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专题 09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-40题
一、单选题
1．为了得到函数 的图象．只需把函数 的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度
D．向右平行移动 个单位长度
【答案】C
【分析】
根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意 系数对平移情况的影响.
【详解】
因为 ，所以把函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度
即可．故选C.
2．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】
将已知等式两边平方可得 ，进而可得 ，解得 ，利用同角三角
函数基本关系式可求 ，进而即可求解 的值．
【详解】
解：因为 ， ，两边平方，可得 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以解得 ，（负值舍去），可得 ，
所以 ．
故选： ．
3．设函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最大值为
B． 的一个零点为
C． 的最小正周期为
D． 的图象关于直线 对称
【答案】B
【分析】
利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.
【详解】
，所以 的最小正周期为 ， 的
最大值为 ，C，A正确；当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，
D正确；因为 ，所以 不是函数 的零点，B错误，
故选：B.
4．把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，即得
，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】
解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
5．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象.若 在 上
单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于 的不等式组，求解即
得.
【详解】
，
当 时， ，
由 ，有 ， ，
有 ，得 .
故选：B
6．已知函数 ， 的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
在各选择支的函数中取特值计算，并与已知图象比较，采用排除方法可作出判定.
【详解】
取x=0,对于A： ；对于B： ；对于C：
；对于D： ，结合图象中f(0)=0,故排除BD.
取x= ,对于A： ,对于C： ,结合图象，可
排除C.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据图象判定解析式，可以利用特殊值法进行排除.
7．化简 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.
【详解】
原式
．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，特殊角三角函数值，二倍角的正弦公式，利用商数关系切化弦是解决问题
的关键.
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．
【详解】
因为 ，
所以 ，
即 ，
则 ，
.
故选：A
9．已知函数 ，现将 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 在 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数 ，根据函数图象的平移变换与放缩变换法则，可得到函数 ，
由 ，可得 ，利用正弦函数的单调性可得结果.
【详解】
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，
得到函数 的图象， ，
∵ ，
所以 ，
∴ ，∴ ，
∴ 在 上的值域为 ，
故选：A.
10．函数 的图像沿 轴向右平移 个单位( )，所得图像关于 轴对称，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
先利用平移变换得到平移后的函数的解析式，根据图象的对称性得到关于a的方程，求得a的所有值，然
后取其中的最小正值即得答案.
【详解】
的图象向右平移a个单位得 的图象，
所得图象关于 轴对称，
所以 ,
因此a的最小正值为 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移变换和对称性，切记每一个变换总是对字母 而言.
结合三角函数的图象的对称性，得到：
函数 是奇函数 ；
函数 是偶函数 ；
函数 是奇函数 ；
函数 是偶函数 .
11．将函数 （ ）在 上单调递减，则 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数 ，进而整体代入法得出函数的单调递减区间，利用子集关系列
出不等式组，求解可得 的取值范围．
【详解】．
在 上单调递减，依题意有
∴ ， ，且 ，∴
当 时满足题意，∴ ，
故选：C
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝ ，tan α＋tan β＋ tan αtan β＝ ，则α，β的大小关系是（
）
A．α< <β B．β< <α
C． <α<β D． <β<α
【答案】B
【分析】
由两角和与差的正切公式得出α＋β＝ ，结合 ，得出α> ，结合选项可得答案．
【详解】
∵α为锐角，sin α－cos α＝ ，∴α> ．又tan α＋tan β＋ tan αtan β＝ ，
∴tan(α＋β)＝ ，∴α＋β＝ ，又α> ，∴β< <α．
故选：B
13．函数 的部分图象如图所示，要得到 的图象，只需将
的图象（ ）A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】D
【分析】
由周期求得ω，再结合最高点求得φ，得到函数的解析式，进而做出判定.
【详解】
由图可知， ，所以 ，即 ，所以 ．
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
,
将其图象向左平移 个单位长度即可得到 的图象．
故选：D
14．已 ，且 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平方求出 ，进而求出 ，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角
和余弦公式展开，即可求解.
【详解】
平方得 ，
，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关
键，属于中档题.
15．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图像，则函数
的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数 ，通过平移得到 ，利用正弦函数的对称性得出 图象
的对称中心．
【详解】
将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，的对称中心为
当 时为 .
故选：B.
16．函数 的图像最近两对称轴之间的距离为 ，若该函数图像关于点 成
中心对称，当 时m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相邻对称轴之间的距离为正弦型函数的半个周期，求得 的值，得到函数的解析式，进而利用正弦函
数的性质求得所有对称中心的坐标，根据题中 的取值范围求解得到 的值.
【详解】
的最小正周期 , ，
所以 ，
令 ,则 ,
函数f(x)的对称轴心为 , ,
所以 ，当 时,解得： ,
又 ,
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，关键是根据对称轴间的距离为半周期，利用整体代换法求得正弦型函数的所
有对称中心的坐标.
17．已知角 的终边与单位圆 交于点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由点在单位圆上求出 的坐标，再利用二倍角公式以及任意角三角函数的定义代入求值即可．
【详解】
点 在单位圆上，则 ，解得 ，即
故选：B
18．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用两角和与差公式和辅助角公式化简已知等式，可得答案．【详解】
由 ，得 ，所以 ，从而 .
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查两角和与差公式与辅助角公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
19．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将角 表示为 ，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】
，故选C.
【点睛】
本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等
题.
20．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用诱导公式化简，再利用 ，将要求式除以 ，
然后分子分母同时除以 即可求解.
【详解】
由题意， ，则
．
故选B．
【点睛】
本题考查诱导公式和同角关系式，属于基础题.
