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第三章 多维随机变量及其分布
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1 、 单选题
设数X在区间（0，1）上随机的取值，当观察到X＝x（0＜x＜1）时，数Y在区间（x，1）
上随机取值，则fY（y）＝（ ）。
正确答案： D
解析：
因为X在区间（0，1）上随机取值，故X～U（0，1），故X的概率密度函数为
又因为Y在区间（x，1）上随机取值，故2 、 单选题
已知（X，Y）的联合分布为
则在Y＝1的条件下，X的条件分布律为（ ）。
A ： P{X＝0｜Y＝1}＝1/2，P{X＝1｜Y＝1}＝1/4，P{X＝2｜Y＝1}＝1/4
B ： P{X＝0｜Y＝1}＝1/3，P{X＝1｜Y＝1}＝1/3，P{X＝2｜Y＝1}＝1/3
C ： P{X＝0｜Y＝1}＝1/4，P{X＝1｜Y＝1}＝1/2，P{X＝2｜Y＝1}＝1/4
D ： P{X＝0｜Y＝1}＝1/2，P{X＝1｜Y＝1}＝1/2，P{X＝2｜Y＝1}＝0
正确答案： D
解析：
因为P{Y＝1}＝1/4＋1/4＋0＝1/2，故
3 、 单选题
设随机变量 ，满足P{X1X2＝0}＝1，则P{X1＝X2}等于
（ ）。
A ： 0
B ： 1/4
C ： 1/2
D ： 1
正确答案： A
解析：二维随机变量（X1，X2）的联合分布和边缘分布如图所示。
其中a，b，k待定。
根据题意P{X1X2＝0}＝1，故P{X1X2≠0}＝0，则a＝c＝g＝k＝0，再根据边缘分布的性质，
可得b＝d＝f＝h＝1/4，从而e＝1/2－（b＋h）＝1/2－1/2＝0。
故P{X1＝X2}＝P{X1＝－1，X2＝－1}＋P{X1＝0，X2＝0}＋P{X1＝1，X2＝1}＝a＋e＋k
＝0，因此应选A。
4 、 单选题
设二维随机变量（X，Y）服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（ ）。
A ： X、Y一定相互独立
B ： X、Y的任意线性组合l1X＋l2Y服从于一维正态分布（l1、l2不全为0）
C ： X、Y分别服从于一维正态分布
D ： 当参数ρ＝0时，X、Y相互独立
正确答案： A
解析：
因为X，Y的边缘概率密度函数分别为
其联合概率密度函数为
可见当ρ≠0时，fX（x）·fY（y）≠f（x，y），此时X，Y不独立。故应选A。5 、 单选题
设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX（x），fY（y）分别表
示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX|Y（x|y）为（ ）。
A ： fX（x）
B ： fY（y）
C ： fX（x）fY（y）
D ： fX（x）/fY（y）
正确答案： A
解析：
因为（X，Y）服从二维正态分布，且相关系数ρ＝0，故X，Y相互独立，故fX|Y（x|y）
＝f（x，y）/fY（y）＝fX（x）fY（y）/fY（y）＝fX（x）。
6 、 单选题
设给出如下二维随机变量（X，Y），则X、Y不相互独立的是（ ）。
正确答案： D
解析：
对于D选项，则f（x，y）≠fX（x）fY（y），故X，Y不独立。
7 、 单选题
随机变量ξ的取值为－1和1，η的取值为－3、－2和－1，且P{ξ＝－1}＝0.4，则
为某一连续型随机变量X的分布函数的概率是（ ）。
A ： 0.2
B ： 0.4
C ： 0.6
D ： 0.8
正确答案： C
解析：
若F（x）为某一函数的分布函数，则 且F（x）在x＝0处右连续，可得ξ
＝1，η＜0。而P{ξ＝1，η＜0}＝P{ξ＝1，η＝－3}＋P{ξ＝1，η＝－2}＋P{ξ＝1，η＝－1}
＝P{ξ＝1}＝1－P{ξ＝－1}＝0.6。
8 、 单选题
设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P{Y＝0}
＝P{Y＝1}＝1/2记FZ（z）为随机变量Z＝XY的分布函数，则函数FZ（z）的间断点个数为
（ ）。
A ： 0
B ： 1
C ： 2
D ： 3
正确答案： B
解析：
FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{XY≤z}＝P{XY≤z，Y＝0}＋P{XY≤z，Y＝1}＝P{XY≤z|Y＝0}P{Y＝0}
＋P{XY≤z|Y＝1}P{Y＝1}
当z＜0时，P{XY≤z|Y＝0}＝P{X·0≤z}＝P{?}＝0，
FZ（z）＝P{X≤z|Y＝1}·（1/2）＝P{X≤z}/2＝Φ（z）/2；
当z≥0时，P{XY≤z|Y＝0}＝P{X·0≤z}＝P（Ω）＝1，
FZ（z）＝1×1/2＋P{X≤z}·1/2＝[1＋Φ（z）]/2。即
故FZ（z）只有一个间断点z＝0。
9 、 单选题
设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX（x）、FY（y），则Z＝min（X，Y）
