7.6 随机变量及其分布常考题型总结(基础)
题型一:条件概率的计算............................................................. 2
题型二:利用全概率公式求概率.................................................... 4
题型三:离散型随机变量的判断.................................................... 6
题型四:求离散型随机变量的分布列...............................................8
题型五:两点分布.................................................................... 10
题型六:离散型随机变量的均值...................................................12
题型七:求离散型随机变量的方差、标准差.................................... 14
题型八:二项分布的概率最大问题................................................18
题型九:超几何分布的判断........................................................ 20
题型十:正态曲线的特点........................................................... 22
题型十一:利用3σ原则求概率.................................................... 25
7.6 随机变量及其分布常考题型总结(基础)
题型一:条件概率的计算
1.正值元宵佳节,赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中,有4 名大
学生将前往3 处场地A,B,C 开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者,每名志愿者都必须参加
且只能去一处场地,则当甲去场地A 时,场地B 有且只有1 名志愿者的概率为(
)
A.3
4
B.21
50
C.6
11
D.3
5
【答案】A
【分析】
计算甲去场地A 的方法数,计算甲去场地A 且场地B 有且只有1 名志愿者的方法数,利用条件概率求解.
【详解】设事件A 为甲去场地A,事件B 为场地B 有且只有1 名志愿者,
事件A :甲去场地A,
当剩下3 名大学生分别前往场地A,B,C,有
3
3
A
6
种方案,
当剩下3 名大学生只去场地B,C 时,有
2
2
3
2
C A
6
种方案,共12 种不同方案.
事件AB :甲去场地A,且场地B 有且只有1 名志愿者,
场地C 有两名志愿者时,有
2
3
C
1
3
种方案,
当场地B,C 时各有1 名志愿者时,有
1
2
3
2
C A
6
种方案,共9 种方案.
所以
9
3
12
4
P AB
n AB
P B A
P A
n A
.
故选:A
2.某单位开展主题为“学习强国,我学习我成长”的知识竞赛活动,甲选手答对第一道题的概率为
2
3,连续答
对两道题的概率为
1
2.用事件A 表示“甲选手答对第一道题”,事件B 表示“甲选手答对第二道题”,则�(�|�)
=(
)
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
【解题思路】利用条件概率的计算公式进行求解即可.
【解答过程】因为���=
�
�, ��=
�
�,所以���=
���
��
=
�
�
�
�
=
�
�.
故选:D.
3.已知��= 0.5,��= 0.3,��∩�= 0.1,求��|�=(
)
A.
1
10
B.
1
3
C.
1
5
D.1
【解题思路】直接利用条件概率公式计算.
【解答过程】由题可得��|�=
���
��
=
�.�
�.�=
�
�.
故选:C.
4.某校从学生文艺部6 名成员(4 男2 女)中,挑选2 人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
【解题思路】(1)古典概型的概率求法,应用列举法求概率;
(2)记“男生甲被选中”为事件�,“女生乙被选中”为事件�,根据(1)有���=
�
��且��=
�
�,应用
条件概率公式求概率;
(3)记“挑选的2 人一男一女”为事件�,“女生乙被选中”为事件�,根据(1)有��=
�
��且���=
�
��,
应用条件概率公式求概率;
【解答过程】(1)记4 名男生为A(甲),B,C,D,2 名女生为a,b(乙),
从6 名成员中挑选2 名成员有��,��,��,��,��,��,��,��,��,��,��,��,��,��,��
共有15 种情况,
记“男生甲被选中”为事件M,则基本事件为��,��,��,��,��共有5 种,故��=
�
��=
�
�.
(2)记“男生甲被选中”为事件�,“女生乙被选中”为事件�,则���=
�
��,
由(1)知��=
�
�,故���=
���
��
=
�
�.
(3)由(1)知:记“挑选的2 人一男一女”为事件�,则��=
�
��,
“女生乙被选中”为事件�,则���=
�
��,故���=
���
��
=
�
�.
5.在一个盒子中有大小与质地相同的20 个球,其中10 个红球,10 个白球,两人依次不放回地各摸1 个球,
求:
(1)在第一个人摸出1 个红球的条件下,第二个人摸出1 个白球的概率;
(2)第一个人摸出1 个红球,且第二个人摸出1 个白球的概率.
【解题思路】(1)根据古典概型的概率公式计算可得;
(2)根据概率乘法公式计算可得.
【解答过程】(1)设事件�表示:第一个人摸出红球,�表示:第二个人摸出白球,
则��=
��
��=
�
�,
第一个人摸出�个红球后,盒子中还有��个球,其中�个红球,��个白球,
故在第一个人摸出�个红球的条件下,第二个人摸出�个白球的概率��|�=
��
��.
(2)设事件�表示:第一个人摸出红球,�表示:第二个人摸出白球,
事件:第一个人摸出�个红球,且第二个人摸出�个白球即事件��,
所以���= ����|�=
�
�×
��
��=
�
��.
题型二:利用全概率公式求概率
1.某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%, 30%和35%,
又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03 和0.02.
(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅,一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品,求这两件产品来自
同一流水线的概率;
(2)从该厂的这一产品中任取一件,抽取不合格品的概率是多少?
【解题思路】(1)根据古典概型的概率公式计算得解;
(2)设A 表示“任取一件产品,抽到不合格品”,��表示“任取一件产品,结果是第�条流水线的产品”,
结合条件概率和全概率公式,即可求解.
【解答过程】(1)这两件产品来自同一流水线的概率为
C�
�
C�
�=
�
�.
(2)设A 表示“任取一件产品,抽到不合格品”,��表示“任取一件产品,结果是第�条流水线的产品”,�=
�, �, �, �,
由题,���= �. ��,���= �. ��,���= �. ��,���= �. ��,
且����
= �. ��,����
= �. ��,����
= �. ��,����
= �. ��,
从该厂的这一产品中任取一件,抽取不合格品的概率是:
��= ���× ����
+ ���× ����
+ ���× ����
+ ���× ����
= ��% × �. ��+ ��% × �. ��+ ��% × �. ��+ ��% × �. ��= �. ����.