二、多选题
21．已知向量 ， ，若 与 共线，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在 上单调递增
C．直线 是 图象的一条对称轴
D．将 的图像向左平移 个单位得到函数 的图象
【答案】ACD
【分析】
利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出 ，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
解：因为向量 ， ，且 与 共线
则
即：
所以
对A，函数 的最小正周期为 ，故A正确；对B，由 ，得 ， ，所以函数 的单调递增区间为 ，
，而 ，故B错误；
对C，由 ， ，得， ，即 的对称轴为 ， ，当 时， ，所以
是 图象的一条对称轴，故C正确；
对D， ，将 的图像向左平移 个单位得到 ，故D正确.
故选：ACD.
22．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的
图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 成中心对称
C．函数 的最小正周期为
D．函数 的一个单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】
利用函数图象变换可判断A选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用正弦型函数
的周期公式可判断C选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，将函数 的图象向右平移 个单位，可得到函数 的图象，所以， ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项，函数 的最小正周期为 ，C对；
对于D选项，当 时， ，D对.
故选：ACD.
23．已知 5，下列计算结果正确的是（ ）
A． B． 2
C． D．
【答案】BC
【分析】
将条件变形为用 表示的形式，进而可求出 ，则可判断选项AB，再将选项CD变形，用 表
示，代入 的值即可判断.
【详解】
解：由 得 ，解得 ，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
24．已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】BD
【分析】
由题意得 ，可得 ，根据 的范围，可得 的
正负，即可判断A的正误；求得 的值，即可判断D的正误，联立可求得 的值，即可
判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】
因为 ①，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误，
所以 ，
所以 ②，故D正确，
①②联立可得， ，故B正确
所以 ，故C错误，
故选：BD
25．已知函数 为偶函数， ，则常数θ的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据偶函数的定义以及三角恒等变换，得到 ，进而求出 ，结合选项给
赋值即可求出结果.
【详解】依题意， 恒成立，
所以 ,
即 成立.
所以 对任意x成立,
显然 ，所以 ，
，所以 ,
当 时， ；当 ，则 ，
故选：BD.
26．已知函数 ，则（ ）
A． 是周期为 的周期函数
B． 的值域是
C． 在 上单调递增
D．将 的图像向左平移 个单位长度后，可得到一个奇函数的图像
【答案】AD
【分析】
先结合诱导公式与二倍角公式化简 ，然后结合函数的图象与性质逐项分析即可判断.
【详解】，所以 是周期为 的周期函数，故A正确；因为 ，所以 ，故
B错误；因为 在 上单调递减，所以 ，即
，当 时， ，所以 在 上单调递减，故C错误；将 的图像
向左平移 个单位长度后，得 为奇函数，故D正确；
故选：AD.
27．若将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的
是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上的最大值为1
C． 是函数 图象的对称轴 D． 在区间 上单调递减
【答案】ABC
【分析】
将函数 平移得到函数 ，依据余弦型函数的性质逐一验证选项即可.
【详解】
解：由题意可知： ，所以 的最小正周期为 ，A正确；当时， ， 的最大值为1，故B正确；当 时， ，为函数
图象的对称轴，故C正确；当 时， ， 不单调，故D错误.
故选：ABC
28．已知函数 的部分图像如图所示，若将函数 的图像纵坐标
不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则下列命题正确的是（
）
A．函数 的解析式为
B．函数 的解析式为
C．函数 图像的一条对称轴是直线
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ABD
【分析】
对于A，由图像可得 ， ，从而可求出得 ，再将点 的坐标代入函数中可求出 的值，从而可求出函数解析式，对于B，由三角函数图像变换规律求出 的解析式，对于C，将 代入
中验证是否能取得最值，对于D，由 求出 的增区间进行判断即
可
【详解】
由图可知， ， ，所以 ，
解得 ，故 ．
因为图像过点 ，所以 ，即 ．
因为点 位于单调增区间上，且 ，所以 ，
故 ．故A项正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，
所得到的函数解析式为 ，
再向右平移 个单位长度，所得到的函数解析式
．故B项正确；
当 时， ，即 时，
不取最值，故 不是函数 的一条对称轴，故C项错误；
令 ，
得 ，
故函数 的单调增区间是 ，当 时， 在区间 上单调递增．所以D项正确．
故选：ABD
29．已知函数 ，ω>0．若函数 在 上恰有2个零点，则ω的可能值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
由题设知 上恰好有2个零点，根据正弦函数的性质得 求 范围，
进而判断可能值.
【详解】
时， 上恰好有2个零点，
∴ ，则 ，故B、C、D中的对应值在 内.
故选：BCD
30．下列结论正确的是（ ）
A． 是第三象限角
B．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为
C．若角 的终边过点 ，则
D．若角 为锐角，则角 为钝角
【答案】BC
【分析】
利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可
判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项， 且 为第二象限角，故 为第二象限角，A错；对于B选项，扇形的半径为 ，因此，该扇形的面积为 ，B对；
对于C选项，由三角函数的定义可得 ，C对；
对于D选项，取 ，则角 为锐角，但 ，即角 为锐角，D错.
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知 ，则 ___________.
【答案】 /0.28
【分析】
将 看做一个整体，利用余弦的二倍角公式计算求得.
【详解】
因为 ，则 .
故答案为：
32．已知 ，若 ，则 _________.
【答案】
【分析】
根据同角的基本关系可得 ，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得 ，由此即可
求出结果.
【详解】
因为 ， ，
所以
所以
所以 .
故答案为： .
33．已知函数 ( ， )，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ，
且 是一个极小值点.若把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数的图象关于直线
对称，则实数 的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数 右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就
是对称轴，然后得到 的最小值.
【详解】
相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ，∴ ,∴ ，∴最小值点 右侧最近的一个最大值点为 ，第二个最值点为最小值点，即
是第一个超过 的最值点，即 右侧第一条对称轴为 ，∴把函数 的图象
向左平移 个单位长度后，所得函数的图象关于直线 对称，则实数 的最小值为 ,
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为
四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数 在直线
右侧的第一条对称轴是关键.
