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§4.4 简单的三角恒等变换
考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公
式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要
求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ 2sin α cos α .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ )
(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
(3)cos2＝.( √ )(4)tan ＝＝.( √ )
教材改编题
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 (公式法)因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
方法二 (代值法)因为cos ＝，cos ＝，
所以cos2－cos2＝2－2＝.
2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝＝.
3．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 因为α为第二象限角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
题型一 三角函数式的化简
例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 方法一 因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
(2)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.
答案
解析 因为sin α＋cos α＝，两边同时平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
即sin 2α＝，
由降幂公式可知sin2＝＝＝－sin 2α＝.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)若f(α)＝2tan α－，则f 的值是________．
答案 6－
解析 依题意，f(α)＝2tan α－
＝2tan α＋，
而tan ＝tan＝＝＝2－，
于是得f ＝2(2－)＋＝6－，
所以f 的值是6－.
(2)化简：·＝________.
答案
解析 ·
＝·
＝·
＝·＝.
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
解 (1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝2.
(3)原式＝＝＝＝＝＝－2.
命题点2 给值求值
例3 (2023·长春质检)已知sin＋cos α＝，则sin等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
解析 ∵sin＋cos α＝，∴sin αcos －cos αsin ＋cos α＝，
∴sin α－cos α＋cos α＝，
∴sin α＋cos α＝，
∴cos＝，
∴sin＝sin
＝cos 2
＝2cos2－1
＝2×2－1
＝－.
命题点3 给值求角
例4 已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
答案
解析 因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，
因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，
那么sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，
cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝，
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝，
因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)．
所以α＋2β∈，故α＋2β＝.
思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借
助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2 (1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于( )
A. B．－
C．－ 或0 D.
答案 C
解析 ∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，
∴2sin αcos α＋2cos2α＝cos α，
当cos α＝0 时，等式成立，此时sin 2α＝0；
当cos α≠0 时，sin α＋cos α＝，
两边平方得sin 2α＝－.综上可得，sin 2α＝－或0.
(2)(2023·南京模拟)已知sin＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 ∵sin＝tan 210°，
∴sin＝tan 210°＝tan(180°＋30°)＝tan 30°＝，
则cos2＝1－sin2＝，
cos(30°－α)＝cos2－sin2＝，
∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]
＝cos(30°－α)＝.
题型三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知f(x)＝sin＋2sin·cos.
(1)求f 的值；
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值．
解 (1)由题意得
f(x)＝sin＋2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－sin
＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f ＝sin＝0.
(2)∵α∈，∴2α＋∈，又∵f(α)＝，
∴f(α)＝sin＝，
又∵sin＝<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×＋×＝.
思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关
系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与
对称性．
跟踪训练3 已知3sin α＝2sin2－1.(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
解 (1)因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－，
又因为sin 2α＋cos 2α＝＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以tan β<0，
因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
所以tan β＝－，
又因为α∈(0，π)，tan α＝－，所以<α<π.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1，
由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
课时精练
1．已知x∈，cos(π－x)＝－，则tan 2x等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 因为x∈，cos(π－x)＝－，
所以cos x＝，sin x＝－＝－，
由同角三角函数的关系，
得tan x＝＝－.
因此tan 2x＝
＝＝－.
2．(2023·保定模拟)已知sin＝，则sin 2θ的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由sin＝，
得sin＝sin θcos －cos θsin ＝(sin θ－cos θ)＝，
即sin θ－cos θ＝，
等式两边同时平方，得1－sin 2θ＝，
所以sin 2θ＝－.3．(2023·枣庄模拟)已知sin＝，则cos等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 cos＝cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了
黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 因为m＝2sin 18°，
所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
因此＝＝＝＝4.
5．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
答案 BD
解析 对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B正确；
对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－
60°)＝cos 60°＝，所以C错误；
对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D正确．
6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为
黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰
三角形．达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄
金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于( )A. B. C. D.
答案 B
解析 由题设，可得cos 72°＝1－2sin236°＝，又因为cos236°＋sin236°＝1，
所以cos236°＝，又cos 36°∈，
所以cos 36°＝cos(90°－54°)＝sin 54°＝.
7．(2023·淄博模拟)＝ .
答案
解析 因为＝＝＝.
8．(2023·青岛模拟)已知tan 2θ＝－2，<θ<，则＝________.
答案 －3＋2
解析 由tan 2θ＝－2，即＝－2，解得tan θ＝或tan θ＝－.
因为<θ<，所以tan θ＝且cos θ≠0.
则＝＝＝＝－3＋2.
9．化简并求值．
(1)；
(2)·.
解 (1)原式＝＝
＝＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝
＝＝32.
10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan；
(2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ.
(3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值．
解 (1)因为tan(α＋β)＝，tan＝，
所以tan＝tan＝＝＝.
(2)由<θ<，得<2θ<π，∴sin 2θ＝＝，
sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2××＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1＝2×2－1＝－1＝.
(3)由0<β<<α<，得0<2β<，－<－2β<0，则－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝>0，所以cos(α－2β)＝＝＝.
由0<β<<α<，得<2α<π，－<－β<0，
则<2α－β<π，因为cos(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝.
因为<α＋β<，
又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，所以α＋β＝.
11．已知α∈，β∈，tan α＝，则( )
A．α＋β＝ B．α－β＝
C．α＋β＝ D．α＋2β＝
答案 B
解析 tan α＝＝
＝＝＝tan.
∵α∈，β∈，
∴α＝＋β，即α－β＝.
12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和真正的
值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以
表示成4sin 52°，则的值为( )
A．－ B．－8 C．8 D.
答案 A
解析 将π＝4sin 52°代入，
可得＝＝＝－
＝－＝－＝－.
13．(多选)(2023·长沙模拟)若sin ＝，α∈(0，π)，则( )
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin＝
D．sin＝
答案 AC
解析 ∵sin ＝，α∈(0，π)，
∴∈，cos ＝＝.
∴cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正确；
sin α＝2sin cos ＝2××＝，故B错误；
sin＝sin cos ＋cos sin＝×＋×＝，故C正确；
sin＝sin cos －cos sin
＝×－×＝，故D错误．
14．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝ ，cos(2α
－β)＝ .
答案
解析 因为sin＝cos＝－，
sin＝，
所以α＋为第二象限角，β－为第一象限角，
所以sin＝＝，
cos＝＝，
所以sin(α＋β)＝sin
＝sincos＋cos·sin＝.
cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)
＝－cos
＝－
＝－cos 2－sin 2
＝－－·sin·cos＝.
15．(2023·武汉模拟)f(x)满足：∀x ，x∈(0,1)且x≠x ，都有<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝，c＝
1 2 1 2
cos2－，则，，的大小顺序为( )
A.<< B.<<
C.<< D.<<
答案 C
解析 a＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cos 7°＝sin 14°，b＝＝＝sin 16°，c＝cos ＝sin ＝sin 15°，
∴a