2.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约30%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手
机超过1 小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1 小时的学生中任意调查一名学生,则
他近视的概率为(
)
A.
5
21
B.
9
40
C.
9
20
D.
7
20
【解题思路】根据给定信息,结合全概率公式列式求解作答.
【解答过程】令��=“玩手机时间超过�h 的学生”,��=“玩手机时间不超过�h 的学生”,�=“任意调查
一人,此人近视”,
则�= ��∪��,且��, ��互斥,���= �. �, ���= �. �,�(�|��) = �. �, �(�) = �. �,
依题意,��= ����(�|��) + ����(�|��) = �. �× �. �+ �. �× �(�|��) = �. �,解得�(�|��) =
�
��,
所以所求近视的概率为
�
��.
故选:B.
3.甲、乙两个袋子中各装有5 个大小相同的小球,其中甲袋中有2 个红球,2 个白球和1 个黑球,乙袋中
有3 个红球,1 个白球和1 个黑球,先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.若用事
件�1, �2和�3分别表示从甲袋中取出的球是红球,白球和黑球,用事件�表示从乙袋中取出的球是红球,则
�(�)=(
)
A.
17
30
B.
3
5
C.
9
22
D.
4
11
【解题思路】由全概率公式可得.
【解答过程】易知���=
�
�, ���=
�
�, ���=
�
�,
��|��=
�
�, ��|��=
�
�, ��|��=
�
�,
所以�(�) = �����|��+ �����|��+ �����|��
=
�
�×
�
�+
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
��
��.
故选:A.
4.莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡点,莆田文旅局调查打卡二十四景游客,
发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象,莆田文旅局为大家准备了4 种礼物,分别是莆田文化金
属书签、莆阳古厝徽章、广化寺祈福香包、湄洲艺术摆件.若打卡二十四景游客至少打卡两个景点,则有两次
抽奖机会;若只打卡一个景点,则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4 种礼物中的1 种礼物.假设打卡
二十四景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3 人,求3 人抽奖总次数不低于4 次的概率;
(2)任选一位打卡二十四景游客,求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.
【解题思路】(1)用间接法,先求其对立事件“3 人抽奖总次数低于4 次”的概率即可;
(2)应用全概率公式求解.
【解答过程】(1)设3 人抽奖总次数为�,则�的可能取值为3,4,5,6.
由题意知,每位打卡二十四景游客至少打卡两个景点的概率为
�
�,只打卡一个景点的概率为
�
�,随机抽取3
人,3 人打卡景点情况相互独立.
�= �表示抽奖总次数为3 次,即3 人都只打卡一个景点.
依题意可得,��= �=
�
�
�
=
�
��,
所以��≥�= ��= �+ ��= �+ ��= �= �−�(�= �) = �−
�
��=
��
��.
(2)记事件�=“每位打卡二十四游客至少打卡两个景点”,
则�=“每位打卡二十四景游客只打卡一个景点”,
事件�=“一位打卡二十四景游客抽中广化寺祈福香包”,
则��=
�
�,��=
�
�,
因为每次抽奖可随机获得4 种礼物中的1 种礼物,所以游客抽到每个香包的概率都是
�
�.
一个游客至少打卡两个景点,抽中广化寺祈福香包的概率为���= �−
�
�
�
=
�
��,
一个游客打卡一个景点,抽中广化寺祈福香包的概率为���ഥ=
�
�,
由全概率公式得,
��= �����+ ��ഥ���ഥ=
�
�×
�
��+
�
�×
�
�=
��
��.
题型三:离散型随机变量的判断
1.下面给出四个随机变量:
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数�;
②一个沿�轴进行随机运动的质点,它在�轴上的位置�;
③某派出所一天内接到的报警电话次数�;
④某同学上学路上离开家的距离�.
其中是离散型随机变量的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题思路】根据离散型随机变量的定义判断即可.
【解答过程】对于①,十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来,①是离散型随机变量;
对于②,沿�轴进行随机运动的质点,质点在直线上的位置不能一一列举出来,②不是离散型随机变量;
对于③,一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来,③是离散型随机变量;
对于④,某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值,不能一一列举出来,④不是离散型随机
变量,
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.
故选:B.
2.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为(
)
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数�1;
②一个沿直线�= 2�进行随机运动的质点离坐标原点的距离�2;
③某同学射击3 次,命中的次数�3;
④某电子元件的寿命�4;
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解题思路】根据给定条件,利用离散型随机变量的定义分析各命题,再判断作答.
【解答过程】对于①,半小时内经过的车辆数可以一一列举出来,故①是离散型随机变量;
对于②,沿直线�= ��进行随机运动的质点,质点在直线上的位置不能一一列举出来,故②不是离散型随
机变量;
对于③,某同学射击3 次,命中的次数可以一一列举出来,故③是离散型随机变量;
对于④,某电子元件的寿命可为任意值,不能一一列举出来,故④不是离散型随机变量;
故选:C.
3.下列变量中,哪些是随机变量,哪些是离散型随机变量?并说明理由.
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量;
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数;
(3)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
【解题思路】根据离散型随机变量的定义,判断一个随机变量X 是否为离散型随机变量的关键是判断随机
变量X 的所有取值是否可以一一列出,由此进行判断.
【解答过程】(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,可以一一
列出,因此是随机变量,也是离散型随机变量.
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,可以一一列出,因此
是随机变量,也是离散型随机变量.
(3)由于果汁的容量在498 mL~502 mL 之间波动,是随机变量,但不是离散型随机变量.