34．已知： ，则 的最大值是___________.
【答案】
【分析】
利用两角和的正弦公式展开求得 , 设 ,则 , 得到 ,
求得 的取值范围，进而得到 最大值.
【详解】
，
∴ ,
设 ,则 ,
∴ ,
∴ ,
即 最大值为 .故答案为： .
【点睛】
一般的， 可化为 ,可得 ,从而 ，
即 .这一结论在求解一类三角函数最值时是很方便的.
35．已知 ，则 __________．
【答案】
【分析】
由 ，利用三角函数的基本关系式，求得 ，再结合正弦、余弦的倍角公式，即
可求解.
【详解】
由 ，可得 ，即 ，解得 ，
又由 ,
,
故答案为： .
【点睛】
三角函数的化简求值的规律总结：
1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角
的三角函数值问题；
2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角
相同或具有某种关系；
3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.36．已知 ，则 __________.
【答案】
【分析】
利用诱导公式化简得出 ，根据” ”的代换结合齐次式化简计算得出函数值．
【详解】
由已知得： ，则
故答案为：
37．函数 的图象如图所示，则 ________.
【答案】
【分析】
通过函数的图象求出 ， 然后求出 ，通过函数经过 ，求出 的值.
【详解】
由题意可知 ， ，所以 ，
因为函数经过 ，所以 ， ，
∴ ,所以 .
故答案为： .
38．函数 的部分图象如图所示，则 ______.
【答案】
【分析】
由图可得 ，利用周期求出 ，又函数过点 ，解得 ，进而得出函数的解析式．
【详解】
由图可得： ， ，解得 ，
又函数过点 ，则 ，解得 ，
故答案为：
39．若 ，则满足 的 的取值范围为______________；
【答案】
【分析】
本题首先可确定在区间 上 所对应的 的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集．
【详解】
当 时，令 ，解得 或 ，
如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，
当 时， 的解集为
【点睛】
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．
40．已知 ，且 ，则 的值为__________．
【答案】
【分析】
由已知可求出 ,再借助同角三角函数的关系,即可求出结果.
【详解】
,且 ,
,且 , ,则
.
故答案为: .
【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查同角三角函数的关系,属于基础题.
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．已知函数 在 上恰有 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先化简为 ，令 ，即 在 上恰有 个不相等的实
根，由 的性质可得解
【详解】，令 ，
，
，
由题意 在 上恰有 个零点，即 在 上恰有 个不相等的实根，由
的性质可得 ，解得 ．
故选：
2．已知函数 的图象的一条对称轴为 ,则下列结论中正确的是（ ）
A． 是 图象的一个对称中心
B． 是最小正周期为 的奇函数
C． 在 上单调递增
D．先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位长
度，即可得到函数 的图象
【答案】A
【分析】
化简函数 ，将 代入得函数最值，可求得 ，进而可得 ，通过计算
，可判断A；
通过计算 ，可判断B；当 时， ，可得 在 上的单调性，可判断C；
通过振幅变换和平移变换，可判断D.
【详解】
，
当 时， 取到最值，即
解得 ，
.
，则 是 图像的一个对称中心，故A正确；
，故 不是奇函数，故B错误；
当 时， ，又 在 上先增后减，则 在
上先增后减，故C错误；
将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位长度，得
，故D错误.
故选：A3．若函数 在区间 内单调，且 是 的一个对称中心，则 的值可以
是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】
由对称中心得到 (k∈Z)，当 时，根据正弦函数的单调性结合 的范围得到
，求得 ，
当 时，根据正弦函数的单调性结合 的范围得到 ，求得 ，从而求得 的值.
【详解】
,解得 , (k∈Z)
若 ,则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ；
故 ，或 ，
如图所示，经检验符合题意.故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.
4．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系弦化切，将 化成 的表达式，代入计算即得.
【详解】
.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用三角函数的恒等变形化简求值，熟练使用倍角公式并注意弦化切可以简化计算过程.5．已知函数 ，当 时， ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 .
B．函数 的图象的一个对称中心为
C．函数 的图象的一条对称轴方程为
D．函数 的图象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】D
【分析】
利用 时， ， 得到 和 ，求得 的解析式，根据正弦函数的图象
和性质逐项排除即可.
【详解】
因为 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，因为 ，
所以 的最小正周期为 ，所以 ，故A错误；
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ；
令 ( )，得 ( )，
所以函数的对称中心为 ( )，所以B错误；
由 ( )，解得 ( )，故C错误；，向右平移 单位长度得 ，
故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦型三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到 必
然同时为最大值点或同时为最小值点，从而求得函数的周期，得到 的值.对于 的对称轴
可将 看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得；函数的图象的平移变换对应将 按照
“左加右减”口诀代换得到.
6．设函数 （ ， ）的最小正周期为 ，且过点 ，则下列
正确的为（ ）
① 在 单调递减.
② 的一条对称轴为 .
③ 的周期为 .
④把函数 的图像向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】
根据辅助角公式得 ，则 ，即
，再根据过点 ，可知 ，则 ，即
.根据余弦型三角函数的图象和性质，分别判断①②③④，是否正确，即可.【详解】
根据辅助角公式得 .
最小正周期为 ，
，即 .
函数 过点 ，
，则 .
当 时 .即 .
令 ，则 ，
当 时， 在 单调递减，①正确.
令 ，则 ，
当 时， 的一条对称轴为 ，②正确.
的周期为 且 ，③错误.
函数 的图像向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
，④错误.
