北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值
与方差
基础篇
【基础集训】
考点一 离散型随机变量及其分布列
1.设随机变量X的分布列如下,则P(|X-2|=1)等于 ( )
X 1 2 3 4
1 1 1
P m
6 4 3
7 1 5 1
A. B. C. D.
12 2 12 6
答案 C
2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车
公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;
(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期
望.
考点二 离散型随机变量的均值与方差
3.已知X的分布列为
X -1 0 1
1 1 1
P
2 3 6
设Y=2x+3,则E(Y)的值为 ( )
7
A. B.4 C.-1 D.1
3
答案 A
1 2 2
4.已知随机变量ξ满足P(ξ=0)= ,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)= -x,若0<x< ,则 ( )
3 3 3
A.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而增大
B.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而增大
C.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而减小
D.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而减小
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
5.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩
下的玫瑰花当作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量
14 15 16 17 18 19 20
n
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 离散型随机变量及其分布列
1.(2020宁夏六盘山期中,3)下列表格可以作为ξ的分布列的是 ( )
A.
ξ 0 1 3
1
P a 1-a
2
B.
ξ 1 2 3
1 1
P - 1
2 2
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ -1 1 2
1
P 2a a2+2
2
3
答案 C 依据0≤P≤1以及各概率之和等于1进行判断.A选项的分布列中,各概率之和为 >1,故A不符合
2
1
题意;B选项的分布列中,- <0,故B不符合题意;C选项的分布列中,满足0≤P≤1以及各概率之和等于1,故C
2
1 3
符合题意;D选项的分布列中, +2a+a2+2=(a+1)2+ >1,故D不符合题意.故选C.
2 2
2.(2019广东汕头一模,5)已知离散型随机变量X的分布列为北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
X 0 1 2 3
8 4 1
P m
27 9 27
则X的数学期望E(X)= ( )
2 3
A. B.1 C. D.2
3 2
8 4 1 2
答案 B 由题意可得 + +m+ =1,可得m= .
27 9 27 9
8 4 2 1
则E(X)=0× +1× +2× +3× =1,故选B.
27 9 9 27
3.(2020山西太原模拟,6)某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为 ( )
A.0.8 B.0.6
C.0.4 D.0.2
答案 C 由题中表格可知x+0.1+0.3+y=1,7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9,解得y=0.4.故选C.
4.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为
(用式子表示).
C1C3 +C4
答案 3 97 97
C4
100
C1C3
解析 设二级品有X台,由题意知随机变量X服从超几何分布,则取二级品1台时,P(X=1)= 3 97;取二级品
C4
100
C4 C1C3 +C4
0台时,P(X=0)= 97 ,故P(X≤1)=P(X=1)+P(X=0)= 3 97 97.
C4 C4
100 100
5.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自
物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每
名同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.
C1·C2+C0·C3
49
解析 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)= 3 7 3 7= .
C3 60
10
49
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 .
60
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
Ck·C3-k
P(X=k)= 4 6 (k=0,1,2,3).
C3
10
∴P(X=0)= C0 4 ·C 6 3 =1 ,P(X=1)= C1 4 ·C 6 2 =1.
C3 6 C3 2
10 10北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
P(X=2)= C2 4 ·C1 6= 3 ,P(X=3)= C3 4 ·C 6 0 = 1 .
C3 10 C3 30
10 10
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
6.(2018北京东城二模,16)某银行的工作人员记录了3月1日到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办
理业务的人数,如图所示:
从这15天中随机选取一天,随机变量X表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.
(1)请把X的分布列补充完整;
X 8 9 10 11 12 13 14
1 1 1
P
3 5 15
(2)令m为X的数学期望,若P(m-n≤X≤m+n)>0.5,求正整数n的最小值;
(3)由图判断,从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大?(结论不要
求证明)
解析 (1)X的分布列为
X 8 9 10 11 12 13 14
1 2 1 1 2 1 1
P
3 15 5 15 15 15 15
(2)由(1)可得X的数学期望为
1 2 1 1 2 1 1
E(X)=8× +9× +10× +11× +12× +13× +14× =10,
3 15 5 15 15 15 15
所以m=10.
6 2
因为P(10-1≤X≤10+1)= = <0.5,
15 5
5+2+3+1+2 13
P(10-2≤X≤10+2)= = >0.5,
15 15
所以n =2.
min
(3)第10日或第11日.
考点二 离散型随机变量的均值与方差
1.(2018广东省际名校联考(二),11)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐
个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的数学期望是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
18 9 36 16
A. B. C. D.
5 2 7 3
答案 D 当X=k时,第k次取出的必然是红球,而前(k-1)次中,有且只有1次取出的是红球,其余取出的皆为
C1
k-1
黑球,故P(X=k)= k-1= ,于是得到X的分布列为
C2 21
7
X 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
P
21 21 21 21 21 21
1 2 3 4 5 6 16
故E(X)=2× +3× +4× +5× +6× +7× = .故选D.
21 21 21 21 21 21 3
2.(2018安徽合肥第一中学冲刺,8)某班级有男生32人,女生20人,现选举4名学生分别担任班长、副班长、
团支部书记和体育委员.男生当选的人数记为ξ,则ξ的数学期望为( )
16 20 32 40
A. B. C. D.
13 13 13 13
答案 C 由题意得ξ=0,1,2,3,4.
