曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
五年高考
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2013广东,4,5分,基础性)已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
3 3 1
P
5 10 10
则X的数学期望E(X)=( )
3 5
A. B.2C. D.3
2 2
答案 A
2.(2020课标Ⅲ理,3,5分,基础性)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p ,p ,p ,p ,
1 2 3 4
4
且∑p=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )
i
i=1
A.p =p =0.1,p =p =0.4
1 4 2 3
B.p =p =0.4,p =p =0.1
1 4 2 3
C.p =p =0.2,p =p =0.3
1 4 2 3
D.p =p =0.3,p =p =0.2
1 4 2 3
答案 B
3.(2019浙江,7,4分,综合性)设0<a<1,随机变量X的分布列是
X 0 a 1
1 1 1
P
3 3 3
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
答案 D
1
4.(2014浙江,12,4分,基础性)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则D(ξ)=
5
.
2
答案
5
5.(2011浙江,15,4分,应用性)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递
了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为
2 1
,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=
3 12
则随机变量X的数学期望E(X)= .曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5
答案
3
6.(2021浙江,15,6分,综合性)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取
1 1
出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则m-n=
6 3
,E(ξ)= .
8
答案 1;
9
7.(2022全国甲理,19,12分,应用性)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每
个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠
军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析 (1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件A(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件
i
E.
则P(E)=P(A A A )+P(A A A )+P(A A A )+P(
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 4 1 2 1 1 3 4 1 2 4 3
A A2A3)= × × + × × + × × + × × = .
1 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 5
3
∴甲学校获得冠军的概率为 .
5
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件B(j=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30.
j
1 2 4 4
则P(X=0)=P(B B B )= × × = ,
1 2 3 2 5 5 25
P(X=10)=P(B B B )+P(B B B )+P(B B B )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 4 1 3 4 1 2 1 11
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 25
P(X=20)=P(B B B )+P(B B B )+P(B B B )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 4 1 2 1 1 3 1 17
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 50
1 3 1 3
P(X=30)=P(B B B )= × × = .
1 2 3
2 5 5 50
∴X的分布列为
X 0 10 20 30
4 11 17 3
P
25 25 50 50
4 11 17 3
∴E(X)=0× +10× +20× +30× =13.
25 25 50 50
8.(2021新高考Ⅰ,18,12分,应用性)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.
每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错
误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答
正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问
题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确
回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解析 (1)由题意易知X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
所以E(Y)>E(X),
所以小明应选择先回答B类问题.
9.(2015福建,16,13分,应用性)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,
该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银
行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝
试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.
5 4 3 1
解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A,则P(A)= × × = .
6 5 4 2
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.
1 5 1 1 5 4 2
P(X=1)= ,P(X=2)= × = ,P(X=3)= × ×1= ,
6 6 5 6 6 5 3
所以X的分布列为
X 1 2 3
1 1 2
P
6 6 3
1 1 2 5
所以E(X)=1× +2× +3× = .
6 6 3 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.(2012湖北,20,12分,应用性)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对
工期的影响如下表:
300≤X 700≤X
降水量X X<300 X≥900
<700 <900
工期延误
0 2 6 10
天数Y
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.
求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
解析 (1)由已知条件得:
P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
(2)P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.
P(300≤X<900) 0.6 6
由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)= = = ,
P(X≥300) 0.7 7
6
故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是 .
7
11.(2019北京理,17,13分,应用性)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,
移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使
用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5
人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额(元) (0, (1 000, 大于
支付方式 1 000] 2 000] 2 000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付
金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机
抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用
A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.
解析 (1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有
10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两
40
种支付方式都使用的概率估计为 =0.4.
100
(2)X的所有可能值为0,1,2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于
1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金
9+3 14+1
额大于1 000元”.由题设知,事件C,D相互独立,且P(C)= =0.4,P(D)= =0.6.
30 25
所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD
∪
CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4×(1-
0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.24 0.52 0.24
故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.
(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于
2 000元”.
假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的
样本数据得P(E)= 1
=
1 .
C3 4 060
30
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额
大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有
没有变化.
