文档文本内容
第2讲 随机变量及其分布（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................10
【考点一】分布列的性质及应用....................................................................................................10
【考点二】随机变量的分布列.......................................................................................................14
【考点三】正态分布.....................................................................................................................23
【专题精练】...............................................................................................................................26
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、
二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学
爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概
率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
2．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋
手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为
，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考虑
两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发
送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的
信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司4．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．
四、解答题
5．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：
第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中
一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.
该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙
每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
6．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
7．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，
负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜
的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
8．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如
下的样本数据的频率分布直方图：
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学科网（北京）股份有限公司(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
参考答案：
题号 1 2 3
答案 A D ABD
1．A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为 ，
记“该同学爱好滑雪”为事件 ,记“该同学爱好滑冰”为事件 ，
则 ，
所以 .
故选: .
2．D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；
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学科网（北京）股份有限公司该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者
进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
3．ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求
出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
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学科网（北京）股份有限公司收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
4． / ．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
5．(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）（i）首先各自计算出 ， ，再作差因式分解即可判断；(ii)首先
得到 和 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中
1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
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学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大
小关系，最后得到结论.
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
7．(1) ；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知， 的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
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学科网（北京）股份有限公司，
，
.
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .
8．(1) 岁；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，根据对立事件的概率公式 即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以
．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
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学科网（北京）股份有限公司．
考点突破
【考点一】分布列的性质及应用
核心梳理：
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n.
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
(3)E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp.
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝[x－E(X)]2p＋[x－E(X)]2p＋…＋[x－E(X)]2p.
1 1 2 2 n n
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量 的分布列如图表，则随机变量X的方差 （ ）
40
A．120 B．160 C．200 D．260
2．（2024·广东·一模）已知随机变量 的分布列如下：
1 2
则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量 的分布列为：
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学科网（北京）股份有限公司0 1 2 3
0.4 0.3 0.2
若离散型随机变量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知随机变量X、Y，且 的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且 ，则 .
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
6．（2024·江西新余·模拟预测）设随机变量 的分布列如图：
0 1
若 的数学期望为 ，事件 ： 或 ，事件 ： 或 ，则 ；
.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C A ABD AC
1．C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据概率和为 ，求得 ，再根据分布列求 ，再求 即可.
【详解】由题可知： ，解得 ，则 ；
故 .
故选：C.
2．A
【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知 ，
若 ，则 ，得 ，
故充分性满足；
若 ，则 ，解得 或 .
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
则 或 ，故必要性不满足.
故选：A.
3．ABD
【分析】利用分布列的性质求得 ，从而利用期望与方差公式与性质即可得解.
【详解】由分布列的性质知 ，则 ，
故 ，故A正确；
，故C错误；
则 ，故B正确；
所以 ，故D正确．
故选：ABD．
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学科网（北京）股份有限公司4．AC
【分析】由分布列的性质和期望公式求出 可判断ABC；由方差公式可判断D.
【详解】由 可得： ①，
又因为 ，解得： ，故C正确.
所以 ，
则 ②，所以由①②可得： ，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
5．8
【分析】根据题意可得 ，即可求得 的值，进而结合期望公式可求得 ，进而得
到 .
【详解】由题意，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：8.
6．
【分析】先由离散型随机变量的性质各取值概率和为1求出 ，再利用期望公式求解 ，然后由条件概率
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学科网（北京）股份有限公司公式可得 .
【详解】由 解得 ，
故 ，解得 ，
所以 .
故答案为： ； .
规律方法：
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
【考点二】随机变量的分布列
核心梳理：
1．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，
则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取
的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，
M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·.