故选：A
【点睛】
本题考查求正弦型三角函数的解析式以及图象和性质，属于中档题.7．若sinα＋sinβ＝ (cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于（ ）
A．－ B．－
C． D．
【答案】D
【分析】
由α，β的范围和y＝cosx的单调性,确定出两角的大小关系,利用和差化积公式求出α－β的值.
【详解】
∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α
－β<π
由原式可知：2sin ·cos ＝ (－2sin ·sin )，∴tan ＝ ，∴ ＝ ，∴α
－β＝ .
故选: D
【点睛】
本题考查三角恒等变换的应用,考查学生分析解决问题的能力和运算能力,属于中档题.
8．已知函数 的最大值为3， 的图象与 轴的交点坐标
为 ，其相邻两条对称轴间的距离为 ，则 的值为（ ）
A．2468 B．4035 C．4036 D．4040
【答案】D
【分析】
利用降幂公式化简 ，由相邻两条对称轴的距离求出 ，由最大值得出 的值，再根据图象与 轴的交
点坐标得出 的值，进而得出函数 的解析式，研究其周期性解出答案．
【详解】
，其相邻两条对称轴间的距离为 ，则周期为 ，解得 ，
由最大值为3 ，可得 ，则
又图象与 轴的交点坐标为 ， ， ，
，
故选：D
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查函数周期性的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
9．已知函数 （其中 ， ）在区间 上不是单调函数，且其值域
为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简函数 ，根据 在 上不是单调函数，且 ，求得
．根据 在 上的值域为 且 ，知道 ，求得 ，从
而得到结果.【详解】
化简
∵ 在 上不是单调函数，且 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
则 ， .
又∵ 在 上的值域为 且 ，
∴ ，解得 ，
∴ .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的三角恒等变换，三角的单调性和最值问题，属于难题.
10．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算出 的值，然后利用两角差的正弦公式可求得 的值.
【详解】， ，则 ，
因此，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用两角差的正弦公式求值，同时也涉及了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于
中等题.
11．将函数 的图象向左平移 个单位长度，向下平移 个单位长度后，得到 的图
象，若对于任意的实数 ， 都单调递增，则正数 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数图象变换求得 ，可得 ，由 得出
，由函数 单调递增可得出关于 的不等式组，即可解得正数 的最
大值.
【详解】
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 ，
再将所得函数图象向下平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
则 ，当 时， ，
由于函数 在区间 上单调递增，所以， ，
所以， ，解得 ，
由 ，解得 ， ，当 时， ，
因此，正数 的最大值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力
与计算能力，属于中等题.
12．已知函数 的图象如下，那么 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
首先化简可得 ，由图像可知 ；又因为 ，所以
，当 时，可得 ，化简可得 ，由此求出
或 ，进而求出结果.
【详解】因为 ，由图像可知，
，所以 ；
又因为 ，所以 ，
当 时，由图像可知， ,
所以， ，所以
可得 或
所以 ，又 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数图像的应用，同时考查了三角函数中的含参问题，属于中档题.
13．若将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个
单位长度，得到函数 的图象，若 在 上有两个不同的零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用图象变换求出函数 的解析式，然后将问题转化为直线 与函数 在区间
上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数 的取值范围.
【详解】
将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
令 ，得 ，则直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点，
令 ，当 时， ，即 ，
作出函数 与函数 在区间 上的图象如下图所示：
由图象可知，当 时，即当 时，直线 与函数 在区间 上的图象
有两个交点.
因此，实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．14．若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由 ，可得 ，结合 ， ，可得
，继而得到 ， ，转化
，利用两角差的正弦公式即得解
【详解】
由题意 ，故
故
又 ，
故
，
则
故选：C
【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算
能力，属于中档题15．若 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简得出 ，并求出角 和 的取值范
围，结合正弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
，则 ，由 ，
可得 ，化简得 ，
，则 ，
， ，则 ，且 ，
由于函数 在区间 上单调递增，所以 ，可得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数化简计算，涉及二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，考查计算能力与推理能力，属
于中等题.
16．若 ，则 等于
A．2 B． C． D．-2
【答案】D
【分析】由 ，则本题中需要将所求的问题转化为角 及 相关的三角函数值的运算.所以通过诱导公式，
两角和差公式，进行计算.
【详解】
， ，
，故选D.
【点睛】
化简求值某些较为复杂形式的值，只需要将所求形式中的角化成题中条件里面出现的角的形式，其中运用
到了诱导公式、两角和差公式、齐次式等知识点，综合性较强.
17．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ，结合函数的定义域，由 无意义，
周期的定义可得答案.
【详解】
，由 ，得 且
可得函数 的最小正周期 ，
但是，当 时， ， 无意义，所以 ，
又 ，且对定义域内的任意自变量 ， 也在定义域内.
所以函数 的最小正周期 .
故选：C.
18．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式对条件进行化简得 ，再进行配角求值，即可得到答案；
【详解】
∵ ，
∴
即得 ，
化简得 ，∵ ，∴ ，
∴ .
故选：B.
【点睛】
本题考查三角恒等变换的求值，求解时注意角的配凑，即整体法的运用.
19．已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 ， ，再结合两角和差的正弦公式，即可得到答案.
【详解】
由 可得
所以
所以
所以 ，即
故选：B
20．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．【答案】B
【分析】
先分别判断 的范围，求出 和 的值，利用两角和的正切公式求出
【详解】
∵ ， ，
∴ ；
∵ ，∴ ，又 ，∴
∵ ，∴
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如 等．
二、多选题
21．关于函数 ，则下列说法中正确的是（ ）A． 的最大值为
B． 的最小正周期为
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上单调递增
【答案】ACD
【分析】
计算 得到 是 的一个周期，B错误， 时， ，计算最值得
到A正确， 得到C正确，计算单调性得到D正确，得到答案.