三年模拟
A组 考点基础题组
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2022济南历城二中3月模拟,4)从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3
次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=( )
A.2 B.1 C.3 D.4
答案 C
2.(2022河北省级联测联考五,4)小明参加某项测试,该测试一共3道试题,每道试题做对
得5分,做错得0分,没有中间分,小明答对第1,2题的概率都是
1 1
,答对第3题的概率是 ,则小明答完这3道题的得分期望为( )
2 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
25 65 20 25
A. B. C. D.
12 12 3 3
答案 C
3.(多选)(2022山东学业质量联测二,9)已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2
P m n m
则下列结论一定成立的是( )
A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1
1
C.mn≤ D.D(X+1)<1
8
答案 BCD
4.(2021上海崇明二模,9)已知等差数列{x }的公差d>0,随机变量ξ等可能地取值
n
x ,x ,x ,…,x ,则方差D(ξ)= .
1 2 3 9
20
答案 d2
3
B组 综合应用题组
时间:40分钟 分值50分
一、单项选择题(共5分)
1.(2022江苏南京、盐城二模,6)泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学
λk
家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为P(X=k)= e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数
k!
的底数,λ是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立,且服从参数为
λ(λ>0)的泊松分布.若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等,则两周共
销售2件该商品的概率为( )
2 4 6 8
A. B. C. D.
e4 e4 e4 e4
答案 D
二、多项选择题(共5分)
2.(2022广东六校联考四,12)设随机变量ξ的分布列如下:
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P a a a a a a a a a a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则( )
1
A.当{a }为等差数列时,a +a =
n 3 6
6
11
B.数列{a }的通项公式可能为a =
n n 10n(n+1)
1 1
C.当数列{a }满足a = (n=1,2,…,9)时,a10=
n n 2n 29
11
D.当数列{a }满足P(ξ≤k)=k2a (k=1,2,3,…,10)时,a =
n k n 10n(n+1)
答案 BCD曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
三、填空题(共5分)
2
3.(2022重庆育才中学一诊,14)某人共有三发子弹,他射击一次命中目标的概率是 ,击中
3
目标后射击停止,射击次数为随机变量X,则D(X)= .
38
答案
81
四、解答题(共35分)
4.(2022福建龙岩一模,20)某次围棋比赛的决赛,由甲乙两人争夺最后的冠军,决赛先进行
两天,每天实行三盘两胜制,即先赢两盘者获得该天胜利,此时该天比赛结束.若甲乙中的
一方能连续两天胜利,则其为最终冠军;若前两天双方各赢一天,则第三天只进行一盘附
加赛,该附加赛的获胜方为最终冠军.设每盘比赛甲获胜的概率为p(0<p<1),每盘比赛的结
果没有平局且结果互相独立.
(1)记第一天需要进行的比赛盘数为X.
①求E(X),并求当E(X)取最大值时p的值;
②结合实际,谈谈①中结论的意义;
1
(2)当p= 时,记总共进行的比赛盘数为Y,求P(Y≤5).
2
解析 (1)①X的可能取值为2,3,P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1;P(X=3)=2p(1-p)=-2p2+2p,
故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(-2p2+2p)=-2p2+2p+2,
即E(X)=-2( 1) 2 5 1时,E(X)取得最大值.
p- + ,则当p=
2 2 2
1
②结合实际,当p= 时双方实力最接近,比赛越激烈,则一天中进行比赛盘数会更多.
2
1 1 1 1
(2)当p= 时,双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为 × = ,
2 2 2 4
1 1 1 1
比分为2∶1或1∶2的概率均为2× × × = .
2 2 2 4
Y≤5包含Y=4或Y=5两种情况,
1 1 1
Y=4即获胜方前两天均为2∶0获胜,故P(Y=4)=2× × = ;
4 4 8
Y=5即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛,
故P(Y=5)=2×(1 1 1 1 1) 3,
× ×2+ × ×2× =
4 4 4 4 2 8
1 3 1
所以P(Y≤5)=P(Y=4)+P(Y=5)= + = .