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量 ，其中 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建莆田·三模）已知数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，数据 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，…， 的平均数为 ，方差为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、多选题
3．（2024·云南贵州·二模）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一
个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为 ，则（ ）
A． B．
C． 的期望 D． 的方差
4．（2024·安徽黄山·二模）下列论述正确的有（ ）
A．若随机变量 满足 ，则
B．若随机事件 ， 满足： ， ， ，则事件 与 相互独立
C．基于小概率值 的检验规则是：当 时，我们就推断 不成立，即认为 和 不独立，该推
断犯错误的概率不超过 ；当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为 和 独立
D．若 关于 的经验回归方程为 ，则样本点 的残差为
三、填空题
5．（2024·河北·模拟预测）在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为 到 的 个相同小球.每次
抽奖从箱中随机抽取一个球，记录编号后放回. 连续抽奖 次，设抽到编号为 的小球的次数为
，已知 服从二项分布 . 若 展开式中的 系数是 的概率的 倍，则 的值为
（结果用含 的式子表示）
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学科网（北京）股份有限公司6．（2023·广东佛山·二模）某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 ，且 ，
现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 表示 的瓷砖片数，则 ．
四、解答题
7．（2024·四川成都·三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 之
间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求 的值;
(2)若从高度在 和 中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在 内的株数
为 ，求 的分布列及数学期望 ；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在 的条件下，至多 1株高度
低于 的概率.
8．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个
不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3
个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有 个红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演
一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
9．（2024·山东青岛·一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读
好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时
间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，
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学科网（北京）股份有限公司后三个小矩形的高度比为3：2：1．
(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表）；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代
表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为 ，求随
机变量 的分布列与数学期望．
10．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首
歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌
名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌
曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“ ”或者“ ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期
望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D C ABCD BCD
1．D
【分析】由二项分布的概率公式可得 ，可求 ，进而可求 .
【详解】由二项分布的知识得 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，又 ，所以 ，
所以 ．
故选：D．
2．C
【分析】根据平均数和方差的性质得到答案.
【详解】已知样本数据 的平均数为 ，方差为 ，
记数据 的平均数为 ，方差为 ，
则 ，
，
由题意可得 ， .
故选：C
3．ABCD
【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量 服从二项分布，再根据二项分布列及期望公
式、方差公式求解即可.
【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，
又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，
又每次摸到黑球的概率为 ，因为是有放回地取4次球，所以 ，故A正确；
，故B正确；
根据二项分布期望公式得 ，故C正确；
根据二项分布方差公式得 ，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABCD
【点睛】结论点睛：随机变量X服从二项分布，记作X～ ， ，且有
， .
4．BCD
【分析】根据随机变量的方差性质可判定A；根据和事件与独立事件的概率公式可判定B；根据独立性检
验的基本思想可判定C；根据残差的定义可判定D.
【详解】对于A，由题意可知 ，故A错误；
对于B，由题意可知 ，
所以 ，所以事件A与B相互独立，即B正确；
对于C，由独立性检验的基本思想可知其正确；
对于D，将样本点 代入 得预测值为 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
5．
【分析】分别使用二项分布的性质和二项式定理得到 和 展开式中的
系数是 ，然后利用条件即可得到结果.
【详解】由于 ，故 .
再根据二项式定理， 展开式中的 系数是 .
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学科网（北京）股份有限公司所以根据条件有，得 ，即、
.
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同类型知识的混合运用.
6．1
【分析】由正态分布性质可求 ，结合二项分布定义确定 的二项分布，根据
二项分布的均值公式求结论.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
由已知 ，
所以 .
故答案为：1.
7．(1) ；
(2)分布列见解析， ；
(3)
【分析】（1）根据频率和为1，即可求解 ；
（2）首先确定高度在 和 的株数，再按照超几何分布，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）依题意可得 ，解得 ；
（2）由（1）可得高度在 和 的频率分别为 和 ，所以分层抽取的5株中，高度在
和 的株数分别为2和3，所以 可取0，1，2.
所以 ， ，
所以 的分布列为：
所以
（3）从所有花卉中随机抽取 株，记至少有 株高度在 为事件 ，至多 株高度低于 为事件
，
则 ， ，
所以 .