【详解】
因为
所以 是 的一个周期，故B错误；
当 时， ，所以当 时， ，故A正确；
因为
所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
当 时， ，
因为 ，所以 在 上单调递增，故D正确．
故选：ACD.
22．已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 ，总 ，使 ，则 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
化简 ，并根据平移变换得到 ；根据正弦型函数值域可确定 的范围，由已知等式可知
（ 为 的值域），结合四个选项中 的值可确定 ，进而判断出结果.
【详解】
由题意得： ， ；
当 时， ， ， ，
， ，
设 的值域为 ， ，
对于A，当 时， ， ，不符合 ，A错误；
对于B，当 时， ， ，符合 ，B正确；
对于C，当 时， ， ，符合 ，C正确；
对于D，当 时， ， ，符合 ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数中的恒、能成立问题，解题关键是能够根据已知中的等式进行转化，得到正弦型函数值域所满足的包含关系，进而利用正弦型函数值域的求解方法依次判断各个选项得到结论.
23．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得 .
【详解】
依题意 ，
，
，
，
，
，代入 ，
，
化简得 ，
两边除以 ， ，，
解得 或 .
故选：AC
24．已知函数 ，则以下叙述正确的是（ ）
A．若 ，则 （ ）
B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递减
D． 的图象关于 （ ）对称
【答案】BCD
【分析】
对 去绝对值写成分段函数的形式，作出函数图象，结合图象逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
，
作出 的图象如图：对于A：由图知：若 ，不一定有 （ ），如取 ， ，
此时满足 ，但不满足 （ ），故选项A不正确；
对于B：由图知 的最小正周期为 ，故选项B正确；
对于C：由图知 在 上单调递减，故选项C正确；
对于D：由图知 图象关于 （ ）对称，故选项D正确；
故选：BCD.
25．已知函数 ，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期是
C． 在 上的最大值是 D． 图象的对称轴是直线
【答案】ACD
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用辅助角公式结合正
弦型函数的基本性质可判断C选项的正误；利用图象可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数 的定义域为 ，
，故函数 为偶函数，A对；
对于B选项， ，
，
所以， ，B错；
对于C选项，当 时， ，
，所以，当 时，函数 取得最大值 ，C对；
对于D选项，当 时， ，
当 时， ，
又因为 ,
所以，函数 为周期函数，且周期为 ，作出函数 的图象如下图所示：
由图象可知，函数 图象的对称轴是直线 ，D对.
故选：ACD.26．设函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．当 ， 时， 为奇函数
B．当 ， 时， 的一个对称中心为
C．若关于 的方程 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公
差为
D．当 ， 时， 在区间 上恰有 个零点
【答案】AD
【分析】
利用正弦函数的奇偶性判定 的奇偶性，进而判定A；逆用两角和差公式化为“一角一函”形式，根据
正弦函数的对称中心的性质判定B;化简方程后求得方程的正实数根，根据等差数列的定义判定C；根据零
点的定义，转化为方程，求解后判定D.
【详解】
当 ， 时， , ,
所以 是奇函数，故A正确；
当 ， 时， ， ，
不是 的一个对称中心，故B错误；
当 ， ， 时， 为 ，
即 ，
则 或 ，即 或 ， ,正根从小到大排列为 ,
, ,故不是等差数列，故C错误；
当 ， 时， ，
令 ，解得 ，
当 时解在区间 上，故在区间 上恰有 个零点，故D正确.
故答案为：AD.
27．在 中，满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若 为不同象限角，则 的最大值为
D．
【答案】BC
【分析】
利用三角函数的基本关系式，化简已知等式得到 ，利用两角和与差的余弦函数，得到
，可判定A错误；利用同角三角函数的基本关系式，可判定B正确；由 为不同象限角，
得到 ，利用三角恒等变换即基本不等式，可判定C正确；利用三角函数恒等变换的公式进
行化简，可判定D正确.
【详解】
由 ，可得 ，所以 ，
对于A中，由 ，可得 ，可得 ，所以 或 ，所以A错误；
对于B中，由 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，因为 为不同象限角，所以 ，
可得 ，所以C正确；
对于D中，由
，
所以 ，所以D错误.
故选：BC.
28．已知函数 ，则有（ ）
A． B．
C． 是函数 图象的对称中心 D．方程 有三个实根
【答案】ABC
【分析】
将函数利用三角恒等变换，转化为 ，在逐项判断.
【详解】
因为函数
，A. 因为 ，故正确；
B. 因为 ，所以
，故正确；
C. 因为 ，所以 是函数 图象的对称中心，故正确；
D.在同一坐标系中作出函数 的图象：
由图象可知：方程 的实根超过3个，故错误；
故选：ABC
【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化
为研究y＝sin t的性质．
29．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的单调递增区间为
B．若 ， ，则
C．函数 在区间 上的最大值和最小值分别为1和
D．若函数 在区间 上有唯一零点，则实数 的取值范围为
【答案】AB
【分析】
先化简函数 ，对于A，求解正弦函数的单调递增区间即可；对于B，由 可得
，则 即可求解；对于C，由 ，
根据角取值范围即可求得最值；对于D，化为 在 上有唯一实根，设
，画出函数 的部分图像，根据图像求得结果．
【详解】
．
对于A：令 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，所以选项A正确；
对于B：因为 ，所以 ，
所以若 ，即 ，则 ，
则
，所以选项B正确；
对于C： ，当 时， ，
所以 ， ，所以选项C不正确；
对于D： 在 上有唯一零点
等价于
在 上有唯一实根，由 ，得 ，令
设
依题意可知 与 的图像有唯一交点，
函数 的图像如图，由图可知实数 应满足 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 ，所以选项D不正确．
故选：AB．
【点睛】
关键点点睛：对于D，转化为 在 上有唯一实根，设 ，画出
函数 的部分图像，根据图像求得结果．
30．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上单调递减
B．直线 为 图象的一条对称轴
C． 在 上的解集为
D．函数 在 上的图象与直线 的交点的横坐标之和为
【答案】AC
【分析】
先根据绝对值的含义，将 写成分段函数的形式，然后逐段研究并作出其图象，最后根据三角函数的图
象与性质即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，
作出 的大致图象如图所示，由图可知， 在 上单调递减，所以A正确；
由图易知函数 的图象没有对称轴，所以直线 不是函数 图象的对称轴，
所以B错误；
当 时， ，由 ，可得 ，
当 时， ，由 ，可得 或 ，
所以 在 上的解集为 ，所以C正确；
结合函数的图象，可得函数 在 上的图象与直线 有4个交点，设交点的横坐标从左到右依
次设为 ， ， ， ，
根据函数 的解析式可知，
当 时， ，根据余弦函数图象的对称性可知， ，
当 时， ，根据正弦函数图象的对称性可知， ，
所以 ，所以选项D错误.