8 8 2
5.(2022重庆第七次质检,19)新高考数学试题第9-12题为多选题,多选题的评分标准:在每
小题给出的A,B,C,D四个选项中,有多项符合题目要求;全部选对得5分,部分选对得2分,
有选错或不选得0分.在某次考试中,命题人对第11题和第12题分别设置了2个和3个
正确选项.甲同学在考前没有做好复习,只能对这两道题的选项进行随机选取,每个选项是
否被选到是等可能的.
(1)若甲同学第11题选了2个选项,第12题选了3个选项,求甲同学在第11题和12题合
计得分为10分的概率;曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)考试中,甲同学准备采用以下方案完成第11题和第12题:
方案一:第11和12题每道题都随机选一个选项;
方案二:第11和12题每道题都随机选两个选项,
从得分角度考虑,请你帮甲同学选择一种更优方案.
解析 (1)由题意知,甲同学第11和12题都答对,故所求概率P= C 2 2 × C 3 3 = 1 .
C2 C3 24
4 4
(2)用X,Y分别表示甲同学在第11、12题选择方案一和方案二的合计得分.
X的可能取值为0,2,4,
P(X=0)=
C1
2× 1 = 1 ,P(X=2)=
C1
2×
C1
3+
C1
2× 1 = 1,
C1 C1 8 C1 C1 C1 C1 2
4 4 4 4 4 4
P(X=4)=
C1
2×
C1
3= 3,
C1 C1 8
4 4
1 1 3 3 5
∴E(X)=0× +2× +4× =1+ = .
8 2 8 2 2
Y的可能取值为0,2,5,7,
P(Y=0)=
(
C2
)
C1
5 (
C2
)
C2
5
C2 C1
1
C2 C2
1
1- 2 × 3= ,P(Y =2)= 1- 2 × 3= ,P(Y =5)= 2× 3= ,P(Y =7)= 2× 3=
C2 C2 12 C2 C2 12 C2 C2 12 C2 C2 12
4 4 4 4 4 4 4 4
,
5 5 1 1 11
∴E(Y)=0× +2× +5× +7× = ,
12 12 12 12 6
∵E(X)>E(Y),∴甲同学选择方案一.
6.(2022山东烟台、德州一模,17)2022年2月4日至20日,第24届冬季奥林匹克运动会
在北京成功举办.这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台,也是中外文明交流互鉴的舞
台,折射出我国更加坚实的文化自信,诠释着新时代中国的从容姿态,传递出中华儿女与世
界人民“一起向未来”的共同心声.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭
幕式的时长情况(单位:分钟),并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计样本数据的85%分位数;
(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式,从观看时长在[200,280]的学生中抽取6人.
若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会,设抽取的3人中观看时长在[200,240)
的人数为X,求X的分布列和数学期望.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)因为40×(0.000 5+0.002×2+2a+0.006+0.006 5)=1,解得a=0.004.结合已知得观
看时长在200分钟以下的占比为40×(0.000 5+0.002+0.004+0.006+0.006 5)=0.76,观看时
长在240分钟以下的占比为0.76+40×0.004=0.92,所以85%分位数位于[200,240)内, 85%
0.85-0.76
分位数为200+40× =222.5.
0.92-0.76
(2)因为观看时长[200,240)、[240,280]对应的频率分别为0.16,0.08,
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.所以抽取的3人中
观看时长在[200,240)中的人数X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=
C1·C2
1
C2·C1
3
C3
1,
4 2= ,P(X=2)= 4 2= ,P(X=3)= 4=
C3 5 C3 5 C3 5
6 6 6
所以X的分布列为
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
所以E(X)=1× +2× +3× =2.
5 5 5
一年创新
1.(2022 5·3原创题)已知随机变量ξ的分布列如表所示,且满足E(ξ)=0,则下列方差值中最
小的是( )
ξ -1 0 2
1
P a b
2
A.D(ξ) B.D(|ξ|)
C.D(2ξ+1) D.D(3|ξ|-2)
答案 B
1 1
2.(2022 5·3原创题)设0<a< ,0<b< ,随机变量ξ的分布列为:
2 2
ξ -1 0 1
1
P a b
2
则当a在( 1)内增大时,( )
0,
2
A.E(ξ)增大,D(ξ)增大
B.E(ξ)增大,D(ξ)减小