C0 C4 C1 C3 C2 C2 C3 C1 C4 C0
P(ξ=0)= 32 20,P(ξ=1)= 32 20,P(ξ=2)= 32 20,P(ξ=3)= 32 20,P(ξ=4)= 32 20,所以E(ξ)=0×
C4 C4 C4 C4 C4
52 52 52 52 52
C0 C4 C1 C3 C2 C2 C3 C1 C4 C0
32
32 20+1× 32 20+2× 32 20+3× 32 20+4× 32 20= .故选C.
C4 C4 C4 C4 C4 13
52 52 52 52 52
3.(2020四川绵阳模拟,7)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心
或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游戏,记小明
4次游戏得分之和为X,则X的期望为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C 由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,
设其他两位同学为a,b,小明为c,列表如下:
a b c
手心 手心 手背
手心 手背 手背
手心 手心 手心
手心 手背 手心
手背 手心 手背
手背 手心 手心
手背 手背 手背
手背 手背 手心
共有8种情况,小明得1分的结果有6种情况,
∴小明每局得1分的概率P=3,∴X~B( 3),
4,
4 4
3
∴E(X)=4× =3.故选C.
4
4.离散型随机变量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,则Dξ的值为 .
ξ 0 1 2
P 0.2 a b北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 0.4
{ a+2b=1,
解析 ∵Eξ=1,∴结合离散型随机变量ξ的分布列,得 解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-
0.2+a+b=1,
1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.
5.(2018河南南阳一中第七次考试,14)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记
检测的次数为ξ,则E(ξ)= .
7
答案
2
解析 由题意知ξ=2,3,4,P(ξ=2)=2×1= 1 ,P(ξ=3)=C1C1×2×1+A3 = 3 ,P(ξ=4)=1- 1 - 3 = 6 .
2 3 3
5×4 10 5×4×3 10 10 10 10
1 3 6 7
因此E(ξ)=2× +3× +4× = .
10 10 10 2
6.(2020甘肃、青海、宁夏联考,18)某厂销售部以箱为单位销售某种零件,每箱的定价为200元,低于100箱按
原价销售;不低于100箱通过双方议价,买方能以优惠8%成交的概率为0.6,以优惠6%成交的概率为0.4.
(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件,两单位各自达成的成交价相互独立,求甲单位优惠比例不
低于乙单位优惠比例的概率;
(2)某单位需要这种零件650箱,求购买总价X的数学期望.
解析 (1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24,所以甲单位优惠比例不低于乙单
位优惠比例的概率为1-0.24=0.76.
(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为Y元,则Y=184或188.
Y的分布列为
Y 184 188
P 0.6 0.4
则E(Y)=184×0.6+188×0.4=185.6(元).
从而购买总价X的数学期望E(X)=185.6×650=120 640(元).
思路分析 (1)先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率,再由对立事件得所求概率;(2)先写出在折扣
优惠中每箱零件的价格的取值,再列分布列求解,从而求得答案.
综合篇
【综合集训】
考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法
1
1.(2020浙江东阳中学月考,7)已知随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)= ,E(X)=1,则D(X)= ( )
4
3 1 1
A. B. C. D.1
2 2 4
答案 B
2.(2021届浙江嘉兴9月教学测试,14)已知盒中装有n(n>1)个红球和3个黄球,从中任取2个球(取到每个球是
等可能的),随机变量X表示取到黄球的个数,且X的分布列为:
X 0 1 2
1
P a b
5
则n= ;E(X)= .北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 3;1
3.(2021届浙江高考选考科目9月联考,13)17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道
题目:甲、乙两个人赌博,他们两人获胜的概率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,一共进行五局,赢家可以获
得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么
1 1 1
如何分配这100法郎才比较公平?因为甲输掉后两局的可能性只有 × = ,也就是说,甲赢得后两局或后两
2 2 4
1 3
局中任意赢一局的概率为1- = ,甲有75%的期望获得100法郎;而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击
4 4
1 1 1
败甲,乙连续赢得后两局的概率为 × = ,即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期
2 2 4
i
望”这个词,数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足P(ξ=i)=a· (i=1,2,3,4),则a= ;若
10
32
E(bξ+1)= ,则b= .
5
9
答案 1;
5
4.(2019广东佛山顺德第二次教学质量检测,18)某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8
元.受保质期的影响,当天没有销售完的糕点只能销毁.经过长期调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近
期一个月(30天)的需求量展示如下:
日需求量X(个) 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率;
(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量X的分布列,并求该月的日需求量X的期望;
320
(3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望为 ;现有员工建议
3
扩大生产,一天生产45个,求对应利润的期望,判断此建议该不该被采纳.
5.(2019安徽宣城二模,19)某中学利用周末组织教职工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加,现将所
有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)共七组,其频率分布直方图如图
所示,已知[25,30)的参加者是6人.
(1)根据频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数;
(2)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互
不影响,求两组选出的人中恰有1名数学教师的概率;
(3)组织者从[45,55)的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中
女教师的人数为X,求X的分布列和均值.
[教师专用题组]
【综合集训】