故选：AC.第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知 ， ， ，则 ________.
【答案】
【分析】
根据 ，得到 ， ，再根据 ， ，得到
，然后由 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
，，
，
故答案为：
32．已知 ， ，则 ____________.
【答案】
【分析】
由 ，得到 利用三角函数的基本关系式得到 ，再根据
，结合倍角公式，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，则 ，
又由
.
故答案为： .
33．若 ，则 ______.【答案】
【分析】
结合诱导公式以及余弦的二倍角公式和降幂公式化简整理代入数据计算即可求出结果.
【详解】
故答案为： .
34．设为 ， 为锐角，且 ， ，则 ________．
【答案】
【分析】
由题意可得 ，再利用倍角公式化简 ，可得结果．
【详解】
解：∵α，β为锐角，且 ， ，∴
，
故答案为：1
35．已知 中，则 则 最小值是___
【答案】
【分析】
利用正弦定理余弦定理得到 ，利用和角的正切得到 ,再利用基本不等式求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ,
又
所以 ,
所以 .
因为 中， ,
所以
所以 ,
所以 ,
所以 ，因为 ，所以 为锐角.
因为 ，所以 ，
所以 .
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
36．计算： ___________.
【答案】8
【分析】
利用切化弦，再根据诱导公式和辅助角公式，即可化简.
【详解】
解：
故答案为：8
37．设 为锐角，若 ，则 的值为____________.
【答案】
【分析】
利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.【详解】
为锐角， ， .
.
故答案为：
38．在 中，满足 ，则 ___________．
【答案】
【分析】
根据已知条件求得 ，由此化简求得所求表达式的值.
【详解】
由 ，
，
即 ，
所以 ，
可得 ，
又，
所以 ．
故答案为：
39．函数 的最大值为__________.
【答案】
【分析】
按 与 两类进行三角恒等变换，再利用正弦函数性质求出最大值比较而得.
【详解】
当 时， ，
，其中锐角 满
足 ，
而 ，则 ，即 时，
，
当 时， ，
，其中锐角
满足 ，
而 ，则 ，即 时，
， ，所以函数 的最大值为 .
故答案为：
40．设函数 ，若 ， ，则 的最小值为
___________.
【答案】
【分析】
对三角函数进行化简，化为最标准的形式，根据题目可得 时取得最值，从而求出辅助角的大小，得到
的关系式，即可求解 的最小值
【详解】
函数
，其中 ， ，
因为 ， ，
所以 为函数 的最值，
则有 ，
故 ，
所以 ，
故 ，
所以 ， ，
故 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．已知函数f(x)= (sin2x+4cosx)+2sinx，则f(x)的最大值为（ ）
A．4 B．
C．6 D．5 +2
【答案】B
【分析】
先将 展开，提公因式并结合拼凑法可得 ，结合 放缩，联立
辅助角公式化简，即可求解.
【详解】，由 可知，要求 最大值，只需
即可，结合基本不等式 可得
，当且仅当 ，即 时等号成立，因此当 时
的最大值为 .
故选：B
2．设函数 满足 ，且当 时， ，又函数 ，则函数
在 上的零点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
首先分析 和 的函数性质，再将函数 在 上的零点个数转化为 与
在 上的图像的交点个数问题即可求解.
【详解】
，∴ 为偶函数；
因为 ，易知 为偶函数，
令 ，易知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
易得 ， ，
当 时， ，
则 是由 图像纵坐标伸长或缩短 倍得到的函数，
又由于 为自变量，故定存在 ，使得 在 上单调递增，在 上单调递减；
同理，存在 ，使得 在 上单调递增，在 上单调递减；
令 ， ，
则 在 上的零点个数可转化为函数 与 在 上的图像的交点个数，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
∴ 与 在 上有一个交点；
同理可得， 与 在 ， ， 上各有一个交点；
∵ 与 均为偶函数，∴ 与 在 上有一个交点；
综上所述， 与 在 上有五个交点.
故选:C.
3．设函数 ，在区间 上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，方程 在区间 上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象
和性质，求得 的范围．
【详解】
解：函数 ，在区间 上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，
即 在区间 上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．
， ，
当 ，则 ，求得 ；
当 ， ，方程 在区间 上有1个根，不满足题意；
当 ， ，求得 ；
当 ，则 ，方程 在区间 上有3个不同的根，满足条件，此时， ，
当 ， ，方程 在区间 上有5个不同的根，不满足题意；
当 时，方程 在区间 上至少有5个不同的根，不满足题意．
综上，可得 ，
故选：A．
4．已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【分析】
利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不可能均大
于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.【点睛】
思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三
角变换的公式特征选择放缩的方向.