8．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
进而结合组合数运算求解；
（2）由题意可知 的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
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学科网（北京）股份有限公司可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以 .
（2）由题意可知 的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
9．(1)67（分钟）
(2)分布列见解析；期望为1
【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；
（2）依题意求出随机变量 的分布列，并利用数学期望公式求解.
【详解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均阅读时间的平均数为：
（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人
的可能取值为：0，1，2
则
所以 的分布列为：
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学科网（北京）股份有限公司0 1 2
10．(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.
（2）先根据题意写出甲决定按“ ”的顺序猜歌名获得奖金数 的所有可能取值，根据独立重复试
验的概率公式求得每一个 取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出 ；再同理得出甲决定按“
”顺序猜歌名的数学期望 ；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得
出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对 ；猜
对 ，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“ ”顺序猜歌名，获得的奖金数记为 ，
则 的所有可能取值为 ，
所以 ；
24 / 44
学科网（北京）股份有限公司甲决定按“ ”顺序猜歌名，获得的奖金数记为 ，
则 的所有可能取值为 ，
所以 .
参考答案一：由于
，
由于 ，所以应该按照“ ”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌
名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
规律方法：
求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均
值和方差的公式求解．
【考点三】正态分布
核心梳理：
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ.
(2)样本标准差σ.
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学科网（北京）股份有限公司(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．
一、单选题
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为 ，
其中 为输出信号功率最大值（单位： ）， 为频率（单位： ）， 为输出信号功率的数学期望，
为输出信号的方差， 带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，
信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为 （如图所示），则其
带宽为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·三模）已知
0.9973.某体育器材
厂生产一批篮球，单个篮球的质量 （单位：克）服从正态分布 ，从这一批篮球中随机抽检300
个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
二、多选题
3．（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量 ，其中 ，下列说法正确的是
（ ）
A．变量 的方差为1，均值为0 B．
C．函数 在 上是单调增函数 D．
4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2021·全国·模拟预测）对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．
已知最后结果的误差 ，为使误差 在 的概率不小于0.9545，至少要测量 次
（若 ，则 ）．
6．（2024·广东·一模）随机变量 ，若 且 ，则随机变量
的第80百分位数是 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D B ACD ABC
1．D
【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.
【详解】依题意，由 ， ，得 ，即 ，
则有 ，解得 ， ，
所以 带宽为 .
故选：D
2．B
【分析】根据正态分布的对称性求出 的概率，即可得解.
【详解】由题意得 ，
27 / 44
学科网（北京）股份有限公司，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.
故选：B.
3．ACD
【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及 可判断B，根据正态曲线的性质可判
断C，根据正态曲线的对称性可判断D.
【详解】随机变量 ，则A正确；
，则B错误；
随机变量 ，结合正态曲线易得函数 在 上是单调增函数，则C正确；
正态分布的曲线关于 对称， ，则D正确，
故选：ACD．
4．ABC
【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式
求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解.
【详解】A选项，根据正态分布的定义得 ，故A正确；
B选项， ， ，故 ，故B正确；
C选项， ， ，故 ，故C正确；
D选项， ，故D错误.
故选：ABC．
5．32
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学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 ，得到 ， ，要使误差 在 的概率不小于0.9545，
则 ，得到不等式计算即可.
【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 的概率不小于0.9545，
则 且 ， ，
所以 .
故答案为：32.
【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从 读出所需信息.
6．88
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出 ，再求出 时的 即可.
【详解】随机变量 ，又 ，则 ，
因此 ，则 ，
所以随机变量 的第80百分位数是88.