4.指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)从10 张已编好号码的卡片(1 号到10 号)中任取一张,被取出的卡片的号数;
(2)一个袋中装有5 个白球和5 个黑球,从中任取3 个,其中所含白球的个数;
(3)某林场的树木最高达30 m,则此林场中树木的高度;
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
【解题思路】根据离散型随机变量的定义,逐个判定,即可求解.
【解答过程】(1)解:只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,符合离散型
随机变量的定义,所以随机变量是离散型随机变量.
(2)解:从10 个球中取3 个球,所得的结果有以下几种:3 个白球;2 个白球和1 个黑球;1 个白球和2
个黑球;3 个黑球,即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义,所以随机变量是离散型随机变
量.
(3)解:林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,不是离散型随
机变量,所以随机变量不是离散型随机变量.
(4)解:实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,所以随机变量不是离散型随机变量.
题型四:求离散型随机变量的分布列
1.已知随机变量X 的分布列为
X
1
0
1
P
1
4
1
4q
q
则实数q (
)
A.1
4
B.1
6
C.1
8
D.1
12
【答案】D
【分析】根据随机变量的分布列性质概率之和为1 可得.
【详解】由题意:1
1 4
1
4
q
q
,
可得:
1
12
q
.
故选:D.
2.一个袋中装有5 个形状大小完全相同的小球,其中红球有2 个,白球有3 个,从中任意取出3 个球.
(1)求取出的3 个球恰有一个红球的概率;
(2)若随机变量X 表示取得红球的个数,求随机变量X 的分布列.
【答案】(1) 3
5
(2)分布列见解析.
【分析】设出事件,利用超几何分布求概率公式进行求解;(2)写出随机变量X 的可能取值及相应的概率,
求出分布列.
【详解】(1)设取出的3 个球恰有一个红球为事件A,
则
1
2
2
3
3
5
C C
2 3
3
C
10
5
P A
(2)随机变量X 可能取值为0,1,2,
3
3
3
5
C
1
0
C
10
P X
,
1
2
2
3
3
5
C C
3
1
C
5
P X
,
2
1
2
3
3
5
C C
3
2
C
10
P X
,
故X 的分布列为:
X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
3.设离散型随机变量�的分布列如下表:
�
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
则�=__________;作出2�+ 1 的分布列;作出�−1 的分布列.
【解题思路】由随机变量分布列的性质求得m,求得��+ �与�−�的取值,进而得出分布列.
【解答过程】由随机变量分布列的性质知�. �+ �. �+ �. �+ �. �+ �= �,所以�= �. �.
列表为
�
0
1
2
3
4
��
+ �
1
3
5
7
9
�
−�
1
0
1
2
3
��+ �的分布列为
��
+ �
1
3
5
7
9
�
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
�−�的分布列为
�
−�
0
1
2
3
�
0.1
0.3
0.3
0.3
4.“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组讨
论学习.甲组一共有4 人,其中男生3 人,女生1 人;乙组一共有5 人,其中男生2 人,女生3 人.现要从
这9 人的两个兴趣小组中抽出4 人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件�为“选出的这4 个人中,要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件�
发生的概率;
(2)用�表示抽取的4 人中乙组女生的人数,求随机变量�的分布列.
【解题思路】(1)直接利用古典概型概率公式求��即可;
(2)先由题得�可能取值为�, �, �, �,再求概率及�的分布列.
【解答过程】(1)��=
C3
1×C2
1×C4
2
C9
4
=
��
���=
�
�.
(2)�可能取值为�, �, �, �,
��= �=
C6
4×C3
0
C9
4
=
��
���=
�
��,
��= �=
C6
3×C3
1
C9
4
=
��
���=
��
��,
��= �=
C6
2×C3
2
C9
4
=
��
���=
�
��,
��= �=
C6
1×C3
3
C9
4
=
�
���=
�
��,
�的分布列为
�
0
1
2
3
�
�
��
��
��
�
��
�
��
题型五:两点分布
1.已知离散型随机变量�的分布列服从两点分布,且��= 0 = 2 −5��= 1 = �,则�=(
)
A.
3
4
B.
1
2
C.
1
3
D.
2
3
【解题思路】根据两点分布得��= �+ ��= �= �,与条件联立解得结果.
【解答过程】因为�的分布列服从两点分布,所以��= �+ ��= �= �,
又��= �= �−���= �= �,所以��= �= �−��−��= �,
所以��= �=
�
�,所以�=
�
�.
故选:A.
2.已知随机变量��满足���= 0 = ��,���= 1 = 1 −��,且0 < ��<
1
2,�= 1,2.若��1 < ��2 ,则(
).
A.�1 < �2,且��1 < ��2
B.�1 > �2,且��1 > ��2
C.�1 < �2,且��1 > ��2
D.�1 > �2,且��1 < ��2
【解题思路】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由���< ���可得��> ��,根
据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果.
【解答过程】由题知变量��,��的分布列均为两点分布.变量��,��的分布列如下:
��
0
1
��
0
1
�
��
�
−��
�
��
�
−��
则���= �−��,���= �−��,���= ���−��,���= ���−��,
由���< ���⇒�−��< �−��⇒��> ��,因为�< ��<
�
�,�= �, �,
函数�= �(�−�)在�,
�
�上单调递增,所以���> ���.
故选:B.
3.在一次购物抽奖活动中,假设10 张奖券中有一等奖奖券1 张,可获价值50 元的奖品,有二等奖奖券3
张,每张可获价值10 元的奖品,其余6 张没有奖品.顾客甲从10 张奖券中任意抽取1 张,求中奖次数X
的分布列.
【解题思路】先列出随机变量的可能值,然后求出随机变量可能值随对应的概率即可.
【解答过程】抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故X 的取值只有1 和0 两种情况.
��= �=
C�
�
C��
�=
�
��=
�
�,
则��= �= �−��= �= �−
�
�=
�
�.
