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第二章 随机变量及其分布
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1 、 单选题
下列论断正确的是（ ）。
A ： 连续型随机变量的密度函数是连续函数
B ： 连续型随机变量等于0的概率等于0
C ： 连续型随机变量密度f（x）满足0≤f（x）≤1
D ： 两连续型随机变量之和是连续型的
正确答案： B
解析：
对于A选项，均匀分布的概率密度函数不是连续函数；对于C选项，概率密度函数不一定
满足f（x）≤1；对于D选项，如X是连续型随机变量，Y＝－X也是连续型随机变量，但X
＋Y不是连续型随进变量。对于B选项，连续型随机变量任意给定值的概率均为0。
2 、 单选题
设离散型随机变量X的分布律为P{X＝k}＝bλk（k＝1，2，…），且b＞0，则λ为（
）。
A ： 大于0的任意常数
B ： b＋1
C ： 1/（b＋1）
D ： 1/（b－1）
正确答案： C
解析：
3 、 单选题设随机变量X服从正态分布，其概率密度为 ，
则k＝（ ）。
正确答案： B
解析：
已知
对照正态分布概率密度的形式
可得σ2＝1/2，
4 、 单选题
从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y
＝2}＝（ ）。
A ： 11/24
B ： 13/24
C ： 11/48
D ： 13/48
正确答案： D
解析：
P{Y＝2|X＝1}＝0，P{Y＝2|X＝2}＝1/2，P{Y＝2|X＝3}＝1/3，P{Y＝2|X＝4}＝1/4，则5 、 单选题
设 ，则F（x）（ ）。
A ： 是随机变量X的分布函数
B ： 不是分布函数
C ： 是离散型随机变量的分布函数
D ： 是连续型随机变量的分布函数
正确答案： B
解析：
因为 ，故F（x）不是分布函数。
6 、 单选题
连续型随机变量X的概率密度函数为 ，则P{X＞90}＝（
）。
A ： 1
B ： 1/4
C ： 1/9
D ： 1/2
正确答案： A
解析：7 、 单选题
设函数φ（x）＝（sinx）/2可以作为随机变量X的概率密度函数，则X可以充满的区间为
（ ）。
A ： [0，π/2]
B ： [－π/2，π/2]
C ： [0，π]
D ： [0，2π]
正确答案： C
解析：
概率密度f（x）非负，故排除B，D项；且 ，则排除A项。
8 、 单选题
设X～N（3，22），则P{1＜X＜5}＝（ ）。（ ）
A ： Φ（5）－Φ（1）
B ： 2Φ（1）－1
C ： [Φ（1/2）]/2－1
D ： Φ（5/4）－Φ（1/4）
正确答案： B
解析：
P{1＜X＜5}＝Φ[（5－3）/2]－Φ[（1－3）/2]＝2Φ（1）－1，故选B。
9 、 单选题
已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，且矩阵 的特征值全为
实数的概率为1/2，则λ＝（ ）。A ： ln2
B ： 1/2
C ： ln2）/2
D ： ln2）/4
正确答案： C
解析：
因为
故若A的特征值均为实数，则X2－4≥0，即|X|≥2。
根据题意P{|X|≥2}＝1/2，即
解得λ＝（ln2）/2。
10 、 单选题
设随机变量X的分布函数为 ，则其概率密度函数为f（x）＝
（ ）。
正确答案： B
解析：11 、 单选题
下列函数中，在（－∞，＋∞）内可以作为某个随机变量X的分布函数的是（ ）。
正确答案： B
解析：
对于A选项，因为
故A不可以；
对于C选项，
故C不可以；
对于D选项，不能保证f（t）非负，故也不可以。综上，应选B。
12 、 单选题
正确答案： B
解析：13 、 单选题
下列函数中能作随机变量X的分布函数的是（ ）。
正确答案： D
解析：
分布函数F（x）是不减函数，故排除A，B项；又0≤F（x）≤1，故排除C项，综上，应
选D。14 、 单选题
设随机变量X的分布函数为 ，则A＝（ ）。
A ： 1
B ： e
C ： 1/e
D ： e^2
正确答案： A
解析：
根据分布函数的性质 ，有
15 、 单选题
设随机变量X的分布函数为 ，则P{－1＜X＜5}＝（
）。
正确答案： C
解析：
16 、 单选题
设随机变量X的分布律为P{X＝k}＝a/N，k＝1，2，…，N，则a＝（ ）。
A ： 1/8
B ： 1/4C ： 1/2
D ： 1
正确答案： D
解析：
17 、 单选题
设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），且二次方程y2＋4y＋X＝0无实根的概
率为0.5，则μ＝（ ）。
A ： 1
B ： 2
C ： 4
D ： 5
正确答案： C
解析：
令Y＝（X－μ）/σ，则Y服从标准正态分布N（0，1）。
该二次方程无实根的充要条件为4－X＜0，根据题意，有：
0.5＝P{X＞4}＝1－P{X≤4}＝1－P{（X－μ）/σ≤（4－μ）/σ}＝1－P{Y≤（4－μ）/σ}＝1
－Φ[（4－μ）/σ]，即Φ[（4－μ）/σ]＝0.5，故（4－μ）/σ＝0，μ＝4。
18 、 单选题
设随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ22），且P{|X
－μ1|＜1}＞P{|Y－μ2|＜1}，则必有（ ）。
A ： σ1＜σ2
B ： σ1＞σ2
C ： μ1＜μ2
D ： μ1＞μ2
正确答案： A
解析：
根据题意，有：P{|（X－μ1）/σ1|＜1/σ1}＞P{|（Y－μ2）/σ2|＜1/σ2}，故1/σ1
＞1/σ2?σ1＜σ2。
19 、 单选题设连续型随机变量X的分布函数 ，则k＝
（ ）。
A ： 2/π
B ： 1/π
C ： π
D ： 2π
正确答案： A
解析：
根据分布函数的右连续性，有
解得k＝2/π。
20 、 单选题
设随机变量X的概率密度函数为 ，则P{π/4≤X≤100}＝
（ ）。
正确答案： D
解析：21 、 单选题
设随机变量X的概率密度函数为φ（x），且已知φ（－x）＝φ（x），F（x）为X的分布
函数，则对任意实数a，有（ ）。
正确答案： B
解析：
22 、 单选题
一实习生用同一台机器接连独立的制造了3个同种零件，第i个零件不合格的概率为Pi
＝1/（i＋1）（i＝1，2，3）以X表示3个零件中合格品的个数，则P{X＝2}＝（ ）。
A ： 7/24
B ： 3/8C ： 11/24
D ： 13/24
正确答案： C
解析：
设Ai：“第i个产品合格”，i＝1，2，3。
23 、 单选题
设连续型随机变量X的分布密度为 ，则a＝（ ），X的
分布函数为（ ）。
正确答案： D
解析：