5．在 中，已知 ，其中 （其中 ），若
为定值，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
，化简得 ，再由 为
定值，化简得到 恒成立，列出方程组，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ， ，
因为 ，得 ，
即 ，
又由
（定值），即 ，
即 恒成立，
可得 ，解得 ， .
故选：A．
【点睛】
方法点拨：解答中把 为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为
恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键.
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1
描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象
为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动
2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从 运动到
点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标
原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系 （如图2），则h与t的函数关系式为（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
首先先求以 为终边的角为 ，再根据三角函数的定义求点 的纵坐标，以及根据图形表示 .
【详解】
，所以 对应的角是 ，
由 在 内转过的角为 ，
可知以 为始边，以 为终边的角为 ，
则点 的纵坐标为 ，
所以点 距水面的高度 表示为 的函数是 .
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以 在 内转过的角为
，再求以 为终边的角为 .
7．已知定义在R上的奇函数 满足 ，当 时， ，若函数
在区间 上有2021个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
由函数的奇偶性，对称性及周期性，结合函数的图象的作法，分别求得函数 和 的图象，
观察其交点的分布规律，即可求解.
【详解】
由题意，函数 为R上奇函数，所以 ，且 ，
又 ，可得 ，可得函数 的图象关于点 对称，联立可得
，所以 是以2为周期的周期函数，
又由函数 的周期为2，且关于点 对称，
因为当 时， ，
由图象可知，
函数 和 的图象在 上存在 四个零点，即一个周期内
有4个零点，
要使得函数 ，在区间 上有2021个零点，
其中 都是函数的零点，
可得实数 满足 ，即 .
故选：B.
【点睛】应用函数的奇偶性、对称性和周期性，以及结合函数的图象进行求解是解答的关键.
8．设函数 ，对于非负实数t，函数 有四个零点 ， ， ， ．若
，则 的取值范围中的整数个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
画出图形，将问题转化为 与 图像的交点，可得 ，根据 的范围，可得 ，然后
可得 ，简单判断可得结果.
【详解】
如图所示：
依据题意可知：非负实数t，所以 ，
当 时，则 ，即
所以
当 时，则 ，即 ，所以
所以
所以只有 一个整数在这个范围，
故选：B【点睛】
关键点睛：本题关键在于数形结合以及依据 的范围，求得 ，进行判断.
9．已知 ， ，其中 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将已知等式变形为 ， ，构造函数 ，
通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.
【详解】
设 ，则 ，易知 是偶函数．当 时， ， ，所以
；
当 时， ， ，所以 ．所以 恒成立，即 在定义域内单调递增．
因为 ，所以 为奇函数，从而 的图象关于点 对称，因为
，
所以 ，
同理可得 ．则 ，从而 ，即 ，
故 ．
故选：D
【点睛】
关键点睛：本题解题关键是构造函数 ，将已知条件转化为 ，再利
用函数 的单调性及奇偶性解决.
10． ＝ （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出 ，然后，利用 ，代入 的值求解即可
【详解】
，
令 ，得 ， ， ，所以， ，
所以，
故选：A【点睛】
关键点睛：解题的关键在于，利用 和 ，求出 ，然后
利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题
二、多选题
11．已知 ，则（ ）
A． 的图像关于直线 对称
B． 在 上递增
C． 的值域是
D．若方程 在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 ，则
【答案】ACD
【分析】
化简函数 ，对A选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B，C选项，换元借助导数求解并判断；对
D选项，利用对称性、周期性计算并判断.
【详解】
依题意有 ，
对于A选项： ，
即 ， 的图像关于直线 对称，A正确；
对于B选项： 在 上单调递增， ， ，， 时 ， 时 ，即 在 不单调，
由复合函数单调性知， 在 上不单调，即B错误；
对于C选项：令 ，则 ， ，
在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增， ， ， ，
， 的值域是 ， 的值域是 ，C正确；
对于D选项：由已知得 ，
解得 或 (舍去)，
由 得函数 图象在区间 且确保 成
立的，
对称轴为 ， 在 内有11个根 ，
数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列，
，D正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键.
12．已知函数 ，下列说法正确的有（ ）A．函数 在 上单调递减
B．函数 是最小正周期为 的周期函数
C．若 ，则方程 在区间 内，最多有4个不同的根
D．函数 在区间 内，共有6个零点
【答案】ACD
【分析】
可判断函数为偶函数，讨论 的范围，化简可得函数单调性，画出函数的图象即可判断.
【详解】
， 为偶函数，
当 时， ，所以 ，
又 ，由 在 为减函数可得 在 上单调递减，故A正确；
当 时，由 可得 ，所以函数在 且 上为
增函数，在 且 上为减函数，
当 时，由 可得 ，所以函数在 且
上为增函数，在 且 上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故
不是周期函数，故B错误；
方程 在区间 内根的个数，等价于 与 的图象的交点个数，由图象可知最多有4个
交点，故C正确；
由函数图象可得 在区间 有6个零点，故D正确.
故选：ACD.13．已知函数 ，若 ，且 在 上有且仅有三个极值点，
则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在区间 上单调递增
C． 在区间 上的最小值等于
D．将 的图象向右平移 个单位可得到 的图象
【答案】ABD
【分析】
先根据条件等式以及极值点个数列出关于 的等式与不等式，由此确定出 的取值，从而 的解析式可
求，然后逐项分析最小正周期、单调增区间、在区间 上的最小值、图象的变换.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ；因为 在 上有且仅有三个极值点，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 时， 满足条件，所以 ， ；
A. ，故正确；
B.令 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，故正确；
C.因为 ，所以 ，所以 ，故错误；
D. 图象向右平移 个单位得到 ，又因为
，故正确；
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：求解形如 的函数的单调递增区间的步骤如下：
（1）先令 ；
（2）解上述不等式求解出 的取值范围即为 的单调递增区间.