的分布函数是（ ）。
A ： FZ（z）＝max[FX（x），FY（y）]
B ： FZ（z）＝min[FX（x），FY（y）]
C ： FZ（z）＝1－[1－FX（x）][1＋FY（y）]
D ： FZ（z）＝FY（y）
正确答案： C
解析：
FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{min（X，Y）≤z}＝1－P{min（X，Y）＞z}＝1－P{X＞z，Y＞z}＝1
－P{X＞z}P{Y＞z}＝1－[1－FX（x）][1－FY（y）]，故应选C。
10 、 单选题
设X，Y的联合分布律为
且X，Y相互独立，则α＝（ ），β＝（ ）。
A ： 1/2，1/6
B ： 1/3，1/3
C ： 2/9，1/9
D ： 1/9，2/9
正确答案： C
解析：
X，Y的联合分布和边缘分布如下图因为Σpi·＝1，则1/3＋（1/3＋α＋β）＝1；X，Y相互独立，则（1/3）·（1/18＋β）
＝1/18。
解得α＝2/9，β＝1/9。
11 、 单选题
设随机变量X和Y的联合分布函数为 ，
则随机变量X的分布函数为（ ）。
正确答案： C
解析：
F（x）是F（x，y）的边缘分布函数，故F（x）＝F（x，＋∞）。故12 、 单选题
随机变量X与Y相互独立同分布，且X＋Y与它们服从同一名称的概率分布，则X和Y服从的
分布是（ ）。
A ： 均匀分布或正态分布
B ： 指数分布或泊松分布
C ： 二项分布或指数分布
D ： 泊松分布或正态分布
正确答案： D
解析：
当X，Y服从正态分布且相互独立时，X＋Y也服从正态分布；当X，Y服从泊松分布且相互
独立时，即
对于任意自然数n，有：
即Z＝X＋Y服从λ1＋λ2的泊松分布。故应选D。
13 、 单选题正确答案： A
解析：
14 、 单选题
设两个随机变量X与Y独立同分布，P{X＝－1}＝P{Y＝－1}＝1/2，P{X＝1}＝P{Y＝1}
＝1/2，则下列式子中成立的是（ ）。
A ： P{X＝Y}＝1/2
B ： P{X＝Y}＝1
C ： P{X＋Y＝0}＝1/4
D ： P{XY＝1}＝1/4
正确答案： A
解析：
因为X，Y独立同分布，故P{X＝Y}＝P{X＝－1，Y＝－1}＋P{X＝1，Y＝1}＝P{X＝－1}P{Y
＝－1}＋P{X＝1}P{Y＝1}＝（1/2）×（1/2）＋（1/2）×（1/2）＝1/2，故应选A。
15 、 单选题
设随机变量是Xi服从于参数λi（i＝1，2）的泊松分布，且X1、X2相互独立，则P{X1
＝i|X1＋X2＝k}＝（ ）。正确答案： B
解析：
因为Xi服从参数为λi的泊松分布且相互独立，故X1＋X2～π（λ1＋λ2）。
16 、 单选题
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ，则P{X
＋Y≤1}＝（ ）。
A ： 1/3
B ： 1/8
C ： 1/2
D ： 1/4
正确答案： D解析：
17 、 单选题
设随机变量X和Y都服从正态分布，则（ ）。
A ： X＋Y一定服从正态分布
B ： X和Y不相关与独立等价
C ： X，Y）一定服从正态分布
D ： X，－Y）未必服从正态分布
正确答案： D
解析：
用排除法，令Y＝－X，则X＋Y＝0不服从正态分布，故排除A项；
只有X，Y的联合分布服从正态分布时，X，Y不相关才与X，Y相互独立等价，故排除B项；
一般边缘分布不决定联合分布，故选排除C项；故应选D。
18 、 单选题
设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为
，则C＝（ ）。
A ： 1/（3πR3）
B ： 1/（2πR3）
C ： 2/（πR3）
D ： 3/（πR3）
正确答案： D
解析：
19 、 单选题设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为 ，已知事件A
＝{X＞a}，B＝{Y＞a}相互独立，且P（A∪B）＝3/4，则a＝（ ）。
正确答案： B
解析：
20 、 单选题
二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为 ，
则系数k＝（ ）。
A ： 2/3
B ： 1
C ： 1/2
D ： 2
正确答案： D
解析：
由概率密度的性质有
解得k＝2。
21 、 单选题
二维随机变量（X，Y）在区域D：{（x，y）|a＜x＜b，c＜y＜d}上服从均匀分布，则X的边缘密度函数为fX（x）＝（ ）。
正确答案： C
解析：
X，Y的联合概率密度为
故
22 、 单选题正确答案： D
解析：
23 、 单选题
设随机变量X、Y相互独立，且分别服从于参数为λ1和λ2的泊松分布，则X、Y的联合分布
律为P{X＝m，Y＝n}＝（ ）。
正确答案： B
解析：
24 、 单选题
设（X，Y）的联合密度函数为 ，则A＝
（ ）。
A ： 3
B ： 1/3
C ： 2
D ： 1/2
正确答案： B解析：