因此X 的分布列为:
X
0
1
P
�
�
�
�
4.袋中有除颜色外都相同的红球10 个,白球5 个,从中摸出2 个球,如果只关心摸出两个红球的情形,问
如何定义随机变量X,才能使X 满足两点分布,并求分布列.
【解题思路】根据题意,结合古典概型的概率公式以及组合数的计算公式,利用两点分布,可得答案.
【解答过程】从含有10 个红球,5 个白球的袋中摸出2 个球,其结果是随机的,可能是一红一白、两红、
两白三种情况,为此我们定义随机变量如下:
当�= �时,两个球非全红;当�= �时,两个球全红.
则X 显然服从两点分布,且��= �=
C��
�
C��
�=
�
�,∴��= �= �−
�
�=
�
�.
∴X 的分布列为:
X
0
1
P
�
�
�
�
题型六:离散型随机变量的均值
1.已知某随机变量X 的分布为
�
-1
1
2
�
0.3
0.2
�
则��等于(
)
A.0.9
B.0.7
C.1.2
D.无法确定
【解题思路】由分布列的性质求出�,再由均值的公式求��.
【解答过程】因为�. �+ �. �+ �= �,所以�= �. �,
则��=−�× �. �+ �× �. �+�× �. �= �. �.
故选:A.
2.元宵节庙会上有一种摸球游戏:布袋中有15 个大小和形状均相同的小球,其中白球10 个,红球5 个,
每次摸出2 个球.若摸出的红球个数为�,则�5�−5 =(
)
A.−
5
3
B.
5
3
C.−
10
3
D.
10
3
【解题思路】由题意可知�的可能取值为0,1,2,然后求出相应的概率,从而可求出�(�),再利用期望
的性质可求得结果.
【解答过程】�的可能取值为0,1,2,则
��= �=
C��
�
C��
�=
�
�,��= �=
C��
�C�
�
C��
�
=
��
��,��= �=
C�
�
C��
�=
�
��,
所以��= �×
�
�+ �×
��
��+ �×
�
��=
�
�,
故���−�= ���−�=
��
�−�=−
�
�.
故选:A.
3.我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况,随机调查了120 个学生,得到这些学生5 天
内每天坚持自主学习时长�(单位:小时)的频数分布表,假如每人学习时间长均不超过5 小时.
时长�
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
4,5
学生数
30
24
40
16
10
(1)估计这120 个学生学习时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)以表中�的分组中各组的频率为概率,校领导要从120 名学生中任意抽取两名进行家长座谈.若抽取的
时长�∈[0,1),则赠送家长慰问金100 元;抽取的时长�∈[1,2),则赠送家长慰问金200 元;抽取的时长�∈
2,5 ,则赠送家长慰问金300 元.设抽取的2 名学生家长慰问金额之和为�,求�的分布列及数学期望.
【解题思路】(1)根据频数分布表中的数据直接列式即可计算;
(2)由题可得�的所有可能取值为200,300,400,500,600,求出�取不同值对应的概率,即可得出分
布列,求出数学期望.
【解答过程】(1)这120 个学生学习时长的平均数�=
�
���(�. �× ��+ �. �× ��+ �. �× ��+ �. �× ��+
�. �× ��) = �. �.
(2)依题意可得�∈[�, �)的概率为
��
���=
�
�,
�∈[�, �)的概率为
��
���=
�
�,�∈�, �的概率为
��+��+��
���
=
��
��.
�的所有可能取值为200,300,400,500,600,
�(�= ���) =
�
�×
�
�=
�
��,�(�= ���) = �×
�
�×
�
�=
�
��,
�(�= ���) = �×
�
�×
��
��+
�
�×
�
�=
��
���,
�(�= ���) = �×
�
�×
��
��=
��
��,�(�= ���) =
��
��×
��
��=
���
���,
则�的分布列为
�
200
300
400
500
600
�
�
��
�
��
��
���
��
��
���
���
故��= ���×
�
��+ ���×
�
��+ ���×
��
���+ ���×
��
��+ ���×
���
���= ���.
4.学校进行足球专项测试考核,考核分“定位球传准”和“20 米运球绕杆射门”两个项目.规定:“定位球传准”
考核合格得4 分,否则得0 分;“20 米运球绕杆射门”考核合格得6 分,否则得0 分.现将某班学生分为两组,
一组先进行“定位球传准”考核,一组先进行“20 米运球绕杆射门”考核,若先考核的项目不合格,则无需进
行下一个项目,直接判定为考核不合格;若先考核的项目合格,则进入下一个项目进行考核,无论第二个
项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8,“20 米运球绕杆射门”考核合
格的概率为0.7,且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
(1)若小明先进行“定位球传准”考核,记�为小明结束考核后的累计得分,求�的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先进行哪个项目的考核?并说明理由.
【解题思路】(1)求出不同情况的概率,再求分布列即可.
(2)分不同情况计算期望,讨论即可.
【解答过程】(1)由已知可得,�的所有可能取值为�, �, ��,
则��= �= �−�. �= �. �, ��= �= �. �× �−�. �= �. ��,
��= ��= �. �× �. �= �. ��,
所以�的分布列为:
�
0
4
10
�
0.2
0.24
0.56
(2)小明应选择先进行“定位球传准”考核,理由如下:
由(1)可知小明先进行“定位球传准”考核,累计得分的期望为
��= �× �. �+ �× �. ��+ ��× �. ��= �. ��,
若小明先进行“20 米运球绕杆射门”考核,记�为小明的累计得分,则�的所有可能取值为�, �, ��,
��= �= �−�. �= �. �, ��= �= �. �× �−�. �= �. ��,
��= ��= �. �× �. �= �. ��,
则�的期望为��= �× �. �+ �× �. ��+ ��× �. ��= �. ��,
因为��> ��,所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先进行“定位球传准”考核.