14．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 ，实际上类似的还有三倍角公式，则下列
说法中正确的有（ ）
A．B．存在 时，使得
C．给定正整数 ，若 ， ，且 ，则
D．设方程 的三个实数根为 ， ， ，并且 ，则
【答案】ACD
【分析】
利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简 即可判断选项A；令 ，则 ，
根据三角函数的有界性得到 ，进而判断B选项；令 ，其中 ， ，问题转化
为 ，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程 得到 或 或
，比较大小得到 ， ， ，再验证 是否成立即可.
【详解】
，A对
令 ，则 ， ，则 ，B错；
令 ，其中 ，
，即
∴由 可得
，即 ，∴
∴ ，C对；
令 ， ，
，即
即
∵ ，∴ 或 或
令 ， ， ， ，
∴ 的根都在 ，∴ ， ，
，D对
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查学生三角函数，二次函数的相关性质的问题，主要考察学生分析问题解决问题的能力，对学
生的要求比较高，属于难题，在做此类目时不要慌张，静下心来，慢慢分析就可以找到题目的突破口.
15．已知函数 ， .若存在 ，使得对任意 ，
，则（ ）
A．任意
B．任意C．存在 ，使得 在 上有且仅有2个零点
D．存在 ，使得 在 上单调递减
【答案】BD
【分析】
化简函数 ，根据任意 ， ，得到 是函数 的最小值点，可判定A不
正确；由函数 的最小正周期为 ，得到 为函数 的最大值点，可判定B正确；由区间
上 ，此时 ，可判定C错误；取 ，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数 ，其中 ，
因为对任意 ， ，即 是函数 的最小值点，
所以函数 关于 对称，所以 ，所以A不正确；
由函数 的最小正周期为 ，所以 为函数 的最大值点，所以
，所以B正确；
因为 ，且 是函数 的最小值点，可得 ，
所以在区间 上 ，此时 ，
故不存在 ，使得 在 上有且仅有2个零点，所以C错误；
取 ，则在 内， 单调递减且 ，所以 单调递减，所以D正
确.
故选：BD.【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对
称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中
主要角的范围的判定，防止错解.
第II卷（非选择题）
三、填空题
16． ___________.
【答案】
【分析】
先利用两角和差化积公式凑配化简得 ，代入原式即可得解.
【详解】
，
.
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，利用两角和差化积公式凑配化简
是解题的关键，考查学生的运算能力，属于较难题.17．设 ，其中 ， ，若 对一切 恒成立，则对于以
下四个结论：
① ；
② ；
③ 既不是奇函数也不是偶函数；
④ 的单调递增区间是 ．
正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．
【答案】①③
【分析】
利用辅助角公式可得 且 ，根据题设不等式恒成立可得 ，
再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.
【详解】
由题设， 且 ，
∵ 对一切 恒成立，
∴ ，即 ，则 ,
① ，正确；
② ，而
，所以 ，错误；③ ，故 ，即 是非奇非偶函数，正确；
④因为 在 上单调递增，所以
，令 ，则 等价于 上
单调递增，错误；
故答案为：①③
【点睛】
关键点点睛：利用辅助角公式求得 ，由正弦函数的性质及不等式恒成立有
求 值.
18．已知函数 ( ， )的部分图象如图所示， 的图象与 轴的交点的坐标是
，且关于点 对称，若 在区间 上单调，则 的最大值是___________.
【答案】
【分析】
先根据函数的图象及其所过的点可求 ，再根据图象的对称性可求 ( )，求出函数单调
区间的一般形式，利用 为前者的子集可求 的范围，从而可求 的最大值.【详解】
∵函数 的图象经过点 ，∴ ， ，
，∴ 或 .
若 ，则 ，
则当 时， ，故 在 为增函数，
这与题设中的图象不符合，故 .
∴ ，由 的图象关于点 对称，
得 ， ，即 ( )，
令 ，则 ，
故 的单调区间为 .
∵ 在区间 上单调，
故存在整数 ，使得 ，
故 ，因为 ，故 ，且 ，
故 即 ，
故 或 或 或 或 .
又 ( )，∴ 或 ，∴ 的最大值是 .
故答案为：11.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的正弦型函数，如果已知其在给定区间上的单调性，则可以求出函数的单调区间的一般形式，根据给定区间为一般形式的子集得到参数满足的不等式组，该不等式组有整数解，从而得到参
数的取值范围.
19．已知 ，若函数 的最大值为5，则 ________.
【答案】8
【分析】
用辅助角公式变形 ， ，然后分析
的符号得出 达到最大值时的条件，在此条件下再变形 的表达式（去掉绝对值符号），然
后再由三角函数知识求得最大值为 ，从而得出结论．
【详解】
设 ，其中 ， ，
则 ，
∴ ，
当 取负值时， 取得最大值，
∴ 达到最大值时，
，
∴当 时， ，解得 ．（解题过程中同时取“＋”或
“－”）
是负值， 的终边在 轴下方，那么 或 的终边在 轴负半轴（含原点）是
可以达到的，即最大值能取到．
故答案为：8．
【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式，考查三角函数的最值，考查了学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维
能力，运算求解能力．
20．在锐角三角形 中，已知 ，则 的取值
范围是________.
【答案】
【分析】
利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到 取
值范围，利用三角函数的恒等变换化简 为 ，构造函数利用导
数研究其值域即可.
【详解】
由题意可得， ，
即 .不妨设
则
由 得 令 ，
单调递减，
单调递增，
取得极小值，也是最下值， ，
所以 在 上的值域为 ，
所以 ,又△ 为锐角三角形，所以 ，
则 ，故 .
,
令 ，故 在 上单调递增，
所以 的值域为
故 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.