故答案为：88
规律方法：
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴
之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)P(X<x)＝1－P(X≥x)．
0 0
(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．
专题精练
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）若随机变量 的可能取值为 ，且 （ ），则
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”
出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互
错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小
球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到
右的编号分别为 ，用 表示小球最后落入格子的号码，若 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024·湖南·模拟预测）有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，
现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·二模）设 ，随机变量 取值 的概率均为
0.2，随机变量 取值 的概率也均为0.2，若记 分别为
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学科网（北京）股份有限公司的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D． 与 的大小关系与 的取值有关
6．（2024·河南信阳·一模）对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到
时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min）， ，对应的曲线为 ，
B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min）， ，对应的曲线为 ，则下列图象正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达
测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从 ，据此估计测试成绩不小于94的学生
所占的百分比为（ ）
参考数据：
31 / 44
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽
取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取
100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布 ， ，则X介于 ~2
的食盐袋数大约为（ ）
A．4 B．48 C．50 D．96
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知随机变量X，Y，其中 ，已知随机变量X的分布列如
下表
X 1 2 3 4 5
p m n
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（ ）
A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有 种
B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为
C．抽出的产品中至少有 件是次品的概率为
D．抽出的产品中次品数的数学期望为
11．（2023·浙江温州·三模）近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报
社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为 万人，从该县随机选取 人进行问卷调查，根
据满意度得分分成以下 组： 、 、 、 ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可
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学科网（北京）股份有限公司认为满意度得分 （单位：分）近似地服从正态分布 ，且 ，
， ，其中 近似为样本平均数， 近似为
样本的标准差 ，并已求得 .则（ ）
A．由直方图可估计样本的平均数约为
B．由直方图可估计样本的中位数约为
C．由正态分布可估计全县 的人数约为 万人
D．由正态分布可估计全县 的人数约为 万人
三、填空题
12．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”
学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参
赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题
目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 .
13．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取
后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量
表示取到的黑球个数，则 ．
14．（2024·江苏南通·三模）已知随机变量 ．若 ，则 ，
若 ，则 的方差为 ．
四、解答题
15．（2024·河北沧州·一模）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除
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学科网（北京）股份有限公司颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白
球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若
摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第
二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒
子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，
得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量 的数学期望的最大值.
16．（2024·吉林白山·一模）俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏
心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，
两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记 ；若掷出的点数之和不
是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记 ；若 ，则当天穿深色，否则
穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为 ，而选择了浅
色后，再选西装的可能性为 ．
(1)求出随机变量 的分布列，并求出期望及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C B A D AC ACD
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】先根据概率之和等于1得到方程，求出 ，计算出期望，进而计算出方差.
【详解】由题意得 ，解得 ，
34 / 44
学科网（北京）股份有限公司故 ，
.
故选：A
2．C
【分析】首先将男生人数设为随机变量 ，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【详解】设男生人数为 ，且 ，
， ， ,
则 .
故选：C
3．B
【分析】由题意， 服从二项分布， ，代入公式可得结果．
【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为 ，
每一层均要乘以 ，共做10次选择，
故 服从二项分布， ，
又 ，
令 最大，
则 ，
即 ,
35 / 44
学科网（北京）股份有限公司解得 ，又因为 ，所以 ,
所以 ，
，且 ．
故选：B．
4．D
【分析】由题意得 的所有可能取值为 ，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.
【详解】 的所有可能取值为 ，记三次得到的数组成数组 ，
满足 的数组有：
，共4个，
所以 ，
满足 的数组有：
，
，共18个，
所以 ，
满足 的数组有：
，
，
，
，共24个，
所以 ，
36 / 44
学科网（北京）股份有限公司满足 的数组有：
， ，
， ，
， ，共18个，
所以 ，
所以X的数学期望 .
故选：D.
5．C
【分析】根据期望的公式推出 ，再根据方差的计算公式可得 的表达式，结合基
本不等式，即可判断 的大小，即得答案.
【详解】由题意得 ，
，
故 ，
记
则
同理
37 / 44
学科网（北京）股份有限公司因为 ，则 ， ， ，
故 ，
即得 ， 与 的大小关系与 的取值无关，
故选：C
6．B
【分析】由两个正态曲线的对称轴位置和集中分散程度判断结果.