题型七:求离散型随机变量的方差、标准差
1.设0 < �< 1,随机变量�的分布列为
�
0
1
2
P
2 −�
3
1
3
b
则当�在(0,1)内增大时(
)
A.��增大
B.��减小
C.��先减小后增大
D.��先增大后减小
【解题思路】根据随机变量分布列的性质,结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.
【解答过程】根据随机变量分布列的性质可知
�−�
�+
�
�+ �= �,所以�=
�
��,
所以�(�) = �×
�−�
�+ �×
�
�+ ��=
�
�(�+ ��),
所以�(�) = [�−
�
�(�+ ��)]�×
�−�
�+ [�−
�
�(�+ ��)]�×
�
�+ [�−
�
�(�+ ��)]�×
�
�
=−
�
���+
�
��+
�
�=−
�
�(�−�)�+
�
�,
因为�< �< �,所以�(�)单调递增,
故选:A.
2.甲乙两人进行乒乓球比赛,现采用三局两胜制,规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局
甲赢的概率都是
1
3,随机变量�表示最终的比赛局数,则(
)
A.��=
26
9 , ��=
8
81
B.��=
26
9 , ��=
20
81
C.��=
22
9 , ��=
8
81
D.��=
22
9 , ��=
20
81
【解题思路】求出随机变量�的所有取值,求出对应概率,再根据期望与方差公式计算即可.
【解答过程】由题意,�可取�, �,
��= �=
�
�
�
+ �−
�
�
�
=
�
�,
��= �= C�
�×
�
�× �−
�
�×
�
�+ C�
�× �−
�
�×
�
�× �−
�
�=
�
�,
则��= �×
�
�+ �×
�
�=
��
�,
��=
�
�× �−
��
�
�
+
�
�× �−
��
�
�
=
��
��.
故选:D.
3.某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广
告.某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案:
方案一:投放该平台广告,据市场调研,其收益X 分别为0 元,20 万元,40 万元,且��= 20 = 0.3,
期望��= 30.
方案二:投放传统广告,据市场调研,其收益Y 分别为10 万元,20 万元,30 万元,其概率依次为0.3,0.4,0.3.
(1)请写出方案一的分布列,并求方差��;
(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告?并说明你的理由.
【解题思路】(1)设出�= �, �= ��的概率,依题列出方程组求解即得�的分布列,算出方差;
(2)依题列出Y 的分布列,算出期望与方差,再与�的期望与方差比较即得.
【解答过程】(1)设��= �= �,��= ��= �,
依题意得�+ �+ �. �= �①,又��= �× �+ ��× �. �+ ���= ��②,
由①②解得:�= �. �,�= �. �.
∴X 的分布列为
X
0
20
40
P
0.1
0.3
0.6
则��= �−���× �. �+ ��−���× �. �+ ��−���× �. �= ���.
(2)由题得Y 的分布列为
Y
10
20
30
P
0.3
0.4
0.3
则��= ��× �. �+ ��× �. �+ ��× �. �= ��,
��= ��−���× �. �+ ��−���× �. �+ ��−���× �. �= ��.
由��> ��可知采用平台广告投放期望收益较大,又��> ��,说明平台广告投放的风险较高.
综上所述,如果公司期望高收益,选择平台广告;如果公司期望收益稳定,选择传统广告.
4.不粘锅是家庭常用的厨房用具,近期,某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12 款不粘锅商品,并
委托第三方检测机构进行检测,本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6 项性能项
目进行比较试验,性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6 个
指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如下:
检测结果
检测结果
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
1
品牌1
Ⅰ级
Ⅰ级
7
品牌7
Ⅰ级
Ⅰ级
2
品牌2
Ⅱ级
Ⅰ级
8
品牌8
Ⅰ级
Ⅰ级
3
品牌3
Ⅰ级
Ⅰ级
9
品牌9
Ⅱ级
Ⅱ级
4
品牌4
Ⅱ级
Ⅱ级
10
品牌10
Ⅱ级
Ⅱ级
5
品牌5
Ⅰ级
Ⅰ级
11
品牌11
Ⅱ级
Ⅱ级
6
品牌6
Ⅱ级
Ⅰ级
12
品牌12
Ⅱ级
Ⅱ级
(Ⅰ级代表性能优秀,Ⅱ级代表性能较好)
(1)从这12 个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据,求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率:
(2)从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据,求两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌
个数恰为2 个的概率;
(3)顾客甲从品牌�,�+ 1,�+ 2 �= 1,4,7,10 中随机选取1 个品牌,用“��= 1”表示选取的品牌两
个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级,“��= 0”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ级(k=1,4,
7,10).写出方差��1, ��4, ��7, ��10的大小关系(结论不要求证明).
【解题思路】(1)直接计算事件发生概率;
(2)根据分步分类计数原理,结合排列组合即可求解,
(3)分别计算出概率,计算期望值,再比较大小.
【解答过程】(1)“不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5 个,
记事件�为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级,
则�(�) =
C5
2
C12
2 =
�
��.
(2)前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3 个,后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2 个,
记事件B 为两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌个数恰为2 个,
则�(�) =
C3
2C�
�+C3
2C�
�+C3
1C�
�C2
1C�
�
C6
2C6
2
=
��+�+��
����=
��
��;
(3)品牌123 中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有2 个,品牌456 中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有1
个,品牌789 中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有2 个,品牌123 中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有0 个,
所以��分布列为
��
0
1
�
�
�
�
�
���=
�
�, ���=
�
�× �−
�
�
�
+
�
�× �−
�
�
�
=
�
�, ��分布列为
��
0
1
�
�
�
�
�
���=
�
�, ���=
�
�× �−
�
�
�
+
�
�× �−
�
�
�
=
�
�, ��分布列为
��
0
1
�
�
�
�
�
���=
�
�, ���=
�
�× �−
�
�
�
+
�
�× �−
�
�
�
=
�
�, ���分布列为
���
0
1
�
�
0
����= �, ����= �× �−��+ �× �−��= �,所以���= ���= ���> ����.
