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7.4.1 二项分布 ---B提高练
一、选择题
1．（2021·辽宁大连市·辽师大附中高二月考）下列说法正确的个数是（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 是一个随机变量，且 ；
②某福彩中奖概率为 ，某人一次买了8张，中奖张数 是一个随机变量，且 ；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数 是随机变
量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投
篮中命中的次数 是一个随机变量，且 ，所以该命题正确；②某福彩中奖概率为
，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为 ，相当于做了8次独立重复试验，
中奖张数 是一个随机变量，且 ，所以该命题正确；③从装有5个红球、5个白球的
袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当
时，概率为 ，当 时，概率为 ，当 时，概率为 ，依次
类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以 不服从 ,
所以该命题错误.故选：C
2．（2021·辽宁高二月考）已知某种药物对某种疾病的治愈率为 ，现有 位患有该病的患者服用
了这种药物， 位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有 位患者被治愈的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知 位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为 ，则不被治愈的概率为
所以 位患者中恰有1为患者被治愈的概率为 ，故选：B
3．（2021·安徽蚌埠市高二月考）若随机变量 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为随机变量 ，所以 ， ，
所以 ， ，D项错误，故选：D.
4．（2021·江苏省丰县中学高二期末）某人射击一发子弹的命中率为 ，现他射击19发子弹，理
论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率 如下表，那么在他射击完19发
子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
n 0 1 … k … 19
… …
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
【答案】D
【详解】根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率（ ， ， ， ， ），
则有 且 ，
即 ，解可得 ，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第
15或16发.故选：D．
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反
面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、
“一正二反”的概率分别为 ，根据独立重复试验的概率计算公式，
可得： ，
由 ，故A是错误的；由 ，故B是错误的；
由 ，故C是正确的；由 ，故D是正确的.故选：CD
6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制
数 （例如10100）其中A的各位数中 出现0的概率为 ，出现1的
概率为 ，记 ，则当程序运行一次时（ ）A．X服从二项分布 B．
C．X的期望 D．X的方差
【答案】ABC
【详解】解：由于二进制数 的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0， ，记其概率为 ；
②后4个数位只出现1个1， ，记其概率为 ；
③后4位数位出现2个1， ，记其概率为 ，
④后4个数为上出现3个1，记其概率为 ，
⑤后4个数为都出现1， ，记其概率为 ，
故 ，故 正确；又 ，故 正确；
， ，故 正确； ， 的方差 ，
故 错误．故选： ．
二、填空题
7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，
海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数
据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为 ，则该地在该季节内连续三天内，至少
有两天出现大潮的概率为______________.
【答案】
【详解】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为 ，有三天出现大潮概率为 ，
所以至少有两天出现大潮的概率为 ，故选：A.
8．（2021·江苏扬州市高二月考）根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于
，能在扬州的夜空中看到它.下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：
参宿
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一
四
赤纬
现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有 人能在扬州的夜空中看到观测
目标，则 的数学期望为___________.
【答案】3.6
【详解】大于 的有9个，小于 的有1个在扬州能看到的概率为 ， ，
.
9．（2021·辽宁高二月考）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两
次射击中至多命中一次的概率是 ，则该射手每次射击的命中率为______________.
【答案】
【详解】设该射手射击命中的概率为 ，两次射击命中的次数为 ，则 ，由题可知：
，即 ，解得 .
10．（2021·全国高二专题练习）随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我
国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的 家快递公司的某项指
标进行了 轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这
家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这 轮测试中恰好有 轮测试结果都出现
家公司排名不变的概率为_________.
【答案】
【详解】解：首先，在一轮测试中 家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现 家公司排名
不变的概率为 ，其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为 ,
故 轮测试中恰好有 轮测试结果都出现 家公司排名不变的概率为 .
三、解答题
11．（2021·浙江高二期末）2021年4月3日我校学生在浙江省首届少年诗词大会比赛中喜获佳绩，
荣获初中组总冠军．海选环节，进入预赛的条件为：电脑随机抽取5首古诗，参赛者能够正确背诵
3首及以上的进入预赛．若同学甲参赛，他背诵每一首古诗正确的概率均为 ．
（1）求甲进入预赛的概率；
（2）甲同学进入了预赛，此后的比赛采用积分制计算个人成绩，电脑随机抽取3首古诗，每首古
诗背诵正确加2分，错误减1分．由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为 ，设甲的得分为
，请写出 的分布列，并求出甲得分的数学期望．
【答案】(1) ；(2)见解析；甲得分的数学期望为 .
【详解】解：(1)记“甲进入预赛”为事件 ，则故甲进入预赛的概率的概率为 .
(2) 的所有可能取值为 ， ， ， ，则
； ；
； ，
所以 的分布列为
所以 .
12．（2021·天津高二月考）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征
(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发
现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸
困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药
研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别
为 ， 现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲
种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病
毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用 表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为 ．【详解】解（1）设 表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数 人”，
，
表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有 人”，
依题意有
所求的概率为
（2） 的可能值为 ，且
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3数学期望