【详解】由 ，故曲线 的对称轴在曲线 的左侧，排除C、D；
由 ，故曲线 比曲线 瘦高，曲线 比曲线 矮胖，排除A.
故选：B．
7．A
【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】依题意 ，
所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为 ．
故选：A．
8．D
【分析】根据 求出 和 即可求解.
【详解】 ， ，
则 ， ，
则 .
故选：D．
9．AC
【分析】由分布列的性质和期望公式求出 可判断ABC；由方差公式可判断D.
38 / 44
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 可得： ①，
又因为 ，故C正确.
所以 ，
则 ②，所以由①②可得： ，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何
分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为 ，由题意可知 可能取值为0，1，2，求出相应的概
率，从而可求出其期望.
【详解】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品，
所以共有 种不同的抽法，所以A正确，
对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 ，所以B错误，
对于C，由题意得抽出的产品中至少有 件是次品的概率为 ，所以C正确，
对于D，设抽出的次品数为 ，由题意可知 可能取值为0，1，2，则
， ， ，
所以 ，所以D正确.
故选：ACD
39 / 44
学科网（北京）股份有限公司11．ABD
【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，可判断AB选项；利用正态分布 原则可判
断CD选项.
【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为
，A对；
对于B选项，前两个矩形的面积为 ，
前三个矩形的面积之和为 ，
设样本的中位数为 ，则 ，
由中位数的定义可得 ，解得 ，B对；
对于C选项，因为 ， ， ，
所以， ，
所以，由正态分布可估计全县 的人数约为 万人，C错；
对于D选项，因为 ， ，
所以，
，
所以，由正态分布可估计全县 的人数约为 万人，D对.
故选：ABD.
12．
【分析】求出随机变量 的各个取值的概率，求期望，据此求 即可.
【详解】由题意， 的可能取值为 ，
则 ， ，
40 / 44
学科网（北京）股份有限公司， ，
所以 ；
党员甲能通过初试的概率为 .
故答案为： ；
4
13． /0.8
5
【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望.
【详解】设第一次取到黑球为事件 ，第二次取到黑球为事件 ，
则 ， ，
所以 ；
由题意可得 的取值为 ，
，
所以 ，
故答案为： ； .
14． 0.4/ 64
【分析】由题意可知： ，根据方差的性质可得 ；根据正态分布的对称性可得 .
【详解】由题意可知： ，即 ，所以 ；
因为 ，且 ，
41 / 44
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为：0.4；64.
15．(1)
(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②
【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算；
（2）①利用全概率公式和条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下
结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件 ，“取到乙盒”为事件 ，
“第一次摸出黑球”为事件 ，“第一次摸出白球”为事件 ，
，
所以 ，
所以选中的盒子为甲盒的概率为 .
（2）① ，
所以方案一中取到黑球的概率为： ，
方案二中取到黑球的概率为： ，
因为 ，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②随机变量 的值为 ，
依据以上分析，若采用方案一：
，
，
42 / 44
学科网（北京）股份有限公司，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以随机变量 的数学期望的最大值 .
16．(1)分布列见解析； ，
(2)
【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差；
（2）结合条件概率即可求解.
【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件 种，
掷出的点数之和是3的倍数有：
，12种；
则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，
随机变量 的取值为0，1，
，
所以 的分布列为：
0 1
43 / 44
学科网（北京）股份有限公司．
；
（2）设 表示深色，则 表示穿浅色， 表示穿西装，则 表示穿休闲装．
根据题意，穿深色衣物的概率为 ，则穿浅色衣物的概率为 ，
穿深色西装的概率为 ，穿浅色西装的概率为 ，
则当天穿西装的概率为 ．
所以张老师当天穿西装的概率为 ．
44 / 44
学科网（北京）股份有限公司