题型八:二项分布的概率最大问题
1.若�~�10,0.5 ,则��= �取得最大值时,�=(
)
A.4 或5
B.5 或6
C.10
D.5
【解题思路】根据二项分布的概率公式得到��= �= C��
�
�. ���,再根据组合数的性质判断即可;
【解答过程】解:因为�~���, �. �,所以��= �= C��
k
�. ���−�⋅�. ��= C��
�
�. ���,
由组合数的性质可知当�= �时C��
�取得最大值,即��= �取得最大值,所以�= �;
故选:D.
2.设随机变量�∼��, �,记��= ��
���(1 −�)�−�, �= 0,1,2, ⋯, �.在研究��的最大值时,某数学兴趣小组的
同学发现:若�+ 1 �为正整数,则�= �+ 1 �时,��= ��−1,此时这两项概率均为最大值;若�+ 1 �
为非整数,当�取�+ 1 �的整数部分,则��是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地
均匀的股子并实时记录点数1 出现的次数.当投郑到第30 次时,记录到此时点数1 出现7 次,若继续再进
行70 次投掷试验,则当投掷到第100 次时,点数1 总共出现的次数为(
)的概率最大
A.16
B.17
C.18
D.19
【解题思路】首先得出出现1 点次数�∼�(��,
�
�),然后由已知理论计算出概率最大时次数,再加上前面
出现的次数可得结论.
【解答过程】由题意出现1 点次数�∼�(��,
�
�),由已知理论得�= (��+ �) ×
�
�= ��次时( (��+ �) ×
�
�
表示(��+ �) ×
�
�的整数部分),概率最大,又前30 次中出现了7 次,
所以当投掷到第100 次时,点数1 总共出现的次数为�+ ��= ��时概率最大.
故选:C.
3.某种植户对一块地的��∈�∗, �> 2 个坑进行播种,每个坑播3 粒种子,每粒种子发芽的概率均为
1
2,且
每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要
补播种.
(1)从�个坑中选两个坑进行观察,两坑不能相邻,有多少种方案?
(2)对于单独一个坑,需要补播种的概率是多少?
(3)当�取何值时,有3 个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?
【解题思路】(1)不相邻问题插空法;
(2)单独一个坑需要补播种的情况有两种,分别计算两粒种子不发芽的概率和三粒种子不发芽的概率,
两者概率之和即是答案;
(3)由(2)可得�个坑要补播种的概率为C���
�
�
,应用不等式法求最大概率并确定对应�值即可.
【解答过程】(1)先把�−�个坑排好共�−�个空,再把剩下的2 个坑往�−�空里放,共有C�−�
�
=
��−�
�
种方案;
(2)一个坑需要补播种有两种可能:两粒种子不发芽和三粒种子不发芽
两粒种子发芽的概率= C�
��
�
�
=
�
�
三粒种子发芽的概率=
�
�
�
=
�
�
所以一个坑需要补播种的概率�= �−
�
�+
�
�=
�
�
(3)3 个坑要补播种的概率为C���
�
�
,要想有3 个坑要补播种概率最大,即满足不等式组
C�
��
�
�
≥C�−�
�
�
�
�−�
C���
�
�
≥C�+�
�
�
�
�+�
解得:�≤�≤�,又�∈N*,所以�= �或�时,3 个坑要补播种的概率最大,此时C���
�
�
=
�
��.
4.随着科技的不断发展,人工智能技术的应用领域也将会更加广泛,它将会成为改变人类社会发展的重要
力量.某科技公司发明了一套人机交互软件,它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对该交互软
件进行测试时,如果输入的问题没有语法错误,则软件正确应答的概率为80%;若出现语法错误,则软件
正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率;
(2)在某次测试中,输入了�(�≥6)个问题,每个问题能否被软件正确应答相互独立,记软件正确应答的个
数为X,�= �(�= 0,1, ⋯, �)的概率记为��= �,则n 为何值时,��= 6 的值最大?
【解题思路】(1)根据题意结合全概率公式运算求解;
(2)由题意可知:�∼��,
�
�且��= �= C�
��
�
��
�
�−�
,结合数列单调性分析求解.
【解答过程】(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“回答正确”为事件B,
由题意可知:��= �. �, ��|�= �. �, ��|�= �. �,则��= �−��= �. �,
所以��= ��|���+ ��|���= �. ��.
(2)由(1)可知:��= �. ��=
�
�,
则�∼��,
�
�,可得��= �= C�
��
�
�
�−
�
�
�−�
= C�
��
�
��
�
�−�
,
令��= C��
�
�
��
�
�−�
,则
��+�
��=
C�+�
�
�
�
��
�
�−�
C���
�
��
�
�−�=
�+�
��−�,
令
�+�
��−�> �,解得�< �,可知当�≤�,可得��+�> ��;
令
�+�
��−�< �,解得�> �,可知当�≥�,可得��+�> ��;
令
�+�
��−�= �,解得�= �,可得��= ��;
所以当�= �或�= �时,��最大,即n 为7 或8 时,��= �的值最大.
题型九:超几何分布的判断
1.一个袋中有6 个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4 个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中
任取4 个球,有如下几种变量:
①X 表示取出的最大号码;
②X 表示取出的最小号码;
③取出一个黑球记2 分,取出一个白球记1 分,X 表示取出的4 个球的总得分;
④X 表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是(
)
A.①②
B.③④
C.①②④
D.
①②③④
【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.
