近似值的过程如下：
∵面积为126的正方形的边长是❑√126且11＜❑√126＜12，
∴设❑√126=11+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积S正方
形
＝112+2×11×x+x2，
又S正方形 ＝126，
∴112+2×11×x+x2＝126，
当x2＜1时，可忽略x2得22x+121＝126，得到x≈0.23，
即❑√126≈11.23．
（1）直接写出❑√253的整数部分的值；
（2）仿照上述方法，探究❑√253的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【变式2】在数学课上“说不完的❑√2”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
（1）❑√2到底有多大？下面是龙龙探索❑√2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是❑√2，且❑√2＞1.4，设❑√2=1.4+x，画出如图1的示意图：
由图形面积可得x2+2×1.4x+1.96＝2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 ，解得x≈ （保留到0.001），即❑√2≈
．
（2）请仿照上述探究过程探究❑√7的大小．
已知：❑√7＞2.6，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出❑√7的近似值（保留到0.001）．【变式3】阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的
方法来探索无理数的近似值．
我们知道，面积为2的正方形的边长为❑√2，易知❑√2＞1．因此可设❑√2=1+x，并画出了如图1所示的
示意图．根据图1中面积关系，得x2+2x+1＝2．忽略去x2，得2x+1≈2．解得x≈0.5
∴❑√2=1+x≈1.5．
易知❑√2＜1.5．因此可设❑√2=1.5−y，并画出如图2所示的示意图．…
（1）上述分析过程中，主要运用的数学思想是 ；
A．数形结合思想
B．统计思想
C．分类讨论思想
（2）把上述内容结合如图2所示的示意图，计算出❑√2更加准确的近似值（结果精确到0.001）