【解答过程】对于①,当X 表示最大号码,比如�= �表示从黑球编号为�, �, �, �, �中取3 个黑球,
而�= �表示从6 个黑球和编号为�的白球共7 个球中取3 个球,
故该随机变量不服从超几何分布,同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③,�的可能取值为�, �, �, �, �,
�= �表示取出4 个白球;
�= �表示取出3 个白球1 个黑球;
�= �表示取出2 个白球2 个黑球;
�= �表示取出1 个白球3 个黑球;
�= �表示取出4 个黑球;
因此�服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合,
故选:B.
2.在一个袋中装有质地大小一样的6 个黑球,4 个白球,现从中任取4 个小球,设取的4 个小球中白球的
个数为X,则下列结论正确的是(
)
A.�(�= 1) =
2
5
B.随机变量�服从二项分布
C.随机变量�服从超几何分布
D.��=
8
3
【解题思路】由题意知随机变量�服从超几何分布,利用超几何分布的性质直接判断各选项即可.
【解答过程】解:由题意知随机变量�服从超几何分布,故B 错误,C 正确;
�的取值分别为0,1,2,3,4,则�(�= �) =
C�
�
C��
�=
�
��,�(�= �) =
C�
�C�
�
C��
�
=
�
��,
�(�= �) =
C�
�C�
�
C��
�
=
�
�,�(�= �) =
C�
�C�
�
C��
�
=
�
��,�(�= �) =
C�
�
C��
�=
�
���,
∴�(�) = �×
�
��+ �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
��+ �×
�
���=
�
�,
故A,D 错误.
故选:C.
3.一个袋子中100 个大小相同的球,其中有40 个黄球,60 个白球,从中不放回地随机摸出20 个球作为样
本,用随机变量�表示样本中黄球的个数,则�服从(
)
A.二项分布,且��= 8
B.两点分布,且��= 12
C.超几何分布,且��= 8
D.超几何分布,且��= 12
【解题思路】利用超几何分布的定义判断,再利用超几何分布的期望公式求解.
【解答过程】解:由于是不放回地随机摸出20 个球作为样本,所以由超几何分布得定义得�服从超几何分
布,所以��=
����
���=�.
故选:C.
4.下列问题中,哪些属于超几何分布问题,说明理由.
(1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是6 的骰子的个数记为�,求�的分布列;
(2)有一批种子的发芽率为70%,任取10 颗种子做发芽实验,把实验中发芽的种子的个数记为�,求�的分
布列;
(3)盒子中有红球3 只,黄球4 只,蓝球5 只,任取3 只球,把不是红色的球的个数记为�,求�的分布列;
(4)某班级有男生25 人,女生20 人.选派4 名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生人数
记为�,求�的分布列;
(5)现有100 台平板电脑未经检测,抽取10 台送检,把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为�,求�
的分布列.
【解题思路】(1)(2)(3)(4)(5)根据超几何分布的特点逐项判断,可得出结论.
【解答过程】(1)解:样本没有分类,是重复试验问题,不是超几何分布问题.
(2)解:样本没有分类,是重复试验问题,不是超几何分布问题.
(3)解:样本符合超几何分布的特征,样本都分为两类,
随机变量�表示抽取�件样本某类样本被抽取的件数,是超几何分布.
(4)解:样本符合超几何分布的特征,样本都分为两类,
随机变量X 表示抽取�件样本某类样本被抽取的件数,是超几何分布.
(5)解:样本没有给出不合格产品数,无法计算�的分布列,所以不属于超几何分布问题.
题型十:正态曲线的特点
1.设�~��1, �1
2 ,�~��2, �2
2 ,这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是(
)
A.�1 > �2
B.�1 > �2
C.��≥�2 ≥��≥�1
D.��≤�2 ≥��≤�1
【解题思路】根据正态分布曲线的性质,确定出两个均值和方差的大小,然后结合图比较概率的大小
【解答过程】因为�~���, ��
�,�~���, ��
�,两曲线分别关于�= ��, �= ��对称,
所以由图可知,��< ��,所以A 错误,
因为�的分布曲线“高瘦”,�的分布曲线“矮胖”,
所以��< ��,所以B 错误,
所以��≥��≤��≥��,��≤��≥��≤��,
所以C 错误,D 正确,
故选:D.
2.已知三个正态分布密度函数��(�) =
1
2���
−(�−��)2
2��
2 (�∈�, �= 1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是
(
)
A.�1 = �2>�3
B.�1 > �3
C.�1 = �2
D.�2 < �3
【解题思路】利用正态分布曲线的性质,判断各分布曲线上的μ、σ的大小关系即可.
【解答过程】根据正态曲线关于x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边,
∴μ1<μ2=μ3,故B、C 错误;
又σ越小数据越集中,图象越瘦长,
∴σ1=σ2<σ3,故A 错误,D 正确.
故选:D.
3.已知某公司人均月收入X 服从正态分布,其密度函数图像如图所示.
(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式;
(2)求此公司人均月收入在8 000~8 500 元之间的人数所占的百分比.
【解题思路】(1)结合密度曲线可得�= ����,�= ���,可写出密度函数的表达式;
(2)由��−�≤�≤�+�≈�. ����,求此公司人均月收入在8 000~8 500 元之间的人数所占的百分
比.
【解答过程】(1)设公司人均月收入为�~��, ��,
结合题图可知,�= ����,�= ���.
此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为:
��,�(�) =
�
�π�e
−(�−�)�
���=
�
����π e
−(�−����)�
�×����,�∈−∞, + ∞.
(2)�~�����, ����,则�(����< �≤����) = �(����−���< �≤����+ ���) ≈�. ����,
所以�(����< �≤����) =
�
��(����< �≤����) ≈�. ����=��. ��%.
故公司人均月收入在8 000~8 500 元之间的人数所占的百分比为34.14%.
4.李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间(样本数据),
经数据分析得到如下结果:
坐公交车:平均用时30min,方差为36
骑自行车:平均用时34min,方差为4
(1)根据以上数据,李明平时选择哪种交通方式更稳妥?试说明理由.
(2)分别用X 和Y 表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间,X 和Y 的概率密度曲线如图(a)所示,如果
某天有38min 可用,你应选择哪种交通方式?如果仅有34min 可用,又应该选择哪种交通方式?试说明理
由.
(提示:
(2)中X 和Y 的概率密度曲线分别反映的是X 和Y 的取值落在某个区间的随机事件的概率,例如,
图(b)中阴影部分的面积表示的就是X 取值不大于38min 时的概率.)
【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及性质、方差意义即可解决.
【解答过程】(1)李明平时选择骑自行车更稳妥,
由已知得坐公交车平均用时30min,骑自行车平均用时34min,差距不大;但是坐公交车的方差为36,骑
自行车的方差为4,由于方差越小,取值越集中,稳定性越高,波动性越小,则坐公交车所花费的时间不
稳定,即李明平时选择骑自行车更稳妥.
(2)由图(a)中可知,X 和Y 的概率密度曲线可知
��> ��> ��> ��,
由此可知,如果某天有38min 可用,那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率,应选骑自行
车;
由图(a)中可知,X 和Y 的概率密度曲线可知
��> ��< ��> ��,
由此可知,如果某天有34min 可用,那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率,应选坐公交
车.
题型十一:利用3σ原则求概率
1.已知服从正态分布�(�,�2)的随机变量在区间(�−�,�+ �),(�−2�,�+ 2�)和(�−3�,�+ 3�)内取值的概
率约为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1000 名学生的某次考试成绩X 服从正态分布�90, 152 ,
则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有()
A.997 人
B.972 人
C.954 人
D.683 人
【解题思路】首先求���< �< ���,再求人数.
【解答过程】依题意可知�= ��,�= ��,
故���< �< ���= ���−�× ��< �< ��+ �× ��≈�. ���,
����× �. ���= ���,故此次考试成绩在区间��, ���内的学生大约有���人.
故选:C.
2.某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000 名学生参赛,统计得考试成绩�(满分150 分)服从正态分
布�110,100 .考试成绩140 分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为(
)附:�(�−
�< �< �+ �) = 0.6826, �(�−2�< �< �+ 2�) = 0.9544, �(�−3�< �< �+ 3�) = 0.9974.
A.26
B.52
C.456
D.13
【解题思路】由题意可得正态分布中的�, �,根据正态分布的对称性结合题中数据求��≥���,即可求
出答案.
【解答过程】考试成绩�(满分150 分)服从正态分布����, ���,所以�= ���, ��= ���,则�= ��,
��≥���=
�−�(��<�<���)
�
=
�−�.����
�
= �. ����,
所以可进入决赛的人数大约为�����× �. ����= ��人.
故选:A.
3.设�∼�1, 22 ,试求:
(1)�−1 < �≤3 ;
(2)�3 < �≤5 .
参考数据:��−�< �≤�+ �≈0.6826,��−2�< �≤�+ 2�≈0.9544
【解题思路】(1)根据��原则求得正确答案.
(2)根据正态分布的对称性以及��原则求得正确答案.
【解答过程】(1)因为�∼��, ��,所以�= �,�= �.
�−�< �≤�= ��−�< �≤�+ �
= ��−�< �≤�+ �≈�. ����.
(2)因为��< �≤�= �−�≤�<−�,
所以��< �≤�
= �
��−�< �≤�−�−�< �≤�
= �
���−�< �≤�+ �−��−�< �≤�+ �
= �
���−��< �≤�+ ��−��−�< �≤�+ �
≈
�
��. ����−�. ����= �. ����.
4.某公司建有1000 个销售群,在某产品的销售旺季,所有群销售件数X 服从正态分布��, �2 ,其中�=
376, �2 = 12100,公司把销售件数不小于596 的群称为“A 级群”,销售件数在[266,596)内的群为“B 级群”,
销售件数小于266 的群为“C 级群”.
(1)若�(�< �) ≥�(�> 2�−1),求a 的取值范围;
(2)该公司决定对每个“A 级群”奖励1000 元,每个“B 级群”奖励500 元,每个“C 级群”奖励200 元,那么公
司大约需要准备多少奖金?(群的个数按四舍五入取整数)
附:若,�~��, �2 ,则�(�−�< �< �+ �) ≈0.6827,�(�−2�< �< �+ 2�) ≈0.9545,�(�−3�<
�< �+ 3�) ≈0.9973.
【解题思路】(1)根据正态分布的对称性,分��−�≥���和��−�< ���两种情况求解可得;
(2)根据��原则求出��≥���和����≤�< ���,然后求出各级群个数,即可求出所需奖金.
【解答过程】(1)由正态分布的对称性可知,若�(�< �) ≥�(�> ��−�),
当��−�≥���,即�≥
���
�时,因为�(�< �) ≥�(�> ��−�),
所以有���−�≤��−�−���,得�≥���;
当��−�< ���,即�<
���
�时,要使�(�< �) ≥�(�> ��−�),
则有�−���≥���−��−�,解得�≥���(舍去).
综上,a 的取值范围为���, + ∞.
(2)因为�= ���, �= ���
所以��≥���= ��≥�+ ��=
�
�−
�
��(�−��< �< �+ ��) = �. �����,
����≤�< ���= ��−�≤�< �+ ��
= ��−�≤�< �+ �+ �
���−��≤�< �+ ��−��−�≤�< �+ �
= �. ����+
�
��. ����−�. ����= �. ����,
所以A 级群有����× �. ����≈��个,B 级群有����× �. ����≈���个,
C 级群有����−��−���= ���个,
所以,公司大约需要准备奖金��× ����+ ���× ���+ ���× ���= ������元.